2021-2022学年浙江省绍兴市柯桥区高二（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年浙江省绍兴市柯桥区高二（上）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省绍兴市柯桥区高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．（5分）已知直线方程为，则其倾斜角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．（5分）已知两个向量，，且，则s﹣t的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．10 D．﹣10
3．（5分）已知双曲线，其渐近线方程为，则a的值为（　　）
A． B． C． D．2
4．（5分）已知抛物线y＝x2，则其焦点到准线的距离为（　　）
A． B． C．1 D．4
5．（5分）已知数列{an}满足，且a1＝2，Sn为其前n项的和，则S10＝（　　）
A．310 B．310﹣1 C．39﹣1 D．39
6．（5分）数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项的和，若对任意的n∈N*，都有Sn≤S4，则的值不可能是（　　）．
A． B．2 C． D．3
7．（5分）空间直角坐标系中，A（0，0，0）、B（1，1，1）、C（1，0，0））、D（﹣1，2，1），其中A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，已知平面α∥平面β，则平面α与平面β间的距离为（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）当实数θ，m变化时，的最大值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．
（多选）9．（5分）已知曲线C：ax2+by2＝1，则（　　）
A．若a＞0，b＞0，则曲线C表示椭圆
B．若ab＜0，则曲线C表示双曲线
C．若a+2b＝0，b≠0，则曲线C表示双曲线，其渐近线方程为
D．若a﹣2b＝0，b＞0，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，其离心率
（多选）10．（5分）已知数列{an}是各项为正的等比数列，Sn为其前n项和．数列{bn}满足bn＝lgan，其前n项和为Tn．则（　　）
A．数列{Sn+2﹣Sn}一定为等比数列
B．数列{a2n+an}一定为等比数列
C．数列{bn}一定为等差数列
D．若Tn有最大值，则必有a1＞1
（多选）11．（5分）已知斜率为k的直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且与抛物线C交M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则以下结论正确的是（　　）
A．若|MN|＝16，则MN的中点到y轴的距离为6
B．对任意实数k，y1•y2为定值
C．存在实数k，使得成立
D．若，则
（多选）12．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，AB＝2，点P，E分别为AB，AA1的中点，点M为直线CD1上的动点，点N为直线C1D1上的动点，则（　　）

A．对任意的点N，一定存在点M，使得PM⊥DN
B．向量，，共面
C．异面直线PM和AA1所成角的最小值为
D．存在点M，使得直线PM与平面DCC1D1所成角为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知圆C：x2+y2﹣6y﹣a＝0，直线l：3x+4y﹣2＝0与圆C交于A，B两点，且，则a＝　 　．
14．（5分）等差数列{an}中，若a3+a5+a7＝42，a2＝5，则an＝　 　，数列的前n项和为Sn，则Sn＝　 　．
15．（5分）已知平面α⊥β，过空间一定点P作一直线l，使得直线l与平面α，β所成的角都是30°，则这样的直线l有 　 　条．
16．（5分）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线右支上，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，且直线PF的斜率为，则该双曲线的离心率是 　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知直线l过点P（1，2），与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）若△OAB的面积为，求直线l的方程；
（2）求△OAB的面积的最小值．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，且∠BAD＝60°，侧棱PA＝2，∠PAD＝∠PAB＝45°，M是PC的中点，设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）求BM的长．

19．（12分）在柯桥古镇的开发中，为保护古桥OA，规划在O的正东方向100m的C处向对岸AB建一座新桥，使新桥BC与河岸AB垂直，并设立一个以线段OA上一点M为圆心，与直线BC相切的圆形保护区（如图所示），且古桥两端O和A与圆上任意一点的距离都不小于50m，经测量，点A位于点O正南方向25m，tan∠BCO，建立如图所示直角坐标系．
（1）求新桥BC的长度；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最小？

