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2020-2021学年浙江省宁波市奉化区高二（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年浙江省宁波市奉化区高二（下）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年浙江省宁波市奉化区高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）已知命题：“若a＜b，则ac2＜bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
3．（4分）设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
B．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
C．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β
D．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
4．（4分）如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形OA'B'C'，且直观图OA'B'C'的面积为2，则该平面图形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．2
5．（4分）已知直线l1：yx﹣1，l2：y＝k2x﹣2，则“k＝2”是“l1⊥l2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（4分）在空间直角坐标系中，点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣2，1，﹣4） B．（﹣2，﹣1，﹣4） C．（2，1，﹣4） D．（2，﹣1，4）
7．（4分）过点（0，﹣2）的直线交抛物线y2＝16x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y12﹣y22＝1，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BD1﹣B1的大小是（ ）
A． B． C． D．
9．（4分）已知F2是双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使渐近线yx上任意一点Q，都有|PQ|＝|QF2|，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
10．（4分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E为边AD上的一点，DE＝1，现将△ABE沿直线BE折成△A′BE，使得点A'在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内（不含边界），设二面角A′﹣BE﹣C的大小为θ，直线A′B，A'C与平面BCDE所成的角分别为α，β，则（ ）
A．α＜β＜θ B．β＜θ＜α C．α＜θ＜β D．β＜α＜θ
二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11．（6分）已知平行直线l1：2x+y﹣1＝0，l2：2x+y+1＝0，则l1，l2的距离 ；点（0，2）到直线l1的距离 ．
12．（6分）双曲线y2＝1的焦距是 ，渐近线方程是 ．
13．（6分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 ．
14．（6分）已知圆C的圆心（2，0），点A（﹣1，1）在圆C上，则圆C的方程是 ；以A为切点的圆C的切线方程是 ．
15．（4分）已知空间中三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设，．则向量与向量的夹角的余弦值为 ．
16．（4分）已知在矩形ABCD中，AB，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，则a的最小值是 ．
17．（4分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝BC＝1，AA1＝2，点P是面BCD1A1上异于D1的一动点，则异面直线AD1与BP所成最小角的正弦值为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14分）已知方程1（m∈R）表示双曲线．
（Ⅰ）求实数m的取值集合A；
（Ⅱ）设不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0的解集为B，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．（15分）已知直线l过点M（﹣3，3），圆C：x2+y2+4y+m＝0（m∈R）．
（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及直线l截圆C弦长最长时直线l的方程；
（Ⅱ）若过点M直线与圆C恒有公共点，求实数m的取值范围．
20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．
（Ⅰ）求证：PB⊥DM；
（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．
21．（15分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，
（1）求抛物线方程；
（2）若|FP|＝2|FQ|，求k的值；
（3）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积最小值．
22．（15分）已知椭圆C：1过点A（﹣2，﹣1），且a＝2b．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（﹣4，0）的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝﹣4于点P，Q．求的值．
