2020-2021学年浙江省衢州市高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省衢州市高一（下）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省衢州市高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求。
1．（5分）已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{0，1，2}，则∁UA＝（　　）
A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣2，﹣1} C．{0，1，2} D．{1，2}
2．（5分）命题“∀x∈R，x2＞1”的否定是（　　）
A．∃x∈R，x2≤1 B．∃x∈R，x2＜1 C．∀x∈R，x2＜1 D．∀x∈R，x2≤1
3．（5分）若z（1﹣i）＝2i，则在复平面内z对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（5分）已知m、n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．若直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　　）
A．α∥β，l∥β B．α⊥β，l⊥a C．α∩β＝a，l⊥a D．α∩β＝a，l∥a
5．（5分）已知log4a＝0.6，9b＝8，c＝ln2，则（　　）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b
6．（5分）定义在[﹣2，2]上的函数f（x）＝2x2+lg（|x|+1），则满足f（x）＜f（2x﹣1）的x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
7．（5分）平面向量两两的夹角相等，且，，则（　　）
A．7 B．11 C． D．
8．（5分）已知△ABC的面积等于2，AB＝1，当△ABC三条高的乘积取最大值时，sinC的值为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知实数a，b，c满足a＜b＜c，且ac＜0，则下列式子一定成立的是（　　）
A．cb2＞ab2 B．c（a﹣b）＜0 C． D．ac（a﹣c）＞0
（多选）10．（5分）某商品A以每件2元的价格出售时，销售量为10万件．经过调查，单价每提高0.2元，销售量减少5000件，要使商品A销售总收入不少于22.4万元，该商品A的单价可定为（　　）
A．2.6元 B．2.8元 C．3元 D．3.2元
（多选）11．（5分）已知向量，，下列结论中正确的是（　　）
A．若，则
B．与共线的单位向量一定为
C．当时，在上的投影向量为
D．当时，与的夹角为锐角
（多选）12．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若A1E＝m，DQ＝n，EF＝s，DP＝t（m，n，s，t大于零），则四面体PEFQ的体积（　　）

A．与s有关 B．与m有关 C．与n有关 D．与t有关
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知，α∈，则sinα＝　 　．
14．（5分）设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为54，则其外接球的体积为 　 　．
15．（5分）已知实数x、y满足x2﹣xy＝1，则y2+3xy的最小值为 　 　．
16．（5分）已知函数f（x）＝2x，，若（t为实数）在（0，+∞）上有两个不同的零点x1、x2，则x1+x2的取值范围为 　 　．
四、解答题：本题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤。
17．（10分）已知集合A＝{x|﹣3≤x＜0}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a≤0}．
（Ⅰ）若a＝﹣1，求A∩B：
（Ⅱ）设p：x∈A；q：x∈B．若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）如图，圆锥SO的侧面展开图是半径为2的半圆．AB，CD为底面圆的两条直径，P为SB的中点．
（Ⅰ）求证：SA∥平面PCD；
（Ⅱ）求圆锥SO的表面积．

19．（12分）某市扶贫办为了打好精准脱贫攻坚战，在所辖区的100万户家庭中随机抽取200户家庭，对其2020年的家庭人均纯收入状况进行了调查，经统计，样本数据全部介于45至70（单位：百元）之间．现将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求这组样本数据的均值和中位数；
（Ⅱ）若家庭的年人均纯收入低于5000元的家庭为“贫困户”，用样本的频率分布估计总体分布，估计该区100万户家庭中“贫困户”的数量为多少．

20．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并求的最大值，
（Ⅱ）△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若f（A）＝0，a，，求b+c的值．

21．（12分）如图，平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD翻折到△EBD的位置．
（Ⅰ）当平面EBD⊥平面ABD时，求证：AB⊥DE；
（Ⅱ）若点F为BE的中点，二面角E﹣BD﹣C的大小为60°，求直线DF与平面BCE所成角的正弦值．

22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，AB∥CD，AD＝BC＝1，设AB＝x，四边形ABCD的周长为f（x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）关于x的方程|f（x）﹣t|在[2，6]上有两个不相等的实数根，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）△ABC的面积的平方为g（x），若对于∀x1∈[2，6]，∃x2∈[2，6]，使得f（x1）≥g（x2）+4成立，求实数a的取值范围．


