2020-2021学年浙江省温州市十校联合体高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省温州市十校联合体高二（下）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年浙江省温州市十校联合体高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{y|y＝x2+1，x∈R}，则A∩B＝（　　）
A．∅ B．{1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，5，10}
2．（4分）双曲线2021的渐近线方程为（　　）
A． B．y＝±2x C． D．
3．（4分）下列函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是（　　）
A． B．y＝tanx
C．y＝3x﹣3﹣x D．y＝x3+1
4．（4分）已知等比数列{an}的公比为q，则“a1＞0且q＞1”是“{an}为递增数列”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（4分）函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
6．（4分）已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的△ABC有两解的是（　　）
A．a＝2，b＝3，C＝60° B．a＝2，，A＝30°
C．a＝1，b＝2，A＝45° D．a＝2，b＝3，c∈Z
7．（4分）设a＞0，b＞0，且a+2b＝1，则（　　）
A．有最小值为 B．有最小值为6
C．有最小值为 D．有最小值为7
8．（4分）已知三次函数f（x）＝2x3+3ax2+bx+c（a，b，c∈R），且f（2020）＝2020，f（2021）＝2021，f（2022）＝2022，则f（2023）＝（　　）
A．2023 B．2029 C．2031 D．2035
9．（4分）如图，已知椭圆C：x2+4y2＝4，过椭圆C上第一象限的点M作椭圆的切线与y轴相交于P点，O是坐标原点，作PN⊥OM于N．则|OM|•|ON|（　　）

A．恒为定值 B．有最小值没最大值
C．有最大值没最小值 D．既没最大值也没最小值
10．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，BC＝2，∠C＝90°，D，E分别是线段AB，AC上异于端点的动点，且DE∥BC，现将△ADE沿直线DE折起至△A'DE，使平面A'DE⊥平面BCED，当D从B滑动到A的过程中，下列选项中错误的是（　　）

A．∠A'DB的大小不会发生变化
B．二面角A'﹣BD﹣C的平面角的大小不会发生变化
C．三棱锥A'﹣EBC的体积先变大再变小
D．A'B与DE所成的角先变大后变小
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.
11．（6分）椭圆的左焦点F坐标为 　 　，以F为焦点、坐标原点为顶点的抛物线方程为 　 　．
12．（6分）已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域M内运动，则区域M的面积为 　 　，z＝4x﹣y的最大值为 　 　．
13．（6分）某四棱锥三视图如图所示，则该几何体的体积是 　 　，其内切球半径为 　 　．

14．（6分）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若，a2+a2021＝0，则S2022＝　 　；当Sn取得最大值时，n＝　 　．
15．（4分）已知函数，若f（x）+f（x+a）＝0恒成立，则正数a的最小值是 　 　．
16．（4分）设a∈R，函数，若函数y＝f[f（x）]恰有4个零点，则实数a的值为 　 　．
17．（4分）已知，是平面上的单位向量，则的最大值是 　 　．
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（14分）已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，设角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（A）＝0且a＝3，求b+c的取值范围．
19．（14分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为平行四边形，BC＝2，BE＝4，AB＝2，M是线段AC的中点，点A在平面BCDE上的射影为线段BD的中点．
（Ⅰ）证明：AE∥平面BMD；
（Ⅱ）若直线AB与平面BCDE所成角为，求二面角A﹣BD﹣M的平面角的余弦值．

20．（14分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an2+an（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝（﹣1）n+1，求数列{bn}的前n项和Tn，并证明．
21．（16分）如图，已知点P（2，2）是抛物线C：y2＝2x上一点，过点P作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于A、B两点，直线PA的斜率为k（k＞0）．
（Ⅰ）若直线PA、PB恰好为圆（x﹣2）2+y2＝1的切线，求直线PA的斜率；
（Ⅱ）求证：直线AB的斜率为定值．并求出当△PAB为直角三角形时，△PAB的面积．

22．（16分）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a∈R）．
（Ⅰ）若a＝2，当x＞0时，若不等式f（x）•（x﹣2）≥0恒成立，求实数b的值；
（Ⅱ）若b＝0，且函数y＝|f（x）|在[0，1]上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅲ）若函数y＝f（x）的图象在[0，2]上与x轴有两个不同的交点，求b2+2ab+4b的取值范围．

