2021-2022学年浙江省台州市三门县启超中学高二（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年浙江省台州市三门县启超中学高二（上）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省台州市三门县启超中学高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．倾斜角为45°，在y轴上的截距是﹣2的直线方程为（　　）
A．x﹣y+2＝0 B．x﹣y﹣2＝0 C．xy﹣2＝0 D．xy+2＝0
2．椭圆x2+2y2＝1的焦点坐标是（　　）
A．（±1，0） B．（0，±1） C．（±，0） D．（0，±）
3．空间两点A（1，5，4），B（﹣1，3，5）间的距离等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．9
4．圆C1：x2+y2+8x+12＝0和圆C2：x2+y2﹣6y＝0的位置关系是（　　）
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
5．2021年10月18日，中共中央政治局召开会议，研究全面总结党的百年奋斗重大成就和历史经验问题．中共中央总书记习近平主持会议．中共中央政治局听取了《中共中央关于党的百年奋斗重大成就和历史经验的决议》稿在党内外一定范围征求意见的情况报告，决定根据这次会议讨论的意见进行修改后将决议稿提请十九届六中全会审议．某班级从3名男生和3名女生中任选2人参加学校该《决议》精神宣讲团，则选中的2人恰好一名男生一名女生的概率为（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
6．已知直线ax+by+c＝0与圆O：x2+y2＝1相交于A，B两点，且，则的值是（　　）
A． B． C． D．0
7．已知数列{an}是等差数列，前n项和Sn，若满足S2020＜S2022＜S2021，则使Sn＞0最大的n为（　　）
A．2021 B．2022 C．4041 D．4042
8．设F1，F2是双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点．若|PF1|+|PF2|＝6a，且，则双曲线C的渐近线方程是（　　）
A．x±y＝0 B．xy＝0 C．x±2y＝0 D．2xy＝0
二、多项选择题：本题共4小题．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．
（多选）9．已知A，B是随机事件，则下列结论正确的是（　　）
A．若A，B是互斥事件，则P（AB）＝P（A）P（B）
B．若事件A，B相互独立，则P（A+B）＝P（A）+P（B）
C．若A，B是对立事件，则A，B是互斥事件
D．事件A，B至少有一个发生的概率不小于A，B恰好有一个发生的概率
（多选）10．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点F（1，0），直线l：x＝4，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半．若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（　　）
A．点P的轨迹方程是1
B．直线l1：x+2y﹣4＝0是“最远距离直线”
C．平面上有一点A（﹣1，1），则|PA|+2|PF|的最小值为5
D．点P的轨迹与圆C：x2+y2﹣2x＝0是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）
（多选）11．由9个正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列．下列判断正确的是（　　）
A．第2列中的a12，a22，a32必成等比数列
B．第1列中的a11，a21，a31不一定成等比数列
C．a12+a32≥a21+a23
D．若9个数之和等于9，则a22≥1
12．如图，已知正四面体A1A2A3A4棱长为，点A5，A6，A7，A8，A9，A10分别是所在棱中点，点P满足且x+y+z＝1，记，则当1≤i，j≤10且i≠j时，数量积的不同取值可以是（　　）

A．0 B．2 C．3 D．6
三、填空题：本题共4个小题，每小题0分，共20分
13．正整数列前n（n∈N*）个奇数的和＝　 　．
14．现有3个灯泡并联而成的闭合电路，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.9，那么在这段时间内该电路上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是　 　．
15．已知空间直线l的方向向量是，平面α的法向量．若l⊥α，则a+b＝　 　．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，F1F2，P是y轴正半轴上一点，PF1交椭圆于点A，若AF2⊥PF1，且△APF2的内切圆半径为，则椭圆的离心率是 　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。．
17．如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1是四棱柱，底面ABCD是正方形，AA1＝3，AB＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°，设．
（1）试用表示；
（2）已知O为对角线A1C的中点，求CO的长．