2020-2021学年浙江省衢州市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求。
1．（5分）已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{0，1，2}，则∁UA＝（　　）
A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣2，﹣1} C．{0，1，2} D．{1，2}
【解答】解：集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
A＝{0，1，2}，
所以∁UA＝{﹣2，﹣1}．
故选：B．
2．（5分）命题“∀x∈R，x2＞1”的否定是（　　）
A．∃x∈R，x2≤1 B．∃x∈R，x2＜1 C．∀x∈R，x2＜1 D．∀x∈R，x2≤1
【解答】解：命题为全称命题，则命题“∀x∈R，x2＞1”的否定为∃x∈R，x2≤1，
故选：A．
3．（5分）若z（1﹣i）＝2i，则在复平面内z对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：由z（1﹣i）＝2i，得z，
∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，1），所在象限为第二象限．
故选：B．
4．（5分）已知m、n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．若直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　　）
A．α∥β，l∥β B．α⊥β，l⊥a C．α∩β＝a，l⊥a D．α∩β＝a，l∥a
【解答】解：因为m，n为异面直线，所以在空间到一点P，作m′∥m，n′∥n
则l⊥m′，l⊥n′，即l垂直于m′与n′确定的平面γ，
又m⊥平面α，n⊥平面β，所以m′⊥平面α，n′⊥平面β，
所以平面γ既垂直平面α，又垂直平面β，
所以α与β相交，且交线垂直于平面γ，故交线平行于l，
故选：D．

5．（5分）已知log4a＝0.6，9b＝8，c＝ln2，则（　　）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b
【解答】解：∵log4a＝0.6，
∴a＞1，
∵9b＝8，c＝ln2，
∴0＜b＜1，0＜c＜1，
∵，且0＜2ln3＝ln9＜lne3＝3，
∴，即b＞c，
∴c＜b＜a．
故选：A．
6．（5分）定义在[﹣2，2]上的函数f（x）＝2x2+lg（|x|+1），则满足f（x）＜f（2x﹣1）的x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝2x2+lg（|x|+1），x∈[﹣2，2]，
有f（﹣x）＝2x2+lg（|x|+1）＝f（x），即函数f（x）为偶函数，
在区间[0，2]上，y＝2x2和y＝lg（|x|+1）都是增函数，则f（x）在区间[0，2]上为增函数，
则f（x）＜f（2x﹣1）⇔f（|x|）＜f（|2x﹣1|）⇔0≤|x|＜|2x﹣1|≤2，
解可得：1＜x或x，
即不等式的解集为；
故选：C．
7．（5分）平面向量两两的夹角相等，且，，则（　　）
A．7 B．11 C． D．
【解答】解：平面向量两两的夹角相等，且，，
则
．
故选：C．
8．（5分）已知△ABC的面积等于2，AB＝1，当△ABC三条高的乘积取最大值时，sinC的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设△ABC三个内角A，B，C对应的边为a，b，c，对应的高为m，n，t，
△ABC面积为2，AB＝1，即S＝2，c＝1，
Sambnct＝2，S3abcmnt＝8，
mnt，
因为SabsinC＝2，
所以ab，mnt＝16sinC，
因为cosC1，当且仅当a＝b时取得等号，
所以2ab，即，
tan，
可得sinC，
所以当△ABC三条高的乘积取最大值时，sinC的值为．
故选：A．
二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知实数a，b，c满足a＜b＜c，且ac＜0，则下列式子一定成立的是（　　）
A．cb2＞ab2 B．c（a﹣b）＜0 C． D．ac（a﹣c）＞0
【解答】解：当b＝0时，cb2＞ab2 不成立，故A选项错误，
∵a＜b＜c，且ac＜0，
∴a＜0，c＞0，a﹣b＜0，
∴c（a﹣b）＜0，故B选项正确，
当b＞0时， 不成立，故C选项错误，
∵ac＜0，a﹣c＜0，
∴ac（a﹣c）＞0，故D选项正确．
故选：BD．
（多选）10．（5分）某商品A以每件2元的价格出售时，销售量为10万件．经过调查，单价每提高0.2元，销售量减少5000件，要使商品A销售总收入不少于22.4万元，该商品A的单价可定为（　　）
A．2.6元 B．2.8元 C．3元 D．3.2元
【解答】解：设商品A的单价为x，则销售量为，
则商品A销售总收入为，
结合题意有，解得2.8⩽x⩽3.2．
故选：BCD．
（多选）11．（5分）已知向量，，下列结论中正确的是（　　）
A．若，则
B．与共线的单位向量一定为
C．当时，在上的投影向量为
D．当时，与的夹角为锐角
【解答】解：对于A：若⊥，则•0，
即x+10，解得x，故A正确；
对于B：设与共线的单位向量为（a，b），
所以，解得a＝±，
所以与共线的单位向量为（，）或（，），故B不正确；
对于C：当时，在上的投影为，
在上的投影向量为••（，）•（，2），故C正确；
对于D：cos，，
当x时，cos，0，
所以与的夹角为锐角或零度角，故D不正确．
故选：AC．
（多选）12．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若A1E＝m，DQ＝n，EF＝s，DP＝t（m，n，s，t大于零），则四面体PEFQ的体积（　　）