2020-2021学年浙江省温州市十校联合体高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{y|y＝x2+1，x∈R}，则A∩B＝（　　）
A．∅ B．{1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，5，10}
【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，
B＝{y|y＝x2+1，x∈R}＝{x|y≥1}，
∴A∩B＝{1，2，3}．
故选：C．
2．（4分）双曲线2021的渐近线方程为（　　）
A． B．y＝±2x C． D．
【解答】解：双曲线2021的渐近线方程为0，即y＝±2x．
故选：B．
3．（4分）下列函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是（　　）
A． B．y＝tanx
C．y＝3x﹣3﹣x D．y＝x3+1
【解答】解：对于A，的定义域为R，
因为f（﹣x）＝ln（x）＝lnln（x）＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数，
但是f（1）＝ln（1）＜0，f（0）＝0，f（1）＜f（0），不满足单调递增，不符合题意；
对于B，y＝tanx在R上不单调，不符合题意；
对于C，y＝3x﹣3﹣x在R上单调递增，且f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，符合题意；
对于D，y＝x3+1为非奇非偶函数，不符合题意．
故选：C．
4．（4分）已知等比数列{an}的公比为q，则“a1＞0且q＞1”是“{an}为递增数列”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：①在等比数列中，若a1＞0，q＞1，q＞1，则an+1＞an，即{an}为递增数列成立，即充分性成立．
②若an＝﹣1满足{an}为递增数列，但a1＞0，q＞1不成立，即必要性不成立，
故a1＞0，q＞1是{an}为递增数列的充分不必要条件，
故选：A．
5．（4分）函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，，其定义域为{x|x≠0}，排除A，
当x＜0时，f（x）（），有f（x）＞0，排除B，
当x＞0时，f（x），在区间（0，）上，f（x）＜0，排除C，
故选：D．
6．（4分）已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的△ABC有两解的是（　　）
A．a＝2，b＝3，C＝60° B．a＝2，，A＝30°
C．a＝1，b＝2，A＝45° D．a＝2，b＝3，c∈Z
【解答】解：对于A，由余弦定理可得c，三角形只有一解，故错误；
对于B，因为A＝30°，可得bsinA＜a＜b，所以三角形有两解，故正确；
对于C，由正弦定理可得，可得sinB1，故错误；
对于D，若z＝5，则a+b＝c，不能构成三角形，故错误．
故选：B．
7．（4分）设a＞0，b＞0，且a+2b＝1，则（　　）
A．有最小值为 B．有最小值为6
C．有最小值为 D．有最小值为7
【解答】解：因为a＞0，b＞0，且a+2b＝1，
则26，
当且仅当且a+2b＝1时取等号，此时取得最小值6．
故选：B．
8．（4分）已知三次函数f（x）＝2x3+3ax2+bx+c（a，b，c∈R），且f（2020）＝2020，f（2021）＝2021，f（2022）＝2022，则f（2023）＝（　　）
A．2023 B．2029 C．2031 D．2035
【解答】解：∵函数f（x）＝2x3+3ax2+bx+c，且f（2020）＝2020，f（2021）＝2021，f（2022）＝2022，
∴设三次函数g（x）＝f（x）﹣x，即 f（x）＝g（x）+x，
则g（2020）＝g（2021）＝g（2022）＝0，
∴g（x）＝2（x﹣2020）（x﹣2021）（x﹣2022），
∴g（2023）＝f（2023）﹣2023＝2×3×2×1＝12，
∴f（2023）＝g（2023）+2023＝12+2023＝2035，
故选：D．
9．（4分）如图，已知椭圆C：x2+4y2＝4，过椭圆C上第一象限的点M作椭圆的切线与y轴相交于P点，O是坐标原点，作PN⊥OM于N．则|OM|•|ON|（　　）

A．恒为定值 B．有最小值没最大值
C．有最大值没最小值 D．既没最大值也没最小值
【解答】解：不妨设切线PM方程为y＝kx+m，联立切线方程和椭圆方程，
消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，
所以Δ＝16（﹣m2+4k2+1）＝0，得4k2+1＝m2，
即k，
由韦达定理可得，解得xM，
所以yM，
可求得，P（0，m），
∴为定值．
故选：A．
10．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，BC＝2，∠C＝90°，D，E分别是线段AB，AC上异于端点的动点，且DE∥BC，现将△ADE沿直线DE折起至△A'DE，使平面A'DE⊥平面BCED，当D从B滑动到A的过程中，下列选项中错误的是（　　）