18．已知圆C的圆心坐标为C（3，0），且该圆经过点A（0，4）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点B也在圆C上，且弦AB长为8，求直线AB的方程．
19．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是正项等比数列，且a1＝b1＝1，a3+b2＝8，a5＝b3．
（1）求数列{an}、数列{bn}的通项公式；
（2）若cnbn（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Sn．
20．某单位的联欢活动中有一种摸球游戏，已知甲口袋中大小相同的3个球，其中2个红球，1个黑球；乙口袋中有大小相同的2个球，其中1个红球，1个白球．每次从一只口袋中摸一个球，确定颜色后再放回．摸球的规则是：先从甲口袋中摸一个球，如果摸到的不是红球，继续从甲口袋中摸一个球，只有当从甲口袋中摸到红球时，才可继续从乙口袋里摸球．从每个口袋里摸球时，如果连续两次从同一口袋中摸到的都不是红球，则该游戏者的游戏停止．游戏规定，如果游戏者摸到2个红球，那么游戏者就中奖．现假设各次摸球均互不影响．
（Ⅰ）一个游戏者只摸2次就中奖的概率；
（Ⅱ）在游戏中，如果某一个游戏者不放弃所有的摸球机会，求他摸球4次的概率．
21．如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BC，CD的中点．
（1）求A1到平面C1EF的距离；
（2）求平面C1EF与平面AB1D1夹角的余弦值．

22．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4．
（Ⅰ）求t，p的值；
（Ⅱ）设A、B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且•5（其中O为坐标原点）．
（ⅰ）求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；
（ⅱ）过点P作AB的垂线与抛物线交于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值．


2021-2022学年浙江省台州市三门县启超中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．倾斜角为45°，在y轴上的截距是﹣2的直线方程为（　　）
A．x﹣y+2＝0 B．x﹣y﹣2＝0 C．xy﹣2＝0 D．xy+2＝0
【解答】解：倾斜角为45°的直线的斜率为1，在y轴上的截距是﹣2，
故它的直线方程为 y＝x﹣2，即x﹣y﹣2＝0，
故选：B．
2．椭圆x2+2y2＝1的焦点坐标是（　　）
A．（±1，0） B．（0，±1） C．（±，0） D．（0，±）
【解答】解：∵椭圆x2+2y2＝1的标准方程为：x21，
∴a2＝1，b2，
∴c2＝a2﹣b2，
∴c．
又椭圆x2+2y2＝1的焦点在x轴，
∴椭圆x2+2y2＝1的焦点坐标是（±，0）．
故选：C．
3．空间两点A（1，5，4），B（﹣1，3，5）间的距离等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．9
【解答】解：因为空间两点A（1，5，4），B（﹣1，3，5），
故A，B两点间的距离为．
故选：B．
4．圆C1：x2+y2+8x+12＝0和圆C2：x2+y2﹣6y＝0的位置关系是（　　）
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
【解答】解：根据题意圆C1：x2+y2+8x+12＝0，即（x+4）2+y2＝4，其圆心为（﹣4，0），半径r＝2，
圆C2：x2+y2﹣6y＝0，即x2+（y﹣3）2＝9，其圆心为（0，3），半径R＝3，
圆心距|C1C2|5，
则圆心距|C1C2|＝R+r＝5，则两圆外切，
故选：A．
5．2021年10月18日，中共中央政治局召开会议，研究全面总结党的百年奋斗重大成就和历史经验问题．中共中央总书记习近平主持会议．中共中央政治局听取了《中共中央关于党的百年奋斗重大成就和历史经验的决议》稿在党内外一定范围征求意见的情况报告，决定根据这次会议讨论的意见进行修改后将决议稿提请十九届六中全会审议．某班级从3名男生和3名女生中任选2人参加学校该《决议》精神宣讲团，则选中的2人恰好一名男生一名女生的概率为（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
【解答】解：从3名男生和3名女生中任选2人，基本事件有15（种），
选中的2人恰好1名男生1名女生的事件有9（种），
故所求的概率为P0.6．
故选：D．
6．已知直线ax+by+c＝0与圆O：x2+y2＝1相交于A，B两点，且，则的值是（　　）
A． B． C． D．0
【解答】解：取AB的中点C，连接OC，，则AC，OA＝1
∴sin sin∠AOC
所以：∠AOB＝120°
则 •1×1×cos120°．
故选：A．