2020-2021学年浙江省宁波市奉化区高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：直线的斜率为，倾斜角是，
故选：C．
2．（4分）已知命题：“若a＜b，则ac2＜bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【解答】解：若a＜b，c2＝0，则ac2＝bc2．∴原命题若a＜b，则ac2＜bc2为假；
∵逆否命题与原命题等价，
∴逆否命题也为假．
原命题的逆命题是：若ac2＜bc2，则c2≠0且c2＞0，则a＜b．∴逆命题为真；
又∵逆命题与否命题等价，
∴否命题也为真；
综上，四个命题中，真命题的个数为2．
故选：C．
3．（4分）设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
B．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
C．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β
D．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
【解答】解：在A中，若m∥α，n⊥β，m∥n，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故A正确；
在B中，若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α与β相交或平行，故B错误；
在C中，若m∥n，m∥α，n∥β，则α与β相交或平行，故C错误；
在D中，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故D错误．
故选：A．
4．（4分）如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形OA'B'C'，且直观图OA'B'C'的面积为2，则该平面图形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．2
【解答】解：由已知直观图OA'B'C'的面积为2，
∴原来图形的面积S＝2×24，
故选：B．
5．（4分）已知直线l1：yx﹣1，l2：y＝k2x﹣2，则“k＝2”是“l1⊥l2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若l1⊥l2，则•k2＝﹣1，即k2＝4，则k＝2或﹣2，
则“k＝2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，
故选：A．
6．（4分）在空间直角坐标系中，点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣2，1，﹣4） B．（﹣2，﹣1，﹣4） C．（2，1，﹣4） D．（2，﹣1，4）
【解答】解：∵在空间直角坐标系中，
点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为：（x，﹣y，﹣z），
∴点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为：
（﹣2，﹣1，﹣4）．
故选：B．
7．（4分）过点（0，﹣2）的直线交抛物线y2＝16x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y12﹣y22＝1，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设直线方程为x＝my+2m，代入y2＝16x可得y2﹣16my﹣32m＝0，
∴y1+y2＝16m，y1y2＝﹣32m，
∴（y1﹣y2）2＝256m2+128m，
∵y12﹣y22＝1，
∴256m2（256m2+128m）＝1，
∴△OAB（O为坐标原点）的面积为|y1﹣y2|．
故选：D．
8．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BD1﹣B1的大小是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，
则A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），
（0，﹣1，0），（﹣1，﹣1，1），（0，0，1），
设平面ABD1的法向量（x，y，z），
则，取y＝1，得，
设平面BB1D1的法向量（a，b，c），
则，取a＝1，得（1，﹣1，0），
设二面角A﹣BD1﹣B1的大小为θ，
则cosθ，
∴θ．
∴二面角A﹣BD1﹣B1的大小为．
故选：C．
9．（4分）已知F2是双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使渐近线yx上任意一点Q，都有|PQ|＝|QF2|，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：【解法一】由题意知渐近线yx是线段F2P的垂直平分线，
∴yx垂直平分PF2，
∵OF2＝c，tan∠QOF2，
∴MF2＝b，OM＝a，
∴PF1＝2OM＝2a，PF2＝2b，
由垂直平分线的定义和抛物线的定义知，
|PF2|﹣|PF1|＝2b﹣2a＝2a，
∴b＝2a，
∴ca，
∴双曲线的离心率为e；
【解法二】由题意知渐近线yx是线段F2P的垂直平分线，
且直线F2P的方程为y（x﹣c）；
则由，解得，
即直线F2P与渐近线yx的交点为M（，）；
由题意知F2（c，0），利用中点坐标公式求得点P的坐标为（，）；
又点P在双曲线上，
∴1，
化简得c2＝5a2，
解得，
∴此双曲线的离心率为e．
故选：D．
10．（4分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E为边AD上的一点，DE＝1，现将△ABE沿直线BE折成△A′BE，使得点A'在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内（不含边界），设二面角A′﹣BE﹣C的大小为θ，直线A′B，A'C与平面BCDE所成的角分别为α，β，则（ ）