A．∠A'DB的大小不会发生变化
B．二面角A'﹣BD﹣C的平面角的大小不会发生变化
C．三棱锥A'﹣EBC的体积先变大再变小
D．A'B与DE所成的角先变大后变小
【解答】解：cos∠A′DB＝cos∠A′DE•cos∠BDE＝cos45°•cos∠135°，是定值，
∴∠ADB的大小不会发生变化，故A正确；
由三垂线法作出二面角A'﹣BD﹣C的平面角，∠A′BD，∠A′BE，∠EBD大小都为定值，
选项B正确．
，
由二次函数单调性可知V先变大再变小，选项C正确．A'B与DE所成的角先变小后变大，选项D错误．
故选：D．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.
11．（6分）椭圆的左焦点F坐标为 　（﹣1，0）　，以F为焦点、坐标原点为顶点的抛物线方程为 　y2＝﹣4x　．
【解答】解：由椭圆的方程可得a2＝4，b2＝3，所以c2＝a2﹣b2＝1，
所以可得椭圆额左焦点F（﹣1，0），
所以由题意可得抛物线的焦点坐标为：（﹣1，0）即1，所以p＝2，
所以抛物线的方程为：y2＝﹣2px＝﹣4x，
故答案分别为：（﹣1，0），y2＝﹣4x．
12．（6分）已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域M内运动，则区域M的面积为 　　，z＝4x﹣y的最大值为 　4　．
【解答】解：由不等式组作出可行域如图，

得A（1，0），
解得B（0，1），
∴平面区域M的面积为1×1；
化z＝4x﹣y，得y＝4x﹣z，由图可知，
当直线y＝4x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4×1﹣0＝4．
故答案为：，4．

13．（6分）某四棱锥三视图如图所示，则该几何体的体积是 　　，其内切球半径为 　　．

【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面棱长为2，高为2的四棱锥体；
如图所示：

所以，
设内切球的半径为r，
所以，
整理得：，
解得r＝2．
故答案为：．
14．（6分）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若，a2+a2021＝0，则S2022＝　0　；当Sn取得最大值时，n＝　1011　．
【解答】解：由{an}是等差数列，得S2022（a1+a2022）＝1006（a2+a2021）＝0；
又a10，a2+a2021＝a1011+a1012＝0，所以{an}是a1＞0的递减数列，且a1011＞0；a1012＜0，
所以当Sn取得最大值时，n＝1011．
故答案为：0；1011．
15．（4分）已知函数，若f（x）+f（x+a）＝0恒成立，则正数a的最小值是 　　．
【解答】解：如图，

可知的最小正周期为π，
又f（x）+f（x+a）＝0，则f（x+2a）＝f（x+a+a）＝﹣f（x+a）＝f（x），
∴f（x）的周期为2a，则2a≥π，即，
∴正实数a的最小值为．
故答案为：．
16．（4分）设a∈R，函数，若函数y＝f[f（x）]恰有4个零点，则实数a的值为 　　．
【解答】解：当a≥0时，f（x），
令[f（f（x））]＝0，解得f（x）＝2，所以x＝0或x＝4，只有2个根，
故函数y＝f[f（x）]只有2个零点，不符合题意；
当a＜0时，令[f（f（x））]＝0，解得f（x）＝2或f（x）＝a，
因为f（x）＝a只有一个根，
所以f（x）＝2要有3个根，
则当x＜0时，f（x）最大值为2，
即，解得a，
又a＜0，
所以a．
综上所述，实数a的值为．
故答案为：．
17．（4分）已知，是平面上的单位向量，则的最大值是 　　．
【解答】解：设（1，0），（x，y），且x2+y2＝1，
∴（1﹣2x，﹣2y），（1+x，y），
∴



