2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市高二（下）期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市高二（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（4分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则A∪B＝（　　）
A．{1} B．{2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，3}
2．（4分）（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）已知a，b，c∈R，且a+b+c＞0，则（　　）
A．（a+b）2＞c2
B．a，b，c三数中至少有一个大于零
C．a，b，c三数中至少有两个大于零
D．a，b，c三数均大于零
4．（4分）“cosθ＝0”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（4分）如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，AD＝2BC，若，，则（　　）

A． B． C． D．
6．（4分）函数f（x）＝（x+1）ln（|x﹣1|）的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
7．（4分）给出下列四个关于函数的命题：
①f（x）＝x3（x∈{﹣1，0，1}）与g（n）＝n3（n∈{﹣1，0，1}）表示相同函数；
②f（x）是既非奇函数也非偶函数；
③若f（x）与g（x）在区间G上均为递增函数，则f（x）•g（x）在区间G上亦为递增函数；
④设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤1}，对应关系f：x→log4（x+2），则能构成一个函数f：A→B，记作y＝f（x）＝log4（x+2），x∈A．
其中，真命题为（　　）
A．②③ B．①④ C．①③④ D．②③④
8．（4分）设（a，b）∈{（x，y）|x﹣y≥1，且x+3y≤3，y≥0}，则a+b的最大值为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
9．（4分）已知数列{an}是等差数列，公差d＝4，前n项和为Sn，则的值（　　）
A．等于4 B．等于2
C．等于 D．不确定，与a1有关
10．（4分）已知函数f（x）＝|2cosx+1﹣k|+k+2在区间（﹣∞，+∞）上的最大值是5，则实数k的值所组成的集合是（　　）
A．{1} B．{﹣2，0，1} C．{k|k≤1} D．{k|﹣1≤k≤1}
三、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。）
11．（6分）已知复数z1＝2+i，z2＝1﹣i，则z1+z2＝　 　，的共轭复数为 　 　．
12．（6分）已知函数则f（﹣1）＝　 　，若f（a）＝3，则a＝　 　．
13．（6分）在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝　 　；cos∠MAC＝　 　．
14．（6分）已知函数f（x）＝ex+ln（2x+1），e是自然对数的底数，设函数f（x）的导函数为f'（x），则f'（0）＝　 　，曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线的方程为 　 　．
15．（4分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为　 　．
16．（4分）已知α，β∈R，且满足α2﹣2sinβ＝1，则4α+sinβ的值域为 　 　．
17．（4分）已知正数a，b满足：b2（3a2+4ab）＝3，则3a+2b的最小值为 　 　．
三、解答题（本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量、满足：，，且．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若△ABC是锐角三角形，且a＝2，求b+c的取值范围．
19．（15分）已知数列{an}满足a1＝2，a2＝5，an+1+an﹣1＝2an（n∈N*，n≥2），数列{bn}满足b1＝1，．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{anbn}的前n项和Sn．
20．（15分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC和△BCP均为正三角形．
（Ⅰ）求证：AP⊥BC；
（Ⅱ）若，
（ⅰ）求证：平面ABC⊥平面BCP；
（ⅱ）求二面角A﹣PB﹣C的平面角的余弦值．