A．α＜β＜θ B．β＜θ＜α C．α＜θ＜β D．β＜α＜θ
【解答】解：如图所示，在矩形ABCD中，过A作AF⊥BE交于点O，将△ABE沿直线BE折成△A′BE，
则点A'在平面BCDE内的射影O′在线段OF上，
设点A'到平面BCDE上的距离为h，则h＝A′O′，
由二面角，线面角的定义得，
tanα，tanβ，tanθ，
∵O′O＜O′C＜O′B，∴tanα＜tanβ＜tanθ，
∴α＜β＜θ，
故选：A．
二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11．（6分）已知平行直线l1：2x+y﹣1＝0，l2：2x+y+1＝0，则l1，l2的距离 ；点（0，2）到直线l1的距离 ．
【解答】解：∵l1：2x+y﹣1＝0，l2：2x+y+1＝0，
∴l1，l2的距离d；
点（0，2）到直线l1的距离d；
故答案为：，．
12．（6分）双曲线y2＝1的焦距是 2 ，渐近线方程是 y＝±x ．
【解答】解：双曲线1中，a，b＝1，c，
∴焦距是2c＝2，渐近线方程是y＝±x．
故答案为：2；y＝±x．
13．（6分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 5+2 ．
【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：一个侧面与底面垂直，
四棱锥的顶点在底面上的射影是边的中点，底面是正方形边长为2，棱锥的高为1，
所以几何体的体积为：，
四棱锥的表面积为：2×22
＝5+2．
故答案为：；5+2．
14．（6分）已知圆C的圆心（2，0），点A（﹣1，1）在圆C上，则圆C的方程是 （x﹣2）2+y2＝10 ；以A为切点的圆C的切线方程是 y＝3x+4 ．
【解答】解：根据题意，圆C的圆心（2，0），点A（﹣1，1）在圆C上，
则圆的半径r＝|CA|，
故圆的方程为（x﹣2）2+y2＝10，
又由C（2，0）、A（﹣1，1），则KCA，
则以A为切点的圆C的切线方程斜率k3，
切线过点A，则其方程为y﹣1＝3（x+1），即y＝3x+4；
故答案为：（x﹣2）2+y2＝10，y＝3x+4．
15．（4分）已知空间中三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设，．则向量与向量的夹角的余弦值为 ．
【解答】解：∵空间中三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），
∴（1，1，0），（﹣1，0，2）．
则向量与向量的夹角的余弦值为：
cos．
故答案为：．
16．（4分）已知在矩形ABCD中，AB，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，则a的最小值是 4 ．
【解答】解：假设在BC边长存在点Q，使得PQ⊥DQ，
连结AQ，∵在矩形ABCD中，AB，BC＝a，PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DQ，
∵PQ⊥DQ，∴DQ⊥平面PAQ，∴DQ⊥AQ，∴∠AQD＝90°，
由题意得△ABQ∽△QCD，
设BQ＝x，∴x（a﹣x）＝8，即x2﹣ax+8＝0（*），
当Δ＝a2﹣32≥0时，（*）方程有解，
∴当a时，在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，
故a的最小值为4．
故答案为：4．
17．（4分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝BC＝1，AA1＝2，点P是面BCD1A1上异于D1的一动点，则异面直线AD1与BP所成最小角的正弦值为 ．
【解答】解：如图所示，
长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝BC＝1，AA1＝2，
连接BC1，过点C1作C1P⊥CD1，则C1P⊥平面BCD1A1，
又AD1∥BC1，
∴∠PBC1是异面直线AD1与BP所成的最小角，
在Rt△PBC1中，C1P，
BC1，
∴sin∠PBC1．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14分）已知方程1（m∈R）表示双曲线．
（Ⅰ）求实数m的取值集合A；
（Ⅱ）设不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0的解集为B，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由方程1（m∈R）表示双曲线，
可得：m（4﹣m）＜0，
可得集合A＝{m|m＜0或m＞4}；
（Ⅱ） 由题意：B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0}＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}
＝{x|a＜x＜a+1}，
∵x∈B是x∈A的充分不必要条件，即有B⫋A，
∴a≥4或a+1≤0
∴实数a的取值范围：a≥4或a≤﹣1．
19．（15分）已知直线l过点M（﹣3，3），圆C：x2+y2+4y+m＝0（m∈R）．
（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及直线l截圆C弦长最长时直线l的方程；
（Ⅱ）若过点M直线与圆C恒有公共点，求实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）圆C方程标准化为：x2+（y+2）2＝4﹣m
∴圆心C的坐标为（0，﹣2）
直线l截圆C弦长最长，即l过圆心，
故此时l的方程为：，
整理得：5x+3y+6＝0；
（Ⅱ）若过点M的直线与圆C恒有公共点，
则点M在圆上或圆内，
∴（﹣3）2+32+4×3+m≤0，
得m≤﹣30．
20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．
（Ⅰ）求证：PB⊥DM；
（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．
【解答】解：（I） 因为N是PB的中点，PA＝PB，
所以AN⊥PB．