＝2
•
．
当且仅当，即x时取等号，
∴的最大值为．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（14分）已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，设角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（A）＝0且a＝3，求b+c的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ），
∴函数的最小正周期为π．
由，k∈Z，得，k∈Z．
∴函数的单调递增区间是，k∈Z．
（Ⅱ）由及，故，
由正弦定理可知，∴，，
由，△ABC为锐角三角形可得．
∴．
∵，∴，∴，
∴．
19．（14分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为平行四边形，BC＝2，BE＝4，AB＝2，M是线段AC的中点，点A在平面BCDE上的射影为线段BD的中点．
（Ⅰ）证明：AE∥平面BMD；
（Ⅱ）若直线AB与平面BCDE所成角为，求二面角A﹣BD﹣M的平面角的余弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：设BD与CE相交于O点，由题意知AO⊥平面BCDE．
连接MO，点M、O分别是AC、EC的中点，∴MO∥AE．
∵AE⊄平面MDB，MO⊂平面MDB．
∴AE∥平面BMD．
（Ⅱ）解：∵AO⊥平面BCDE，直线AB与平面BCDE所成角为．
∴，．
∵AO⊥平面BCDE，∴平面ABD⊥平面CBD．
∴二面角A﹣BD﹣M的平面角θ与二面角M﹣BD﹣C的平面角φ互余．
取线段OC中点F，连接MF，则MF⊥平面BCDE．
取OB中点G，连接FG、MG.，，又BC＝2，CD＝BE＝4，
∴CD2＝BC2+BD2.∴，即BC⊥BD，
∵FG∥BC，∴FG⊥BD．又MF⊥平面BCDE，
∴∠MGF就是二面角M﹣BD﹣C的平面角．
在Rt△MFG中，，，∴，．
∴．∴二面角A﹣BD﹣M的平面角的余弦值为．

20．（14分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an2+an（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝（﹣1）n+1，求数列{bn}的前n项和Tn，并证明．
【解答】解：（Ⅰ）当n＝1时，，解得a1＝1；
当n≥2时，．
∴，
∵{an}是正项数列，∴an+an﹣1＞0，∴an﹣an﹣1＝1．
∴数列{an}是以1为首项1为公差的等差数列．
∴an＝n．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，
因此．
当n为奇数时，单调递减，此时；
当n为偶数时，单调递增，此时．
∴．
21．（16分）如图，已知点P（2，2）是抛物线C：y2＝2x上一点，过点P作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于A、B两点，直线PA的斜率为k（k＞0）．
（Ⅰ）若直线PA、PB恰好为圆（x﹣2）2+y2＝1的切线，求直线PA的斜率；
（Ⅱ）求证：直线AB的斜率为定值．并求出当△PAB为直角三角形时，△PAB的面积．

【解答】解：（Ⅰ）依题意，PA：y﹣2＝k（x﹣2）（k＞0），
由直线PA与圆（x﹣2）2+y2＝1相切，
可得，
解得．
（Ⅱ）设A（xA，yA），B（xB，yB），
联立直线PA与抛物线方程，
消去x可得：ky2﹣2y+4﹣4k＝0，
∴，，
∴．
用﹣k代替k可得：，
∴．
因此，，
即直线AB的斜率为定值，
1°当∠PAB＝90°时，由kAB⋅k＝﹣1得k＝2，此时P（2，2），，，
求得，，，
2°当∠APB＝90°时，可得k＝1，此时P（2，2），A（0，0），B（8，﹣4），
求得，，，
3°当∠ABP＝90°时，无解．
综上所述，当△PAB为直角三角形时，△PAB的面积为或12．
22．（16分）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a∈R）．
（Ⅰ）若a＝2，当x＞0时，若不等式f（x）•（x﹣2）≥0恒成立，求实数b的值；
（Ⅱ）若b＝0，且函数y＝|f（x）|在[0，1]上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅲ）若函数y＝f（x）的图象在[0，2]上与x轴有两个不同的交点，求b2+2ab+4b的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）若a＝2，f（x）＝x2+2x+b，不等式f（x）⋅（x﹣2）≥0恒成立．
当x＞2时，x﹣2＞0，此时f（x）≥0，0＜x＜2时，x﹣2＜0，此时f（x）≤0，
∴f（2）＝4+4+b＝0，解得b＝﹣8，经检验符合题意．
（由图像直接得到f（2）＝0也相应给分）
（Ⅱ）若b＝0，则y＝|f（x）|＝|x2+ax|．
因为x∈[0，1]，当a≥0时，|f（x）|＝x2+ax在区间[0，1]上单调递增；
当a＜0时，，
所以要使f（x）在[0，1]上单调递增，则需，即a≤﹣2．
所以满足条件的实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）．
（由数形结合得到a的范围也相应给分）
（Ⅲ）解：依题意，方程x2+ax+b＝0在区间[0，2]上有两个相异实根．
设x1，x2是方程x2+ax+b＝0在区间[0，2]上的两个相异实根，则f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2），
∴b2+2ab+4b＝b（4+2a+b）＝f（0）f（2）＝x1x2（2﹣x1）（2﹣x2），
不妨设0≤x1＜x2≤2，则，
∴b2+2ab+4b的取值范围是[0，1）．
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