20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2，D为BC的中点，平面BB1C1C⊥平面ABC．
（1）证明：AD⊥BB1；
（2）已知四边形BB1C1C是边长为2的菱形，且∠B1BC＝60°，问在线段CC1上是否存在点E，使得平面EAD与平面EAC的夹角的余弦值为，若存在，求出CE的长度，若不存在，请说明理由．

21．（12分）已知等差数列{an}中，a1＝6，前5项的和为S5＝90，数列{bn}满足b1＝1，bn+1﹣bn＝2n（n∈N*）．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）记cn＝|an﹣bn|，求数列{cn}的前n项和Tn．
22．（12分）已知椭圆的离心率，过椭圆C的焦点且垂直于x轴的直线截椭圆所得到的线段的长度为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：x＝λy+t交椭圆C于A、B两点，若y轴上存在点P，使得△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，求△PAB的面积的取值范围．


2021-2022学年浙江省绍兴市柯桥区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．（5分）已知直线方程为，则其倾斜角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【解答】解：直线方程为，则直线的斜率k，即tan，
由于0≤θ＜π，
故θ＝150°．
故选：D．
2．（5分）已知两个向量，，且，则s﹣t的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．10 D．﹣10
【解答】解：∵，，且，
∴，
∴s＝4，t＝﹣6，
∴s﹣t＝4﹣（﹣6）＝10，
故选：C．
3．（5分）已知双曲线，其渐近线方程为，则a的值为（　　）
A． B． C． D．2
【解答】解：双曲线，其渐近线方程为，
可得，解得a．
故选：A．
4．（5分）已知抛物线y＝x2，则其焦点到准线的距离为（　　）
A． B． C．1 D．4
【解答】解：由抛物线y＝x2，即x2＝y，得抛物线的焦点坐标为F（0，），
又抛物线的直线方程为y，可得抛物线y＝x2的焦点到准线的距离是．
故选：B．
5．（5分）已知数列{an}满足，且a1＝2，Sn为其前n项的和，则S10＝（　　）
A．310 B．310﹣1 C．39﹣1 D．39
【解答】解：数列{an}满足，且a1＝2，
所以数列{an}是以3为公比的等比数列，
所以S10310﹣1．
故选：B．
6．（5分）数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项的和，若对任意的n∈N*，都有Sn≤S4，则的值不可能是（　　）．
A． B．2 C． D．3
【解答】解：根据题意，设Snn2+（a1）n（n∈N*），
∵对任意的n∈N*，都有Sn≤S4，
∴对称轴n，满足，即﹣43，
又∵1
∴3，
∴从选项看的值不可能是．
故选：A．
7．（5分）空间直角坐标系中，A（0，0，0）、B（1，1，1）、C（1，0，0））、D（﹣1，2，1），其中A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，已知平面α∥平面β，则平面α与平面β间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵空间直角坐标系中A（0，0，0）、B（1，1，1）、C（1，0，0））、D（﹣1，2，1），
∴（1，1，1），（﹣2，2，1），（1，0，0），
设向量（x，y，z）与都垂直，
则，取x＝1，得（1，3，﹣4），
∵A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，平面α∥平面β，
∴平面α与平面β间的距离为：
d．
故选：A．