21．（15分）已知抛物线C1：y2＝4x与椭圆C2：1（a＞b＞0）有公共的焦点，C2的左、右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C2的方程；
（Ⅱ）如图，若直线l与x轴，椭圆C2顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF1Q与∠PF1R互补，求△F1QR面积S的最大值．

22．（15分）已知函数f（x）＝nsinx+tanx，n∈N*．
（Ⅰ）求f（x）的导数f'（x）；
（Ⅱ）当n＝1时，求证：f（x）＞2x在上恒成立；
（Ⅲ）若f（x）＞（n+1）x在上恒成立，求n的最大值．

2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（4分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则A∪B＝（　　）
A．{1} B．{2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，3}
【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，
∴A∪B＝{1，2，3}．
故选：C．
2．（4分）（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，
∴．
故选：D．
3．（4分）已知a，b，c∈R，且a+b+c＞0，则（　　）
A．（a+b）2＞c2
B．a，b，c三数中至少有一个大于零
C．a，b，c三数中至少有两个大于零
D．a，b，c三数均大于零
【解答】解：A、当a+b＞c＝0时，该不等式不成立，故不符合题意；
B、由a，b，c∈R，且a+b+c＞0知：a，b，c三数中至少有一个大于零，故符合题意；
C、当a＝4，b＝c＝﹣1时，a+b+c＞0，即a，b，c三数中可以只有一个数大于零，故不符合题意；
D、结合选项C的分析，a，b，c三数可以不都大于零的实数，故不符合题意．
故选：B．
4．（4分）“cosθ＝0”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由cosθ＝0可得：θ＝kπ，k∈Z．
由，即tan1，解得：kπ，即θ＝2kπ，k∈Z．
∴“cosθ＝0”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
5．（4分）如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，AD＝2BC，若，，则（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：由图可得，
因为AD＝2BC，BC∥AD，
所以，
则2（），
即22，
故选：B．
6．（4分）函数f（x）＝（x+1）ln（|x﹣1|）的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：当x→+∞时，f（x）→+∞，排除A，C，
f（﹣5）＝﹣4ln6＜0，排除C，D，
故选：B．
7．（4分）给出下列四个关于函数的命题：
①f（x）＝x3（x∈{﹣1，0，1}）与g（n）＝n3（n∈{﹣1，0，1}）表示相同函数；
②f（x）是既非奇函数也非偶函数；
③若f（x）与g（x）在区间G上均为递增函数，则f（x）•g（x）在区间G上亦为递增函数；
④设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤1}，对应关系f：x→log4（x+2），则能构成一个函数f：A→B，记作y＝f（x）＝log4（x+2），x∈A．
其中，真命题为（　　）
A．②③ B．①④ C．①③④ D．②③④
【解答】解：对于①，f（x）＝x3（x∈{﹣1，0，1}）与g（n）＝n3（n∈{﹣1，0，1}）表示相同函数，函数的关系式形式相同，定义域相同，故函数的值域一定相同，故①正确；
对于②，函数f（x）（﹣2≤x≤2且x≠0）则是奇函数，故②错误；
对于③，若f（x）与g（x）在区间G上均为递增函数，则f（x）+g（x）在区间G上亦为递增函数，但是f（x）•g（x）在区间G不一定为递增函数，故③错误；
对于④，设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤1}，对应关系f：x→log4（x+2），则能构成一个函数f：A→B，记作y＝f（x）＝log4（x+2），x∈A，符合函数的定义，故④正确．
故选：B．
8．（4分）设（a，b）∈{（x，y）|x﹣y≥1，且x+3y≤3，y≥0}，则a+b的最大值为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解：∵（a，b）∈{（x，y）|x﹣y≥1，且x+3y≤3，y≥0}，
∴，作出该不等式组表示的平面区域如图，

令z＝a+b，得b＝﹣a+z，由图可知，当直线b＝﹣a+z过点A（3，0）时，
直线在b轴上的截距最大，z有最大值为3．
故选：A．
