【解析版】孝感市孝南区2022学年八年级下期中数学试卷

2022学年湖北省孝感市孝南区八年级（下）期中数学试卷

一、精心选择，一锤定音！（本题10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的）

1．计算的结果是（　　）

　 A． ﹣3 B． 3 C． ﹣9 D． 9

2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

　 A． x＜1 B． x≥1 C． x≤﹣1 D． x＞1

3．下列各组数能成为直角三角形三边的是（　　）

　 A． 32、42、52 B． 、、 C． 、2、 D． 、、1

4．下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）

　 A． B． C． D．

5．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（　　）

　 A． 7 B． 6 C． 5 D． 4

6．已知△ABC的各边长度分别为3cm、4cm、5cm，则连接各边中点的三角形周长为（　　）

　 A． 2cm B． 7cm C． 5cm D． 6cm

7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（　　）

　 A． 30° B． 60° C． 90° D． 120°

8．如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°，则对角线AC=（　　）

　 A． 12 B． 9 C． 6 D． 3

9．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　）

　 A． 12≤a≤13 B． 12≤a≤15 C． 5≤a≤12 D． 5≤a≤13

10．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（　　）

　 A． n B． n﹣1 C． （）n﹣1 D． n

二、耐心填空，准确无误（每题3分，共计18分）

11．计算﹣=　　　　　　．

12．如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件　　　　　　，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）

13．如图，已知OA=OB，那么数轴上点A所表示的数是　　　　　　．

14．已知y=+﹣3，则2xy的值为　　　　　　．

15．直角三角形的两边长为5和7，则第三边长为　　　　　　．

16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为　　　　　　．

三、用心做一做，显显你的能力（本大题共8小题，共72分）

17．（+）﹣2﹣．

18．先化简，再求值：．

19．如图，直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8．

（1）作图：用尺规作AB的垂直平分线，交BC于D，交AB于H．（保留作图痕迹）

（2）在满足（1）的情况下，求BD的长．

20．如图，在所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①，②，③的三个三角形均为格点三角形（顶点在方格顶点处），请按要求将图甲、图乙中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①，②，③的三个三角形分别对应全等．

（1）图甲中的格点正方形ABCD；

（2）图乙中的格点平行四边形ABCD．

注：分割线画成实线．

21．阅读下列材料，并解决相应问题：

阅读：分母有理化就是把分母中的根号化去．

例如：===+

应用：用上述类似的方法化简下列各式：

（1）

（2）++…+．

22．在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面图如图，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图四边形ABCD）来求岛屿的面积，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=3千米，请求出四边形ABCD的面积．（结果保留根号）

23．已知矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．

（1）求证：△ABM≌DCM；

（2）判断四边形MENF是　　　　　　（只写结论，不需证明）；

（3）在（1）（2）的前提下，当等于多少时，四边形MENF是正方形，并给予证明．

24．已知：如图（1）四边形ABCD和四边形GCEF为正方形，B、C、E在同一直线．

（1）试判断BG、DE的位置关系，请直接写出结论：　　　　　　；

（2）若正方形GCEF绕C点顺时针旋转到图（2）的位置，（1）的结论是否仍成立？若成立，给予证明，若不成立？请说明理由．

（3）在图（2）中，若正方形ABCD的边长为6，正方形CEFG边长为3，连结BE，DG求BE2+DG2的值．

2022学年湖北省孝感市孝南区八年级（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、精心选择，一锤定音！（本题10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的）

1．计算的结果是（　　）

　 A． ﹣3 B． 3 C． ﹣9 D． 9

考点： 二次根式的性质与化简．

专题： 计算题．

分析： 原式利用二次根式的化简公式计算即可得到结果．

解答： 解：原式=|﹣3|=3．

故选：B．

点评： 此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．

2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

　 A． x＜1 B． x≥1 C． x≤﹣1 D． x＞1

考点： 二次根式有意义的条件．

分析： 根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，解不等式即可．

解答： 解：根据题意得：x﹣1≥0，即x≥1时，二次根式有意义．

故选：B．

点评： 主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

3．下列各组数能成为直角三角形三边的是（　　）

　 A． 32、42、52 B． 、、 C． 、2、 D． 、、1

考点： 勾股定理的逆定理．

分析： 分别计算每一组中，较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于就是直角三角形，否则就不是直角三角形．