7．已知数列{an}是等差数列，前n项和Sn，若满足S2020＜S2022＜S2021，则使Sn＞0最大的n为（　　）
A．2021 B．2022 C．4041 D．4042
【解答】解：因为S2020＜S2022＜S2021，
所以S2020＜S2020+a2021+a2022，S2021+a2022＜S2021，
所以a2021+a2022＞0，a2022＜0，
所以S40422021（a2021+a2022）＞0，
S40434043a2022＜0，
所以使Sn＞0最大的n为4042．
故选：D．
8．设F1，F2是双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点．若|PF1|+|PF2|＝6a，且，则双曲线C的渐近线方程是（　　）
A．x±y＝0 B．xy＝0 C．x±2y＝0 D．2xy＝0
【解答】解：由双曲线的定义知，|PF1|﹣|PF2|＝2a，
∵|PF1|+|PF2|＝6a，
∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
∵|PF1|•|PF2|sin∠F1PF2，
∴•4a•2a•sin∠F1PF2，即sin∠F1PF2，
在△PF1F2中，由余弦定理知，cos∠F1PF21，
∵，
∴（）2+（1）2＝1，
化简得，2，
∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0．
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．
（多选）9．已知A，B是随机事件，则下列结论正确的是（　　）
A．若A，B是互斥事件，则P（AB）＝P（A）P（B）
B．若事件A，B相互独立，则P（A+B）＝P（A）+P（B）
C．若A，B是对立事件，则A，B是互斥事件
D．事件A，B至少有一个发生的概率不小于A，B恰好有一个发生的概率
【解答】解：对于A，若A，B是互斥事件，则P（AB）＝0，故A错误；
对于B，若事件A，B互斥事件，则P（A+B）＝P（A）+P（B），故B错误；
对于C，∵对立事件一定是互斥事件，
∴若A，B是对立事件，则A，B是互斥事件，故C正确；
对于D，∵事件A，B至少有一个发生包含A，B恰好有一个发生和A，B同时发生两种情况，
∴事件A，B至少有一个发生的概率不小于A，B恰好有一个发生的概率，故D正确．
故选：CD．
（多选）10．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点F（1，0），直线l：x＝4，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半．若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（　　）
A．点P的轨迹方程是1
B．直线l1：x+2y﹣4＝0是“最远距离直线”
C．平面上有一点A（﹣1，1），则|PA|+2|PF|的最小值为5
D．点P的轨迹与圆C：x2+y2﹣2x＝0是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）
【解答】解：对于A，设P（x，y），因为点P到点F的距离是点P到直线l距离的一半，
所以，化简可得，
故选项A正确；
对于B，联立方程组，解得x＝1，
故存在点P（1，），
所以直线l1：x+2y﹣4＝0是“最远距离直线”，
故选项B正确；
对于C，过点P作PB垂直直线l：x＝4，垂足为B，
由题意可得，|PB|＝2|PF|，
则|PA|+2|PF|＝|PA|+|PB|，
由图象可知，|PA|+|PB|的最小值即为点A到直线l：x＝4的距离5，
故选项C正确；
对于D，由x2+y2﹣2x＝0可得（x﹣1）2+y2＝1，
故圆心为（1，0），半径为1，
所以点P的轨迹与圆C交于点（2，0），
故选项D错误．
故选：ABC．