9．（4分）已知数列{an}是等差数列，公差d＝4，前n项和为Sn，则的值（　　）
A．等于4 B．等于2
C．等于 D．不确定，与a1有关
【解答】解：由数列{an}是等差数列，得S2021（a1+a2021）＝2021a1011；S2020（a1+a2020）＝1010（a1010+a1011），
所以a1011（a1010+a1011）（a1011﹣a1010）d＝2．
故选：B．
10．（4分）已知函数f（x）＝|2cosx+1﹣k|+k+2在区间（﹣∞，+∞）上的最大值是5，则实数k的值所组成的集合是（　　）
A．{1} B．{﹣2，0，1} C．{k|k≤1} D．{k|﹣1≤k≤1}
【解答】解：当1﹣k⩾0，即k⩽1时，
此时当cosx＝1时，f（x）取最大值f（x）max＝5，满足题意；
当1﹣k＜0时，即k＞1时，
此时当cosx＝﹣1时，f（x）取最大值f（x）max＝2k+3＝5⇒k＝1，又k＞1，所以k无解．
综上所述，实数k的值所组成集合是{k|k⩽1}．
故选：C．
三、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。）
11．（6分）已知复数z1＝2+i，z2＝1﹣i，则z1+z2＝　3　，的共轭复数为 　　．
【解答】解：复数z1＝2+i，z2＝1﹣i，
则z1+z2＝2+i+1﹣i＝3，
i的共轭复数为i，
故答案为：3，i．
12．（6分）已知函数则f（﹣1）＝　1　，若f（a）＝3，则a＝　或﹣7　．
【解答】解：∵函数则f（﹣1）＝|log22|＝1，
当a＞0时，f（a）＝2a2﹣1＝3，求得a；
当a≤0时，f（a）＝|log2（﹣a+1）|＝3，∴1﹣a＝8，或1﹣a，求得a＝﹣7，
故答案为：1； 或﹣7．
13．（6分）在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝　2　；cos∠MAC＝　　．
【解答】解：在△ABM中：AM2＝BA2+BM2﹣2BA•BMcos60°，∴（2）2＝22+BM2﹣2×2•BM•，∴BM2﹣2BM﹣8＝0，解得：BM＝4或﹣2（舍去）．
∵点M是BC中点，∴MC＝4，BC＝8，在△ABC中：AC2＝22+82﹣2×2×8cos60°＝52，∴AC＝2；
在△AMC中：cos∠MAC．
故答案为：2；．
14．（6分）已知函数f（x）＝ex+ln（2x+1），e是自然对数的底数，设函数f（x）的导函数为f'（x），则f'（0）＝　3　，曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线的方程为 　y＝3x+1　．
【解答】解：∵f（x）＝ex+ln（2x+1），
∴f′（x）＝ex，则f'（0）＝3；
∴曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线的方程为y＝3x+1．
故答案为：3；y＝3x+1．
15．（4分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为　　．
【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），
以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．
若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bcos30°，
可得：，即，可得离心率为：e．
故答案为：．
16．（4分）已知α，β∈R，且满足α2﹣2sinβ＝1，则4α+sinβ的值域为 　　．
【解答】解：∵α2﹣2sinβ＝1，
∴，可得，
4α+sinβ，，
设f（α），，
∵f（α）的对称轴为α＝﹣4，
∴f（α）在区间上单调递增，
∴，，
∴4α+sinβ的值域为 ．
故答案为：．
17．（4分）已知正数a，b满足：b2（3a2+4ab）＝3，则3a+2b的最小值为 　　．
【解答】解：根据题意，（3a+2b）2＝9a2+12ab+4b2＝3（3a2+4ab）+4b2≥2，
当且仅当3（3a2+4ab）＝4b2时等号成立，
又由b2（3a2+4ab）＝3，则（3a+2b）2≥12，
又由a、b＞0，必有3a+2b≥2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量、满足：，，且．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若△ABC是锐角三角形，且a＝2，求b+c的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
所以，，
由正弦定理得：，
因为sinB≠0，
所以，
所以或．
（Ⅱ）因为a＝2，
所以由正弦定理得，得：，，
所以[sinB+sin（B）]，
因为△ABC是锐角三角形，
所以，且，可得，
所以，可得，
所以．