解答： 解：A、因为（32）2+（42）2≠（52）2，所以不能构成直角三角形，此选项错误；

B、因为（）2+（）2≠（）2，所以不能构成直角三角形，此选项错误；

C、因为（）2+22≠（）2，所以不能构成直角三角形，此选项错误；

D、因为（）2+（）2=12，能构成直角三角形，此选项正确．

故选D．

点评： 本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：计算两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．

4．下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 最简二次根式．

分析： 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

解答： 解：A、被开方数含开的尽的因数，故A错误；

B、被开方数含分母，故B错误；

C、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C正确；

D、被开方数含开的尽的因数，故D错误；

故选：C．

点评： 本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

5．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（　　）

　 A． 7 B． 6 C． 5 D． 4

考点： 勾股定理；等腰三角形的性质．

专题： 压轴题．

分析： 根据等腰三角形的性质可知BC上的中线AD同时是BC上的高线，根据勾股定理求出AB的长即可．

解答： 解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC上的中线，

∴BD=CD=BC=3，AD同时是BC上的高线，

∴AB==5，

故选C．

点评： 本题考查勾股定理及等腰三角形的性质．解题关键是得出中线AD是BC上的高线，难度适中．

6．已知△ABC的各边长度分别为3cm、4cm、5cm，则连接各边中点的三角形周长为（　　）

　 A． 2cm B． 7cm C． 5cm D． 6cm

考点： 三角形中位线定理．

分析： 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得中点三角形的周长等于原三角形的周长的一半求解即可．

解答： 解：∵△ABC的周长=3+4+5=12cm，

∴连接各边中点的三角形周长=×12=6cm．

故选D．

点评： 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并判断出中点三角形的周长等于原三角形的周长的一半是解题的关键．

7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（　　）

　 A． 30° B． 60° C． 90° D． 120°

考点： 矩形的性质．

专题： 几何图形问题．

分析： 根据矩形的对角线互相平分且相等可得OB=OC，再根据等边对等角可得∠OBC=∠ACB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．

解答： 解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴OB=OC，

∴∠OBC=∠ACB=30°，

∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°．

故选：B．

点评： 本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．

8．如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°，则对角线AC=（　　）

　 A． 12 B． 9 C． 6 D． 3

考点： 菱形的性质；等边三角形的判定与性质．

分析： 根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC=AB．

解答： 解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC为等边三角形，

∴AC=AB=3．

故选D．

点评： 本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定，难度一般，解答本题的关键是掌握菱形四边相等的性质．

9．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　）

　 A． 12≤a≤13 B． 12≤a≤15 C． 5≤a≤12 D． 5≤a≤13

考点： 勾股定理的应用．

专题： 压轴题．

分析： 最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答．

解答： 解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：=13．

即a的取值范围是12≤a≤13．

故选：A．

点评： 主要是运用勾股定理求得a的最大值，此题比较常见，难度不大．

10．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（　　）

　 A． n B． n﹣1 C． （）n﹣1 D． n

考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

专题： 规律型．

分析： 根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n﹣1）个阴影部分的和．

解答： 解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是×4=1，

5个这样的正方形重叠部分的面积和为：1×4，

n个这样的正方形重叠部分的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．

故选：B．

点评： 此题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．

二、耐心填空，准确无误（每题3分，共计18分）

11．计算﹣=　　．

考点： 二次根式的加减法．

分析： 先进行二次根式的化简，然后合并．

解答： 解：原式=3﹣=．

故答案为：．

点评： 本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并．

12．如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件　OA=OC　，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）