（多选）11．由9个正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列．下列判断正确的是（　　）
A．第2列中的a12，a22，a32必成等比数列
B．第1列中的a11，a21，a31不一定成等比数列
C．a12+a32≥a21+a23
D．若9个数之和等于9，则a22≥1
【解答】解：由题意设由9个正数组成的矩阵是：
由a11+a12+a13、a21+a22+a23、a31+a32+a33成等比数列，
则有：（3b+3m）2＝（3a+3d）（3c+3n），即（b+m）2＝（a+d）（c+n），
∴，故A正确；
又，故C正确；
由题意设由9个正数组成的矩阵是：，故B正确；
由题意若9个数之和等于9，a12+a22+a32＝3，而a12，a22，a32必成等比数列，
∴，
即3≥3a22；
所以a22≤1．则故D错；
故选：ABC．
12．如图，已知正四面体A1A2A3A4棱长为，点A5，A6，A7，A8，A9，A10分别是所在棱中点，点P满足且x+y+z＝1，记，则当1≤i，j≤10且i≠j时，数量积的不同取值可以是（　　）

A．0 B．2 C．3 D．6
【解答】解：∵点P满足且x+y+z＝1，
∴点P在平面A1A2A3内，
由由，可得⊥平面A1A2A3，
由向量数量积的几何意义，
AiAj 在的投影有5种情况：0，±||，±||，
由正四面体A1A2A3A4棱长为，可求得A1A6，进而A1Q，
可得A4Q＝2，
∴数量积为0，±，±2．
故选：A．

三、填空题：本题共4个小题，每小题0分，共20分
13．正整数列前n（n∈N*）个奇数的和＝　n2　．
【解答】解：1+3+5+…+（2n﹣1）n2；
故答案为：n2．
14．现有3个灯泡并联而成的闭合电路，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.9，那么在这段时间内该电路上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是　0.972　．
【解答】解：现有3个灯泡并联而成的闭合电路，在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.9，
∴在这段时间内该电路上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是：
P0.972．
故答案为：0.972．
15．已知空间直线l的方向向量是，平面α的法向量．若l⊥α，则a+b＝　2　．
【解答】解：∵是直线l的方向向量，
是平面α的法向量，l⊥α，
∴∥，
∴，
解得a+b＝2．
故答案为：2．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，F1F2，P是y轴正半轴上一点，PF1交椭圆于点A，若AF2⊥PF1，且△APF2的内切圆半径为，则椭圆的离心率是 　　．
【解答】解：由题意，直角三角形的内切圆半径r
，
∵|F1F2|，
∴|AF1|2+|AF2|2＝10，
∴2|AF1||AF2|＝8，
∴（|AF1|+|AF2|）2＝18，
∴|AF1|+|AF2|＝32a，
∵|F1F2|，
∴椭圆的离心率是e．
故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。．
17．如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1是四棱柱，底面ABCD是正方形，AA1＝3，AB＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°，设．
（1）试用表示；
（2）已知O为对角线A1C的中点，求CO的长．