因为AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，
从而PB⊥平面ADMN．
因为DM⊂平面ADMN，所以PB⊥DM．
（Ⅱ）取AD的中点G，连结BG、NG，BG//CD，
所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等．
因为PB⊥平面ADMN，
所以∠BGN是BG与平面ADMN所成的角．
在Rt△BGN中，．
故所成的角的正弦值．
21．（15分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，
（1）求抛物线方程；
（2）若|FP|＝2|FQ|，求k的值；
（3）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积最小值．
【解答】解：（1）∵抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0）
∴y2＝8x．
（2）如图，若k＞0，不妨设|QF|＝a，则|PF|＝2a．
设抛物线的准线为l，
过点P作PH⊥l垂足为H，过点Q作QG⊥PH，垂足为G．
|PH|＝2a＝2|GH|，∴|PG|＝a．
在RT△PQG中，|PG|＝a，|PQ|＝3a，
得|QM|a，
∴k＝tan∠QPG，
同理k＜0时，，
∴．
（3）根据题意得AB，CD斜率存在．
设，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）
由，
∴，
同理可得，
∴，
，
∴，
当且仅当|m|＝1时，面积取到最小值16．
22．（15分）已知椭圆C：1过点A（﹣2，﹣1），且a＝2b．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（﹣4，0）的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝﹣4于点P，Q．求的值．
【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：1过点A（﹣2，﹣1），且a＝2b，
则，解得b2＝2，a2＝8，
∴椭圆方程为1，
（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率存在，设直线方程为y＝k（x+4），
由，
消y整理可得（1+4k2）x2+32k2x+64k2﹣8＝0，
∴Δ＝﹣32（4k2﹣1）＞0，
解得k，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
∴x1+x2，x1x2，
则直线AM的方程为y+1（x+2），直线AN的方程为y+1（x+2），
分别令x＝﹣4，
可得yP1，yQ
∴|PB|＝|yP|＝||，|QB|＝|yQ|＝||，
∴||＝||
∵（2k+1）x1x2+（4k+2）（x1+x2）+8（2k+1），
∴||＝||＝||＝1，
故1．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/5/27 10:14:47；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983
2020-2021学年浙江省宁波市奉化区高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）已知命题：“若a＜b，则ac2＜bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
3．（4分）设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
B．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
C．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β
D．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
4．（4分）如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形OA'B'C'，且直观图OA'B'C'的面积为2，则该平面图形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．2
5．（4分）已知直线l1：yx﹣1，l2：y＝k2x﹣2，则“k＝2”是“l1⊥l2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（4分）在空间直角坐标系中，点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣2，1，﹣4） B．（﹣2，﹣1，﹣4） C．（2，1，﹣4） D．（2，﹣1，4）
7．（4分）过点（0，﹣2）的直线交抛物线y2＝16x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y12﹣y22＝1，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BD1﹣B1的大小是（ ）
A． B． C． D．
9．（4分）已知F2是双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使渐近线yx上任意一点Q，都有|PQ|＝|QF2|，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
10．（4分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E为边AD上的一点，DE＝1，现将△ABE沿直线BE折成△A′BE，使得点A'在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内（不含边界），设二面角A′﹣BE﹣C的大小为θ，直线A′B，A'C与平面BCDE所成的角分别为α，β，则（ ）
A．α＜β＜θ B．β＜θ＜α C．α＜θ＜β D．β＜α＜θ