8．（5分）当实数θ，m变化时，的最大值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：的最大值表示点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣3﹣4m＝0的距离的最大值，
因为点P（cosθ，sinθ）在圆O：x2+y2＝1，直线x﹣my﹣3﹣4m＝0恒过定点A（3，﹣4），
所以点P到直线的x﹣my﹣3﹣4m＝0距离的最大值为|OA|+r＝5+1＝6．
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．
（多选）9．（5分）已知曲线C：ax2+by2＝1，则（　　）
A．若a＞0，b＞0，则曲线C表示椭圆
B．若ab＜0，则曲线C表示双曲线
C．若a+2b＝0，b≠0，则曲线C表示双曲线，其渐近线方程为
D．若a﹣2b＝0，b＞0，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，其离心率
【解答】解：对于A，若a＞0，b＞0，当a＝b时，则曲线C表示圆，故A错误；
对于B，若ab＜0，当a＞0，b＜0时曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，当a＜0，b＞0时曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，所以若ab＜0，则曲线C表示双曲线，故B正确；
对于C，若a+2b＝0，b≠0，则a＝﹣2b，ab＜0，所以曲线C表示双曲线，方程为﹣2bx2+by2＝1，
令﹣2bx2+by2＝0，得y2＝2x2，即，故其渐近线方程为，故C正确；
对于D，若a﹣2b＝0，b＞0，则曲线C方程为2bx2+by2＝1，即，因为，所以曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故D错误．
故选：BC．
（多选）10．（5分）已知数列{an}是各项为正的等比数列，Sn为其前n项和．数列{bn}满足bn＝lgan，其前n项和为Tn．则（　　）
A．数列{Sn+2﹣Sn}一定为等比数列
B．数列{a2n+an}一定为等比数列
C．数列{bn}一定为等差数列
D．若Tn有最大值，则必有a1＞1
【解答】解：设数列{an}的公比为q（q＞0），
选项A，Sn+2﹣Sn＝an+2+an+1，因为数列{an}是各项为正的等比数列，所以an+1+an＞0，
所以q＞0，即选项A正确；
选项B，当n＝1时，a2+a1＝a1（q+1）；当n＝2时，a4+a2＝a1（q3+q）；当n＝3时，a6+a3＝a1（q5+q2），
所以（a2+a1）•（a6+a3），故数列{a2n+an}一定不为等比数列，即选项B错误；
选项C，bn﹣bn﹣1＝lgan﹣lgan﹣1＝lglgq，所以数列{bn}一定为等差数列，即选项C正确；
选项D，因为数列{bn}为等差数列，若Tn有最大值，则公差小于0，即lgq＜0，解得0＜q＜1，与a1无关，即选项D错误．
故选：AC．
（多选）11．（5分）已知斜率为k的直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且与抛物线C交M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则以下结论正确的是（　　）
A．若|MN|＝16，则MN的中点到y轴的距离为6
B．对任意实数k，y1•y2为定值
C．存在实数k，使得成立
D．若，则
【解答】解：抛物线的焦点F（1，0），
则直线l的方程为y＝k（x﹣1），k≠0，
联立直线l与抛物线方程，化简整理可得，，
由韦达定可得，y1+y2，y1y2＝﹣4，故B正确，
，，
当|MN|＝16时，x1+x2+2＝16，
此时MN的中点到y轴的距离为，故A错误，
当|MN|时，，此方程无解，故C错误，
当时，2，即|y1|＝2|y2|，
∵y1y2＝﹣4＜0，
∴y1＝﹣2y2，
则，，，
当时，，，解得k，
当时，，，解得k＝2，
故当时，，故D正确．
故选：BD．
（多选）12．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，AB＝2，点P，E分别为AB，AA1的中点，点M为直线CD1上的动点，点N为直线C1D1上的动点，则（　　）