考点： 菱形的判定．

专题： 开放型．

分析： 可以添加条件OA=OC，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判定出结论．

解答： 解：OA=OC，

∵OB=OD，OA=OC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AC⊥BD，

∴平行四边形ABCD是菱形，

故答案为：OA=OC．

点评： 此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理．

13．如图，已知OA=OB，那么数轴上点A所表示的数是　﹣　．

考点： 勾股定理；实数与数轴．

分析： 首先根据勾股定理得：OB=．即OA=．又点A在数轴的负半轴上，则点A对应的数是﹣．

解答： 解：由图可知，OC=2，作BC⊥OC，垂足为C，取BC=1，

故OB=OA===，

∵A在x的负半轴上，

∴数轴上点A所表示的数是﹣．

故答案为：﹣．

点评： 熟练运用勾股定理，同时注意根据点的位置以确定数的符号．

14．已知y=+﹣3，则2xy的值为　﹣15　．

考点： 二次根式有意义的条件．

分析： 根据非负数的性质列式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

解答： 解：根据题意得，2x﹣5≥0且5﹣2x≥0，

解得x≥且x≤，

所以，x=，

y=﹣3，

所以，2xy=2××（﹣3）=﹣15．

故答案为：﹣15．

点评： 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

15．直角三角形的两边长为5和7，则第三边长为　2或　．

考点： 勾股定理．

专题： 分类讨论．

分析： 分7为斜边与7为直角边两种情况考虑，分别利用勾股定理即可求出第三边．

解答： 解：若7为斜边，根据勾股定理得：第三边为=2；

若7为直角边，根据勾股定理得：第三边为=，

故答案为：2或

点评： 此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为　6　．

考点： 轴对称-最短路线问题；正方形的性质．

专题： 计算题．

分析： 连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论．

解答： 解：连接BD，DE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴点B与点D关于直线AC对称，

∴DE的长即为BQ+QE的最小值，

∵DE=BQ+QE===5，

∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=6．

故答案为：6．

点评： 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．

三、用心做一做，显显你的能力（本大题共8小题，共72分）

17．（+）﹣2﹣．

考点： 二次根式的加减法．

分析： 先把二次根式为最简二次根式，再计算即可．

解答： 解：原式=2+﹣﹣

=．

点评： 本题考查了二次根式的加减运算，把二次根式化为最简二次根式是解题的关键．

18．先化简，再求值：．

考点： 二次根式的化简求值；分式的化简求值．

分析： 此题要对代数式先通分，最简公分母是xy（x+y），再相减，能够熟练运用因式分解的方法进行约分．

代值的时候，熟练合并同类二次根式．

解答： 解：原式=﹣

=

=

=．

当时，

=．

点评： 此题综合考查了二次根式的混合运算和二次根式的加减运算．

19．如图，直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8．

（1）作图：用尺规作AB的垂直平分线，交BC于D，交AB于H．（保留作图痕迹）

（2）在满足（1）的情况下，求BD的长．

考点： 作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．

分析： （1）垂直平分线的作法为：将圆规的圆心分别处于线段的两端，各做一个圆弧（半径大于线段长的一半），并让其相交，将其交点相连即为该线段垂直平分线；

（2）首先利用勾股定理求得斜边的长，从而求得BH的长，然后利用△BHD∽△BCA求得BD的长即可．

解答： 解：（1）如图：

（2）∵∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴AB==10，

∵HD垂直平分AB，

∴AH=BH=5，

∵△BHD∽△BCA，

∴，

即：，

解得：BD=．

点评： 本题考查了尺规作图的知识，要牢记：将圆规的圆心分别处于线段的两端，各做一个圆弧（半径大于线段长的一半），并让其相交，将其交点相连即为该线段垂直平分线；

20．如图，在所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①，②，③的三个三角形均为格点三角形（顶点在方格顶点处），请按要求将图甲、图乙中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①，②，③的三个三角形分别对应全等．

（1）图甲中的格点正方形ABCD；

（2）图乙中的格点平行四边形ABCD．

注：分割线画成实线．

考点： 作图—应用与设计作图．

专题： 作图题．

分析： （1）利用三角形的形状以及各边长进而拼出正方形即可；

（2）利用三角形的形状以及各边长进而拼出平行四边形即可．

解答： 解：（1）如图甲所示：

（2）如图乙所示：

点评： 此题主要考查了应用设计与作图，利用网格结合三角形各边长得出符合题意的图形是解题关键．

21．阅读下列材料，并解决相应问题：

阅读：分母有理化就是把分母中的根号化去．

例如：===+

应用：用上述类似的方法化简下列各式：

（1）

（2）++…+．

考点： 分母有理化．

专题： 阅读型．

分析： （1）根据分式的性质，分子分母都乘以分母两个数的和，可得答案；

（2）根据分式的性质，分子分母都乘以分母两个数的和，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．

解答： 解：（1）原式===+；

（2）原式=++…+

=﹣1+﹣+…+﹣

=﹣1．

点评： 本题考查了分母有理化，利用分式的性质：分子分母都乘以分母分母两个数的和或差得出平方差是解题关键．

22．在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面图如图，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图四边形ABCD）来求岛屿的面积，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=3千米，请求出四边形ABCD的面积．（结果保留根号）