二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11．（6分）已知平行直线l1：2x+y﹣1＝0，l2：2x+y+1＝0，则l1，l2的距离 ；点（0，2）到直线l1的距离 ．
12．（6分）双曲线y2＝1的焦距是 ，渐近线方程是 ．
13．（6分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 ．
14．（6分）已知圆C的圆心（2，0），点A（﹣1，1）在圆C上，则圆C的方程是 ；以A为切点的圆C的切线方程是 ．
15．（4分）已知空间中三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设，．则向量与向量的夹角的余弦值为 ．
16．（4分）已知在矩形ABCD中，AB，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，则a的最小值是 ．
17．（4分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝BC＝1，AA1＝2，点P是面BCD1A1上异于D1的一动点，则异面直线AD1与BP所成最小角的正弦值为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14分）已知方程1（m∈R）表示双曲线．
（Ⅰ）求实数m的取值集合A；
（Ⅱ）设不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0的解集为B，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．（15分）已知直线l过点M（﹣3，3），圆C：x2+y2+4y+m＝0（m∈R）．
（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及直线l截圆C弦长最长时直线l的方程；
（Ⅱ）若过点M直线与圆C恒有公共点，求实数m的取值范围．
20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．
（Ⅰ）求证：PB⊥DM；
（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．
21．（15分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，
（1）求抛物线方程；
（2）若|FP|＝2|FQ|，求k的值；
（3）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积最小值．
22．（15分）已知椭圆C：1过点A（﹣2，﹣1），且a＝2b．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（﹣4，0）的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝﹣4于点P，Q．求的值．
2020-2021学年浙江省宁波市奉化区高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：直线的斜率为，倾斜角是，
故选：C．
2．（4分）已知命题：“若a＜b，则ac2＜bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【解答】解：若a＜b，c2＝0，则ac2＝bc2．∴原命题若a＜b，则ac2＜bc2为假；
∵逆否命题与原命题等价，
∴逆否命题也为假．
原命题的逆命题是：若ac2＜bc2，则c2≠0且c2＞0，则a＜b．∴逆命题为真；
又∵逆命题与否命题等价，
∴否命题也为真；
综上，四个命题中，真命题的个数为2．
故选：C．
3．（4分）设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
B．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
C．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β
D．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
【解答】解：在A中，若m∥α，n⊥β，m∥n，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故A正确；
在B中，若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α与β相交或平行，故B错误；
在C中，若m∥n，m∥α，n∥β，则α与β相交或平行，故C错误；
在D中，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故D错误．
故选：A．
4．（4分）如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形OA'B'C'，且直观图OA'B'C'的面积为2，则该平面图形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．2
【解答】解：由已知直观图OA'B'C'的面积为2，
∴原来图形的面积S＝2×24，
故选：B．
5．（4分）已知直线l1：yx﹣1，l2：y＝k2x﹣2，则“k＝2”是“l1⊥l2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若l1⊥l2，则•k2＝﹣1，即k2＝4，则k＝2或﹣2，
则“k＝2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，
故选：A．
6．（4分）在空间直角坐标系中，点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣2，1，﹣4） B．（﹣2，﹣1，﹣4） C．（2，1，﹣4） D．（2，﹣1，4）
【解答】解：∵在空间直角坐标系中，
点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为：（x，﹣y，﹣z），
∴点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为：
（﹣2，﹣1，﹣4）．