19．（15分）已知数列{an}满足a1＝2，a2＝5，an+1+an﹣1＝2an（n∈N*，n≥2），数列{bn}满足b1＝1，．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{anbn}的前n项和Sn．
【解答】解：（Ⅰ）因为an+1+an﹣1＝2an，所以an+1﹣an＝an﹣an﹣1＝⋅⋅⋅＝a2﹣a1＝3，所以{an}是首项为2，公差为3的等差数列，
所以通项公式为an＝3n﹣1．
（Ⅱ）因为，所以{bn}是首项为1，公比为的等比数列，
所以，所以，则Sn＝a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+anbn，
所以②，
所以由①﹣②得：，
所以．
20．（15分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC和△BCP均为正三角形．
（Ⅰ）求证：AP⊥BC；
（Ⅱ）若，
（ⅰ）求证：平面ABC⊥平面BCP；
（ⅱ）求二面角A﹣PB﹣C的平面角的余弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：取BC中点O，连接AO，PO，……（1分）
因为△ABC与△BCP是正三角形，
所以AO⊥BC，PO⊥BC，且AO∩PO＝O，……（3分）
所以BC⊥平面PAO，……（4分）
又AP在平面PAO内，
所以BC⊥AP，即AP⊥BC；…………（5分）
（Ⅱ）（ⅰ）证明：设AB＝a，因为△ABC与△B1BC是正三角形，
则BP＝AB＝BC＝AC＝PC＝a，，…………（6分）
又，由余弦定理可得（7分）
所以在△APO中，有AP2＝AO2+PO2，
所以△APO为直角三角形，得AO⊥PO，…………（8分）
显然AO⊥BC，又PO∩BC＝O，所以AO⊥平面PBC，……（9分）
因为AO⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCP；…………（10分）
（ⅱ）解：由（ⅰ）可以OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，……（11分）
……（11分）
设平面ABP的一个法向量为，
则（13分）
可取，……（13分）
又平面BCP的一个法向量为，
所以二面角A﹣PB﹣C的平面角θ的余弦值为（15分）
21．（15分）已知抛物线C1：y2＝4x与椭圆C2：1（a＞b＞0）有公共的焦点，C2的左、右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C2的方程；
（Ⅱ）如图，若直线l与x轴，椭圆C2顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF1Q与∠PF1R互补，求△F1QR面积S的最大值．

【解答】解：（I）由题意可得，抛物线的焦点为（1，0），
∴椭圆的半焦距c＝1，又∵椭圆的离心率为，
∴，即a＝2，
∵a2＝b2+c2，∴b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3，即b，
∴椭圆C2的方程为．
（II）设Q（x1，y1），R（x2，y2），F（﹣1，0），
∵∠PF1Q与∠PF1R互补，∴，
∴，化简整理，可得x1y2+y2+x2y1+y1＝0 ①，
设直线PQ 为x＝my+n（m≠0），
联立直线与椭圆方程，
化简整理，可得（3m2+4）y2+6mny+3n2﹣12＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝36m2n2﹣4（3m2+4）（3n2﹣12）＞0，可得n2＜3m2+4 ②，
由韦达定理，可得③，
将x1＝my1+n，x2＝my2+n 代入①，可得2my1y2+（n+1）（y1+y2）＝0 ④，
再将③代入④，可得，解得n＝﹣4，
∴PQ的方程为x＝my﹣4，
由点F（﹣1，0）到直线PQ的距离d，
，
由②可得，3m2+4＞16，即m2＞4，
设f（m），令m2﹣4＝t，t＞0，
∴f（t），
由均值不等式可知，，
当且仅当时，即t，等号成立，
当取最小值时，f（t）取最大值，即△F1QR面积S最大，
∴，
∴△F1QR面积S最大值为．
22．（15分）已知函数f（x）＝nsinx+tanx，n∈N*．
（Ⅰ）求f（x）的导数f'（x）；
（Ⅱ）当n＝1时，求证：f（x）＞2x在上恒成立；
（Ⅲ）若f（x）＞（n+1）x在上恒成立，求n的最大值．
【解答】解：（I）由f（x）＝nsinx+tanx，得；
（II）当n＝1时，令g（x）＝f（x）﹣2x＝sinx+tanx﹣2x，则；
当时，因为，所以，
所以g（x）在上单调递增，所以g（x）＞g（0）＝0，
即f（x）＞2x在上恒成立．
（III）由条件知，当时，不等式成立，
即，解得，
所以正整数n最大为2．
当n＝2时，令h（x）＝f（x）﹣3x，则
．
所以h（x）在上单调递增，所以h（x）＞h（0）＝0，
即h（x）＞3x在上恒成立，
所以n的最大值为2．
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