考点： 勾股定理的应用．

分析： 连接AC，根据AB=BC=15千米，∠B=90°得到∠BAC=∠ACB=45° AC=15，再根据∠D=90°利用勾股定理求得AD的长后即可求面积；

解答： 解：连接AC

∵AB=BC=15千米，∠B=90°

∴∠BAC=∠ACB=45° AC=15千米，

又∵∠D=90°，

∴AD==12（千米）

∴面积=S△ABC+S△ADC=112.5+18（平方千米）．

点评： 本题考查了解直角三角形的应用，与实际问题相结合提高了同学们解题的兴趣，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．

23．已知矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．

（1）求证：△ABM≌DCM；

（2）判断四边形MENF是　菱形　（只写结论，不需证明）；

（3）在（1）（2）的前提下，当等于多少时，四边形MENF是正方形，并给予证明．

考点： 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定；正方形的性质．

分析： （1）由矩形的性质得出AB=DC，∠A=∠D，再由M是AD的中点，根据SAS即可证明△ABM≌△DCM；

（2）先由（1）得出BM=CM，再由已知条件证出ME=MF，EN、FN是△BCM的中位线，即可证出EN=FN=ME=MF，得出四边形MENF是菱形；

（3）先证出∠AMB=45°，同理得出∠DMC=45°，证出∠BMC=90°，即可得出结论．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠D=90°，AB=DC，

∵M是AD的中点，

∴AM=DM，

在△ABM和△DCM中，

，

∴△ABM≌△DCM（SAS）；

（2）解：四边形MEBF是菱形；理由如下：

由（1）得：△ABM≌△DCM，

∴BM=CM，

∵E、F分别是线段BM、CM的中点，

∴ME=BE=BM，MF=CF=CM，

∴ME=MF，

又∵N是BC的中点，

∴EN、FN是△BCM的中位线，

∴EN=CM，FN=BM，

∴EN=FN=ME=MF，

∴四边形MENF是菱形；

（3）解：当=2时，四边形MENF是正方形；

证明如下：当=2时，AB=AM，

∴△ABM是等腰直角三角形，

∴∠AMB=45°，

同理：∠DMC=45°，

∴∠BMC=90°，

∴四边形MENF是正方形．

点评： 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定；熟练掌握矩形的性质以及菱形、正方形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．

24．已知：如图（1）四边形ABCD和四边形GCEF为正方形，B、C、E在同一直线．

（1）试判断BG、DE的位置关系，请直接写出结论：　BG⊥DE　；

（2）若正方形GCEF绕C点顺时针旋转到图（2）的位置，（1）的结论是否仍成立？若成立，给予证明，若不成立？请说明理由．

（3）在图（2）中，若正方形ABCD的边长为6，正方形CEFG边长为3，连结BE，DG求BE2+DG2的值．

考点： 四边形综合题．

分析： （1）根据已知，利用SAS判定△BCG≌△DCE，全等三角形的对应角相等，所以∠CBG=∠CDE，∠BGC=∠DEC，因为∠CBG+∠BGC=90°，所以∠BHE=90°，得出结论；

（2）四边形ABCD是正方形推出△BCG≌△DCE．全等三角形的对应角相等，所以∠CBG=∠CDE，等量代换得出∠DOH=90°，推出BG⊥DE；

（3）利用勾股定理得出BE2+DG2=OB2+OE2+OG2+OD2=BD2+GE2，进而得出答案即可．

解答： （1）解：延长BG与DE交于点H，

∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形，

∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，

∴∠BCG=∠DCE，

∵在△BCG与△DCE中，

，

∴△BCG≌△DCE（SAS），

∴∠CBG=∠CDE，∠BGC=∠DEC，

∵∠CBG+∠BGC=90°，

∴∠CBG+∠DEC=90°，

∴∠BHE=90°，

∴BG⊥DE，

故答案为：BG⊥DE．

（2）仍成立．

证明：∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形

∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，

∴∠BCG=∠DCE，

∵在△BCG与△DCE中，

，

∴△BCG≌△DCE（SAS），

∴∠CBG=∠CDE，

又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，

∴∠CDE+∠DHO=90°，

∴∠DOH=90°，

∴BG⊥DE．

（3）∵BG⊥DE，

∴BE2+DG2=OB2+OE2+OG2+OD2=BD2+GE2，

又∵AB=6，CE=3，

∴BD=6，GE=3，

∴BD2+GE=+=90，

∴BE2+DG2=90．

点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用，熟练利用全等三角形的性质是解此题关键．