A．对任意的点N，一定存在点M，使得PM⊥DN
B．向量，，共面
C．异面直线PM和AA1所成角的最小值为
D．存在点M，使得直线PM与平面DCC1D1所成角为
【解答】解：以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（，0，0），B（，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），A1（，0，），B1（），C1（0，2，），D1（0，0，），
∴P（，1，0），设N（0，t，），，0≤t≤2，0≤λ≤1，
∵（0，2，），∴（0，2λ，），∴M（0，2λ，），
∴（0，t，），（，2λ﹣1，），
若PM⊥DN，则0，即t（2λ﹣1）+（）＝0，
当t＝1时，λ不存在，∴当N为D1C1中点时，不存在M，使得PM⊥DN，故A错误；
连接EP，则EP∥A1B，由长方体得D1C∥A1B，∴EP∥CD1，
∴，即共面，故B正确；
（0，0，），∴|cos|，
当λ＝1时，|cos|＝0，此时AA1⊥PM，
当0≤λ＜1时，|cos|，
令t，设u＝1﹣λ∈（0，1]，则t＝（）2，
∴|cos|，
∴异面直线PM与AA1所成角的范围是[，]，
∴直线PM和AA1所成角的最小值为，故C正确；
平面DCC1D1的法向量为（1，0，0），
∴|cos|，
若直线PM与平面DCC1D1所成角为，则，
∴7λ2﹣10λ+3＝0，解得或λ＝1，故D正确．
故选：BCD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知圆C：x2+y2﹣6y﹣a＝0，直线l：3x+4y﹣2＝0与圆C交于A，B两点，且，则a＝　﹣2　．
【解答】解：由圆C：x2+y2﹣6y﹣a＝0，得x2+（y﹣3）2＝9+a，∴a＞﹣9方程表示圆，
圆心C（0，3）到直线3x+4y﹣2＝0的距离为2，
又，∴22+（）2＝9+a，∴a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．（5分）等差数列{an}中，若a3+a5+a7＝42，a2＝5，则an＝　3n﹣1　，数列的前n项和为Sn，则Sn＝　　．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
由a3+a5+a7＝3a5＝42，得a5＝12，则a1+4d＝14①，
又a2＝5，得a1+d＝5②，由①②得a1＝2，d＝3，
所以an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1；
所以（），
所以Sn（•••）（）．
故答案为：3n﹣1；．
15．（5分）已知平面α⊥β，过空间一定点P作一直线l，使得直线l与平面α，β所成的角都是30°，则这样的直线l有 　4　条．
【解答】解：设平面α⋂β＝m，在平面α内作OA⊥m于点O，在平面β内过点O作OB⊥m，
因为平面α⊥β，所以∠AOB＝90°，设OM是∠AOB的角平分线，则∠AOM＝∠BOM＝45°，

过棱m上一点P作PQ∥OM，则过点O在平面OMQP上存在2条直线l，
使得直线l与OB、OA成60°，此时直线l与平面且与平面α，β所成的角都是30°，
同理，在∠AOB的补角∠A′OB一侧也存在2条满足条件的直线l，
所以这样的直线l有4条，
故答案为：4．
16．（5分）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线右支上，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，且直线PF的斜率为，则该双曲线的离心率是 　3　．
【解答】解：由题意知，F（﹣c，0），|OF|＝c，
设双曲线E的右焦点为F′，连接PQ，设PF的中点为M，连接OM，MF′，PF′，则|OM|＝|OF|＝c，|PF′|＝2c，
又直线PF的斜率为，
在直角三角形FMF′中，tan∠MFF′，cos∠MFF′，|FF′|＝2c，
∴|FM|，|FP|，|FP|﹣|PF′|2c＝2a，即c＝3a，
∴e3．
故答案为：3．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知直线l过点P（1，2），与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）若△OAB的面积为，求直线l的方程；
（2）求△OAB的面积的最小值．
【解答】解：（1）设直线，则，
解得或，
所以直线l：x+2y﹣5＝0或8x+y﹣10＝0；
（2）∵，
∴ab≥8，
∴，此时a＝2，b＝4，
∴△ABC面积的最小值为4，此时直线l：2x+y＝4．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，且∠BAD＝60°，侧棱PA＝2，∠PAD＝∠PAB＝45°，M是PC的中点，设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）求BM的长．

【解答】解：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，且∠BAD＝60°
侧棱PA＝2，∠PAD＝∠PAB＝45°，M是PC的中点，设，，．