故选：B．
7．（4分）过点（0，﹣2）的直线交抛物线y2＝16x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y12﹣y22＝1，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设直线方程为x＝my+2m，代入y2＝16x可得y2﹣16my﹣32m＝0，
∴y1+y2＝16m，y1y2＝﹣32m，
∴（y1﹣y2）2＝256m2+128m，
∵y12﹣y22＝1，
∴256m2（256m2+128m）＝1，
∴△OAB（O为坐标原点）的面积为|y1﹣y2|．
故选：D．
8．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BD1﹣B1的大小是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，
则A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），
（0，﹣1，0），（﹣1，﹣1，1），（0，0，1），
设平面ABD1的法向量（x，y，z），
则，取y＝1，得，
设平面BB1D1的法向量（a，b，c），
则，取a＝1，得（1，﹣1，0），
设二面角A﹣BD1﹣B1的大小为θ，
则cosθ，
∴θ．
∴二面角A﹣BD1﹣B1的大小为．
故选：C．
9．（4分）已知F2是双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使渐近线yx上任意一点Q，都有|PQ|＝|QF2|，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：【解法一】由题意知渐近线yx是线段F2P的垂直平分线，
∴yx垂直平分PF2，
∵OF2＝c，tan∠QOF2，
∴MF2＝b，OM＝a，
∴PF1＝2OM＝2a，PF2＝2b，
由垂直平分线的定义和抛物线的定义知，
|PF2|﹣|PF1|＝2b﹣2a＝2a，
∴b＝2a，
∴ca，
∴双曲线的离心率为e；
【解法二】由题意知渐近线yx是线段F2P的垂直平分线，
且直线F2P的方程为y（x﹣c）；
则由，解得，
即直线F2P与渐近线yx的交点为M（，）；
由题意知F2（c，0），利用中点坐标公式求得点P的坐标为（，）；
又点P在双曲线上，
∴1，
化简得c2＝5a2，
解得，
∴此双曲线的离心率为e．
故选：D．
10．（4分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E为边AD上的一点，DE＝1，现将△ABE沿直线BE折成△A′BE，使得点A'在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内（不含边界），设二面角A′﹣BE﹣C的大小为θ，直线A′B，A'C与平面BCDE所成的角分别为α，β，则（ ）
A．α＜β＜θ B．β＜θ＜α C．α＜θ＜β D．β＜α＜θ
【解答】解：如图所示，在矩形ABCD中，过A作AF⊥BE交于点O，将△ABE沿直线BE折成△A′BE，
则点A'在平面BCDE内的射影O′在线段OF上，
设点A'到平面BCDE上的距离为h，则h＝A′O′，
由二面角，线面角的定义得，
tanα，tanβ，tanθ，
∵O′O＜O′C＜O′B，∴tanα＜tanβ＜tanθ，
∴α＜β＜θ，
故选：A．
二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11．（6分）已知平行直线l1：2x+y﹣1＝0，l2：2x+y+1＝0，则l1，l2的距离 ；点（0，2）到直线l1的距离 ．
【解答】解：∵l1：2x+y﹣1＝0，l2：2x+y+1＝0，
∴l1，l2的距离d；
点（0，2）到直线l1的距离d；
故答案为：，．
12．（6分）双曲线y2＝1的焦距是 2 ，渐近线方程是 y＝±x ．
【解答】解：双曲线1中，a，b＝1，c，
∴焦距是2c＝2，渐近线方程是y＝±x．
故答案为：2；y＝±x．
13．（6分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 5+2 ．
【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：一个侧面与底面垂直，
四棱锥的顶点在底面上的射影是边的中点，底面是正方形边长为2，棱锥的高为1，
所以几何体的体积为：，
四棱锥的表面积为：2×22
＝5+2．
故答案为：；5+2．
14．（6分）已知圆C的圆心（2，0），点A（﹣1，1）在圆C上，则圆C的方程是 （x﹣2）2+y2＝10 ；以A为切点的圆C的切线方程是 y＝3x+4 ．
【解答】解：根据题意，圆C的圆心（2，0），点A（﹣1，1）在圆C上，
则圆的半径r＝|CA|，
故圆的方程为（x﹣2）2+y2＝10，
又由C（2，0）、A（﹣1，1），则KCA，
则以A为切点的圆C的切线方程斜率k3，
切线过点A，则其方程为y﹣1＝3（x+1），即y＝3x+4；
故答案为：（x﹣2）2+y2＝10，y＝3x+4．
15．（4分）已知空间中三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设，．则向量与向量的夹角的余弦值为 ．
【解答】解：∵空间中三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），
∴（1，1，0），（﹣1，0，2）．
则向量与向量的夹角的余弦值为：
cos．
故答案为：．
16．（4分）已知在矩形ABCD中，AB，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，则a的最小值是 4 ．
【解答】解：假设在BC边长存在点Q，使得PQ⊥DQ，
连结AQ，∵在矩形ABCD中，AB，BC＝a，PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DQ，
∵PQ⊥DQ，∴DQ⊥平面PAQ，∴DQ⊥AQ，∴∠AQD＝90°，
由题意得△ABQ∽△QCD，
设BQ＝x，∴x（a﹣x）＝8，即x2﹣ax+8＝0（*），
当Δ＝a2﹣32≥0时，（*）方程有解，
∴当a时，在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，