【解答】解：（1）


．
（2）由题意知，，，
，．
，



．

18．已知圆C的圆心坐标为C（3，0），且该圆经过点A（0，4）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点B也在圆C上，且弦AB长为8，求直线AB的方程．
【解答】解：（1）设圆的标准为（x﹣3）2+y2＝r2，
把A（0，4）代入得r＝5，
故圆的标准方程为（x﹣3）2+y2＝25．
（2）①当直线AB的斜率不存在时，根据题意，直线AB的方程为x＝0；
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+4，
由弦AB长为8，圆的半径r＝5，可得圆心到直线AB的距离为3，
故3，解得k
所以直线AB的方程为yx+4，即7x+24y﹣96＝0，
综上所述，直线AB的方程为x＝0或7x+24y﹣96＝0．
19．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是正项等比数列，且a1＝b1＝1，a3+b2＝8，a5＝b3．
（1）求数列{an}、数列{bn}的通项公式；
（2）若cnbn（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Sn．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
正项等比数列{bn}的公比为q，q＞0，
由a1＝b1＝1，a3+b2＝8，a5＝b3，可得1+2d+q＝8，1+4d＝q2，
解得d＝2，q＝3（d＝6，q＝﹣5舍去），
则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；bn＝3n﹣1；
（2）cnbn3n﹣1
（）+3n﹣1，
所以Sn（1）
（1）．
20．某单位的联欢活动中有一种摸球游戏，已知甲口袋中大小相同的3个球，其中2个红球，1个黑球；乙口袋中有大小相同的2个球，其中1个红球，1个白球．每次从一只口袋中摸一个球，确定颜色后再放回．摸球的规则是：先从甲口袋中摸一个球，如果摸到的不是红球，继续从甲口袋中摸一个球，只有当从甲口袋中摸到红球时，才可继续从乙口袋里摸球．从每个口袋里摸球时，如果连续两次从同一口袋中摸到的都不是红球，则该游戏者的游戏停止．游戏规定，如果游戏者摸到2个红球，那么游戏者就中奖．现假设各次摸球均互不影响．
（Ⅰ）一个游戏者只摸2次就中奖的概率；
（Ⅱ）在游戏中，如果某一个游戏者不放弃所有的摸球机会，求他摸球4次的概率．
【解答】解：从甲口袋中摸一个球，摸到的球是红球的概率为，从乙口袋里摸一个球，摸到的球是红球的概率为．
（I）一个游戏者只摸2次就中奖，说明他第一次从甲口袋中摸到的球是红球，第二次从乙口袋中摸到的球也是红球，
故所求的概率P．
（II）设摸次数为ξ，ξ可取2，3，4．
用A表示“从甲口袋中摸一个球，摸到的球是红球”，表示“从甲口袋中摸一个球，摸到的球不是红球”，则P（A），P（），
用B表示“从乙口袋中摸一个球，摸到的球是红球”，表示“从乙口袋中摸一个球，摸到的球不是红球”，则P（B）＝P（），
P（ξ＝2）＝P（AB）+P（），
P（ξ＝3）＝P（AB）+P（A）+P（AB），
P（ξ＝4）＝1﹣P（ξ＝2）﹣P（ξ＝3），
故他摸球4次的概率为．
21．如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BC，CD的中点．
（1）求A1到平面C1EF的距离；
（2）求平面C1EF与平面AB1D1夹角的余弦值．

【解答】解：（1）根据题意建立空间直角坐标系，如图所示：

则A1（2，0，2），C1（0，2，2），E（1，2，0），F（0，1，0），
所以（﹣2，2，0），（﹣1，﹣1，0），（1，0，﹣2），
设平面C1EF的法向量为（x，y，z），
则，即，
令z＝1，得x＝2，y＝﹣2，
所以（2，﹣2，1），
所以点A1到平面C1EF的距离为d；
（2）因为A（2，0，0），B1（2，2，2），D1（0，0，2），所以（0，2，2），（﹣2，0，2），
设平面AB1D1的法向量为（x，y，z），则，即，
令z＝1，解得x＝1，y＝﹣1，所以（1，﹣1，1），
所以平面C1EF与平面AB1D1夹角的余弦值为
|cosθ|．
22．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4．
（Ⅰ）求t，p的值；
（Ⅱ）设A、B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且•5（其中O为坐标原点）．
（ⅰ）求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；
（ⅱ）过点P作AB的垂线与抛物线交于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值．

【解答】（Ⅰ）解：由已知得34⇒p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x，把点T（3，t）代入抛物线方程，
可解得t＝±2；
（Ⅱ）（ⅰ）证明：设直线AB的方程为x＝my+t，A（，y1）、B（，y2），
联立，得y2﹣4my﹣4t＝0，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t．
由•5，得，解得y1y2＝﹣20或y1y2＝4（舍去），
即﹣4t＝﹣20，得t＝5，∴直线AB过定点P（5，0）；
（ⅱ）解：由（ⅰ）得|AB||y2﹣y1|，
同理得|CD||y2﹣y1|，
则四边形ACBD面积S|AB|•|CD|••••
＝8，
令u（u≥2），则S＝8是关于u的增函数，
当且仅当u＝2，即m＝±1时，故Smin＝96．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/5/26 11:02:31；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983