A．与s有关 B．与m有关 C．与n有关 D．与t有关
【解答】解：如图所示，

设P到平面A1DCB1的距离为h，显然h与P在AD上的位置有关，即与t有关，
又EF＝s，Q在CD上，且A1B1∥CD，所以S△EFQ•s•B1C，
因为B1C是定值，所以S△EFQ与s有关；
因为VP﹣EFQS△EFQ•h，
所以VP﹣EFQ的值与t、s有关，
即四面体PEFQ的体积与t、s有关，与m，n的值无关．
故选：AD．
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知，α∈，则sinα＝　　．
【解答】解：由于，sin2α+cos2α＝1，
可得5sin2α＝1，即sin2α，
因为α∈，则sinα＜0，
所以sinα．
故答案为：．
14．（5分）设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为54，则其外接球的体积为 　　．
【解答】解：球的内接正方体的表面积为54，所以正方体的棱长是：3，
正方体的对角线3，所以球的直径是 3．
所以球的体积：．
故答案为：π．
15．（5分）已知实数x、y满足x2﹣xy＝1，则y2+3xy的最小值为 　﹣1　．
【解答】解：实数x、y满足x2﹣xy＝1，∴x≠0，y．
则y2+3xy3x•x2﹣23x2﹣3＝4x25≥25＝﹣1，当且仅当x＝±时取等号．
∴y2+3xy的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
16．（5分）已知函数f（x）＝2x，，若（t为实数）在（0，+∞）上有两个不同的零点x1、x2，则x1+x2的取值范围为 　（log2（2），+∞）　．
【解答】解：令h（x）＝0，即，即．
令，所以u2+tu+2＝0．因为u与x一一对应，所以方程u2+tu+2＝0有两个不同的实根，设为u1，u2．
由韦达定理得u1u2＝2，即，整理得
令，整理得 m2﹣4m+1＞0，又m＞0，解得，所以．
故答案为：．
四、解答题：本题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤。
17．（10分）已知集合A＝{x|﹣3≤x＜0}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a≤0}．
（Ⅰ）若a＝﹣1，求A∩B：
（Ⅱ）设p：x∈A；q：x∈B．若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣1时，B＝{x|﹣1≤x≤1}，
∴A∩B＝{x|﹣1≤x＜0}．
（II）结合题意有又A⊆B，
①当a≥1时，B＝{x|1≤x≤a}，显然不满足题意；
②当a＜1时，B＝{x|a≤x≤1}，
∴，
解得a≤﹣3．
故a的取值范围为（﹣∞，﹣3]．
18．（12分）如图，圆锥SO的侧面展开图是半径为2的半圆．AB，CD为底面圆的两条直径，P为SB的中点．
（Ⅰ）求证：SA∥平面PCD；
（Ⅱ）求圆锥SO的表面积．

【解答】（I）证明：连接OP，
因为O为AB的中点，P为SB的中点，
则OP∥SA，又OP⊂平面PCD，SA⊄平面PCD，
所以SA∥平PCD；
（II）解：记底面圆半径为r，侧面展开图半径为R，
则R＝2，
又πR＝2πr，
所以r＝1，
故圆锥SO的表面积为．