故a的最小值为4．
故答案为：4．
17．（4分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝BC＝1，AA1＝2，点P是面BCD1A1上异于D1的一动点，则异面直线AD1与BP所成最小角的正弦值为 ．
【解答】解：如图所示，
长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝BC＝1，AA1＝2，
连接BC1，过点C1作C1P⊥CD1，则C1P⊥平面BCD1A1，
又AD1∥BC1，
∴∠PBC1是异面直线AD1与BP所成的最小角，
在Rt△PBC1中，C1P，
BC1，
∴sin∠PBC1．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14分）已知方程1（m∈R）表示双曲线．
（Ⅰ）求实数m的取值集合A；
（Ⅱ）设不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0的解集为B，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由方程1（m∈R）表示双曲线，
可得：m（4﹣m）＜0，
可得集合A＝{m|m＜0或m＞4}；
（Ⅱ） 由题意：B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0}＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}
＝{x|a＜x＜a+1}，
∵x∈B是x∈A的充分不必要条件，即有B⫋A，
∴a≥4或a+1≤0
∴实数a的取值范围：a≥4或a≤﹣1．
19．（15分）已知直线l过点M（﹣3，3），圆C：x2+y2+4y+m＝0（m∈R）．
（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及直线l截圆C弦长最长时直线l的方程；
（Ⅱ）若过点M直线与圆C恒有公共点，求实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）圆C方程标准化为：x2+（y+2）2＝4﹣m
∴圆心C的坐标为（0，﹣2）
直线l截圆C弦长最长，即l过圆心，
故此时l的方程为：，
整理得：5x+3y+6＝0；
（Ⅱ）若过点M的直线与圆C恒有公共点，
则点M在圆上或圆内，
∴（﹣3）2+32+4×3+m≤0，
得m≤﹣30．
20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．
（Ⅰ）求证：PB⊥DM；
（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．
【解答】解：（I） 因为N是PB的中点，PA＝PB，
所以AN⊥PB．
因为AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，
从而PB⊥平面ADMN．
因为DM⊂平面ADMN，所以PB⊥DM．
（Ⅱ）取AD的中点G，连结BG、NG，BG//CD，
所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等．
因为PB⊥平面ADMN，
所以∠BGN是BG与平面ADMN所成的角．
在Rt△BGN中，．
故所成的角的正弦值．
21．（15分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，
（1）求抛物线方程；
（2）若|FP|＝2|FQ|，求k的值；
（3）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积最小值．
【解答】解：（1）∵抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0）
∴y2＝8x．
（2）如图，若k＞0，不妨设|QF|＝a，则|PF|＝2a．
设抛物线的准线为l，
过点P作PH⊥l垂足为H，过点Q作QG⊥PH，垂足为G．
|PH|＝2a＝2|GH|，∴|PG|＝a．
在RT△PQG中，|PG|＝a，|PQ|＝3a，
得|QM|a，
∴k＝tan∠QPG，
同理k＜0时，，
∴．
（3）根据题意得AB，CD斜率存在．
设，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）
由，
∴，
同理可得，
∴，
，
∴，
当且仅当|m|＝1时，面积取到最小值16．
22．（15分）已知椭圆C：1过点A（﹣2，﹣1），且a＝2b．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（﹣4，0）的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝﹣4于点P，Q．求的值．
【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：1过点A（﹣2，﹣1），且a＝2b，
则，解得b2＝2，a2＝8，
∴椭圆方程为1，
（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率存在，设直线方程为y＝k（x+4），
由，
消y整理可得（1+4k2）x2+32k2x+64k2﹣8＝0，
∴Δ＝﹣32（4k2﹣1）＞0，
解得k，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
∴x1+x2，x1x2，
则直线AM的方程为y+1（x+2），直线AN的方程为y+1（x+2），
分别令x＝﹣4，
可得yP1，yQ
∴|PB|＝|yP|＝||，|QB|＝|yQ|＝||，
∴||＝||
∵（2k+1）x1x2+（4k+2）（x1+x2）+8（2k+1），
∴||＝||＝||＝1，
故1．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/5/27 10:14:47；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983
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