∴

．
（2）∵，
∴

．

19．（12分）在柯桥古镇的开发中，为保护古桥OA，规划在O的正东方向100m的C处向对岸AB建一座新桥，使新桥BC与河岸AB垂直，并设立一个以线段OA上一点M为圆心，与直线BC相切的圆形保护区（如图所示），且古桥两端O和A与圆上任意一点的距离都不小于50m，经测量，点A位于点O正南方向25m，tan∠BCO，建立如图所示直角坐标系．
（1）求新桥BC的长度；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最小？

【解答】解：（1）由题意，可知C（100，0），A（0，﹣25），，
∵AB⊥BC，
∴，
直线BC方程：4x﹣3y﹣400＝0①，直线AB方程：3x+4y+100＝0②，
由①②可知，B（52，﹣64），从而得，
故新桥BC的长度为80m．
（2）设|OM|＝a，则0≤a≤25，圆心（0，﹣a），
∵直线BC与圆M相切，
∴半径，
又因为，
∵0≤a≤25∴，
∴当时，圆M的面积达到最小．
20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2，D为BC的中点，平面BB1C1C⊥平面ABC．
（1）证明：AD⊥BB1；
（2）已知四边形BB1C1C是边长为2的菱形，且∠B1BC＝60°，问在线段CC1上是否存在点E，使得平面EAD与平面EAC的夹角的余弦值为，若存在，求出CE的长度，若不存在，请说明理由．

【解答】（1）证明：∵AB＝AC，且D为BC的中点，∴AD⊥BC，
．
（2）解：假设存在点E，满足题设要求，

∵四边形BB1C1C为边长为2的菱形，且∠B1BC＝60°，
∴BD1⊥BC，，
以D为原点，DC，DA，DB1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系．

则D（0.0，0），，C（1，0，0），，．
设，，．
设面AED的一个法向量为，则，
令z＝1+λ，则．
设面AEC的一个法向量为，则，
令z＝﹣1，则．
设平面EAD与平面EAC的夹角为θ，则．
解得，故点E为CC1中点，所以CE＝1．

21．（12分）已知等差数列{an}中，a1＝6，前5项的和为S5＝90，数列{bn}满足b1＝1，bn+1﹣bn＝2n（n∈N*）．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）记cn＝|an﹣bn|，求数列{cn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由S5＝5a3＝90，得a3＝18，即a1+2d＝18，又a1＝6，则d＝6，
所以an＝6+6（n﹣1）＝6n，
由bn+1﹣bn＝2n，得bn﹣bn﹣1＝2n﹣1（n≥2），
所以bn＝bn﹣bn﹣1+bn﹣1﹣bn﹣2+•••+b3﹣b2+b2﹣b1+b1＝1+21+22+•••+2n﹣12n﹣1，
又b1＝1满足上式，所以bn＝2n﹣1（n∈N*）；
（2）由（1）可知cn＝|an﹣bn|＝|6n﹣2n+1|，
所以当n≤4时，Tn＝﹣（21+22+•••+2n）+（7+13+•••+6n+1）（7+6n+1）＝﹣2n+1+3n2+4n+2，
当n≥5时，Tn＝T4+25+26+•••+2n﹣（31+37+•••+6n+1）＝34（31+6n+1）＝2n+1﹣3n2﹣4n+66．
综上Tn．
22．（12分）已知椭圆的离心率，过椭圆C的焦点且垂直于x轴的直线截椭圆所得到的线段的长度为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：x＝λy+t交椭圆C于A、B两点，若y轴上存在点P，使得△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，求△PAB的面积的取值范围．

【解答】解：（1）令x＝c，得，所以，
解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆C的方程：．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），取AB的中点M（x0，y0），
因为△PAB为以AB为斜边的等腰直角三角形，所以PM⊥AB且，
联立得（λ2+4）y2+2λty+t2﹣4＝0，则．
∴．
又∵，∴，且kMP＝﹣λ，xp＝0，
∴，
由得5t2＝λ2+4≥4，∴．
∴
，，
△PAB的面积的范围．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/5/27 9:56:19；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983