19．（12分）某市扶贫办为了打好精准脱贫攻坚战，在所辖区的100万户家庭中随机抽取200户家庭，对其2020年的家庭人均纯收入状况进行了调查，经统计，样本数据全部介于45至70（单位：百元）之间．现将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求这组样本数据的均值和中位数；
（Ⅱ）若家庭的年人均纯收入低于5000元的家庭为“贫困户”，用样本的频率分布估计总体分布，估计该区100万户家庭中“贫困户”的数量为多少．

【解答】解：（I）样本均值
（百元）；
设中位数为x，则0.01×5+0.07×5+（x﹣55）×0.06＝0.5，解得，
所以中位数为（百元）；
（II）由频率分布直方图知，样本“贫困户“的频率为0.05，
故估计该区100万户家庭中“贫困户”的数量为100×0.05＝5（万户）．
20．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并求的最大值，
（Ⅱ）△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若f（A）＝0，a，，求b+c的值．

【解答】解：（Ⅰ）由图象可得A＝2，T＝4（）＝π，所以ω2，
由f（）＝0，可得2sin（2φ）＝0，则2φ＝kπ，所以φ＝kπ，k∈Z，
因为|φ|，所以φ，
所以，
所以，
所以g（x）max＝4．
（Ⅱ） ，即，
因为A∈（0，π），所以，
所以或A，
所以，
所以bc＝8，
当A时，，
所以b2+c2＝20，
所以（b+c）2＝b2+c2+2bc＝36，
所以b+c＝6；
当A时，bc，
所以b2+c2＝12﹣80，舍去．
所以b+c＝6．
21．（12分）如图，平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD翻折到△EBD的位置．
（Ⅰ）当平面EBD⊥平面ABD时，求证：AB⊥DE；
（Ⅱ）若点F为BE的中点，二面角E﹣BD﹣C的大小为60°，求直线DF与平面BCE所成角的正弦值．

【解答】（I）证明：由题意可知AB⊥BD，
又平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊥平面EBD．ED⊂平面EBD，
∴AB⊥DE；
（II）解：∵CD⊥BD，ED⊥BD，
∴二面角E﹣BD﹣C的平面角为∠CDE＝60°，
∵DC＝DE，△CDE为正三角形，连接CE．取CE中点G，连接DG，
则DG⊥CE，在△BCE中，BC＝BE，．BG⊥CE，BG∩DG＝G，
∴CE⊥平面DBG，．平面BCE⊥平面DBG，
平面BCE∩平面DBG＝BG，作DH⊥BG，则DH⊥平面BCE，连接FH，
则∠DFH是直线DF与平面BCE所成的角，

在△DFH中，DF＝2，DH，
∴sin∠DFH．
22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，AB∥CD，AD＝BC＝1，设AB＝x，四边形ABCD的周长为f（x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）关于x的方程|f（x）﹣t|在[2，6]上有两个不相等的实数根，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）△ABC的面积的平方为g（x），若对于∀x1∈[2，6]，∃x2∈[2，6]，使得f（x1）≥g（x2）+4成立，求实数a的取值范围．

【解答】解：（I）如图，在Rt△ACB中，过点C作CE⊥AB于点E，
则BC2＝BE•BA，则，，
故；
（II）方程可变形为，
所以，即或，
因为关于x的方程在[2，6]上有两个不相等的实数根，
结合图象可得，，解得7≤t≤13

故实数t的取值范围为[7，13]；
（III）由题意可得，，
令，
由题意，对于∀x1∈[2，6]，∀x2∈[2，6]，使得成立，
则对于x∈[2，6]时，f（x）min≥h（x）min，
因为f（x）在[2，6]上为单调递增函数，所以f（x）min＝f（2）＝5，
又，．
①当﹣a≤2，即a≥﹣2时，h（x）min＝h（2）≤5，解得，所以；
②当2＜﹣a＜4，即﹣4＜a＜﹣2时，h（x）min＝h（﹣a）≤5，解得，所以﹣4＜a＜﹣2；
③当4≤﹣a≤6，即﹣6≤a≤﹣4时，h（x）min＝h（4）≤5，解得，所以；
④当﹣a＞6，即a＜﹣6时，h（x）min＝h（4）≤5，解得，无解．
综上所述，实数a的取值范围为．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/5/26 10:17:41；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983