【解析版】武汉市汉阳区2022年八年级下期中数学试卷

这是一份【解析版】武汉市汉阳区2022年八年级下期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湖北省武汉市汉阳区2022学年八年级下学期期中数学试卷

一、选择题（每题3分，共36分）
1．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）
A． x＞﹣2 B． x≥﹣2 C． x≠﹣2 D． x≤﹣2

2．（3分）若，则（）
A． b＞3 B． b＜3 C． b≥3 D． b≤3

3．（3分）下列各式中计算正确的是（）
A． =•=（﹣1）（﹣3）=3
B． =﹣2
C． =3+4=7
D． =•=7×1=7

4．（3分）下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）
A． 6，7，8 B． 5，6，7 C． 4，5，6 D． 3，4，5

5．（3分）已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则它的三条边之比为（）
A． 1：1： B． 1：：2 C． 1：： D． 1：4：1

6．（3分）一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（）
A． 88°，108°，88° B． 88°，104°，108°
C． 88°，92°，92° D． 88°，92°，88°

7．（3分）平行四边形的一边长为10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（）
A． 4cm和6cm B． 6cm和8cm C． 20cm和30cm D． 8cm和12cm

8．（3分）给定不在同一直线上的三点，则以这三点为顶点的平行四边形有（）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

9．（3分）点A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD这四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的有（）
A． 3种 B． 4种 C． 5种 D． 6种

10．（3分）已知ab＜0，则化简后为（）
A． a B． ﹣a C． a D． ﹣a

11．（3分）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（）

A． 12秒 B． 16秒 C． 20秒 D． 30秒．

12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4…，则依此规律，点A2015的纵坐标为（）

A． 0 B． ﹣3×（）2013 C． （2）2014 D． 3×（）2013．


二、填空题（每题3分，共18分）
13．（3分）在实数范围内因式分解：x2﹣2=．

14．（3分）已知正方形ABCD的面积为8，则对角线AC=．

15．（3分）矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的和为8cm，则这个矩形的一条较短边为cm．

16．（3分）菱形的一个内角为120°，且平分这个内角的对角线长为8cm，则这个菱形的面积为．

17．（3分）已知x=1﹣，y=1+，则x2+y2﹣xy﹣2x﹣2y的值为．

18．（3分）如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则四边形ABCD的面积为．



三、解答题（共8题，共66分）
19．（8分）计算：
（1）4+﹣
（2）÷．

20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且OE=OF．
（1）求证：BE=DF；
（2）线段OE满足什么条件时，四边形BEDF为矩形（不必证明）．

21．（8分）如图，在直角坐标系中，A（0，4），C（3，0）．
（1）以AC为边，在其上方作一个四边形，使它的面积为OA2+OC2；
（2）画出线段AC关于y轴对称线段AB，并计算点B到AC的距离．


22．（10分）如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE、EF，
（1）判定△AEF的形状，并说明理由；
（2）设AE的中点为O，判定∠BOF和∠BAF的数量关系，并证明你的结论．


23．（10分）（1）叙述三角形中位线定理，并运用平行四边形的知识证明；
（2）运用三角形中位线的知识解决如下问题：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB，CD的中点，求证：EF=（AD+BC）


24．（10分）小明在解决问题：已知a=，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：∵a===
2﹣，
∴a﹣2=﹣，
∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3
∴a2﹣4a=1，
∴a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简+++…+
（2）若a=，①求4a2﹣8a+1的值；
②直接写出代数式的值a3﹣3a2+a+1=； 2a2﹣5a++2=．

25．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=20cm，E是AD的中点．动点P从A点出发，沿A﹣B﹣C路线以1cm/秒的速度运动，运动的时间为t秒．将△APE以EP为折痕折叠，点A的对应点记为M．

（1）如图（1），当点P在边AB上，且点M在边BC上时，求运动时间t；
（2）如图（2），当点P在边BC上，且点M也在边BC上时，求运动时间t；
（3）直接写出点P在运动过程中线段BM长的最小值．



湖北省武汉市汉阳区2022学年八年级下学期期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（每题3分，共36分）
1．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）
A． x＞﹣2 B． x≥﹣2 C． x≠﹣2 D． x≤﹣2

考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
解答： 解：根据题意得，x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故选B．
点评： 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

2．（3分）若，则（）
A． b＞3 B． b＜3 C． b≥3 D． b≤3

考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 等式左边为非负数，说明右边3﹣b≥0，由此可得b的取值范围．
解答： 解：∵，
∴3﹣b≥0，解得b≤3．故选D．
点评： 本题考查了二次根式的性质：≥0（a≥0），=a（a≥0）．

3．（3分）下列各式中计算正确的是（）
A． =•=（﹣1）（﹣3）=3
B． =﹣2
C． =3+4=7
D． =•=7×1=7

考点： 二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法．
分析： 根据=•（a≥0，b≥0），进行化简，再选择即可．
解答： 解：A、=•=1×3=3，故A错误；
B、=2，故B错误；
C、==5，故C错误；
D、=•=7×1=7，故D正确；
故选D．
点评： 本题考查了二次根式的化简求值，以及二次根式的乘除法运算，掌握=•（a≥0，b≥0）是解题的关键．

4．（3分）下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）
A． 6，7，8 B． 5，6，7 C． 4，5，6 D． 3，4，5

考点： 勾股定理的逆定理．
专题： 计算题．
分析： 将各选项中长度最长的线段长求出平方，剩下的两线段长求出平方和，若两个结果相等，利用勾股定理的逆定理得到这三条线段能组成直角三角形；反之不能组成直角三角形．
解答： 解：A、∵62+72=36+49=85；82=64，
∴62+72≠82，
则此选项线段长不能组成直角三角形；
B、∵52+62=25+36=61；72=49，
∴52+62≠72，
则此选项线段长不能组成直角三角形；
C、∵42+52=16+25=41；62=36，
∴42+52≠62，
则此选项线段长不能组成直角三角形；
D、∵32+42=9+16=85；52=25，
∴32+42=52，
则此选项线段长能组成直角三角形；
故选D．
点评： 此题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键．

5．（3分）已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则它的三条边之比为（）
A． 1：1： B． 1：：2 C． 1：： D． 1：4：1

考点： 勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 根据给出的条件和三角形的内角和定理计算出三角形的角，再计算出它们的边的比．
解答： 解：∵∠A=∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∴c=2a，b=a，
∴三条边的比是1：：2．
故选：B．
点评： 本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理，通过知道角的度数计算特殊三角形边的比．

6．（3分）一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（）
A． 88°，108°，88° B． 88°，104°，108°
C． 88°，92°，92° D． 88°，92°，88°

考点： 平行四边形的判定．
分析： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，根据所给的三个角的度数可以求出第四个角，然后根据平行四边形的判定方法验证即可．
解答： 解：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故B不是；
当三个内角度数依次是88°，108°，88°时，第四个角是76°，故A不是；
当三个内角度数依次是88°，92°，92°，第四个角是88°，而C中相等的两个角不是对角故C错，D中满足两组对角分别相等，因而是平行四边形．
故选D．
点评： 此题主要考查平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．注意角的对应的位置关系，并不是有两组角相等的四边形就是平行四边形，错选C．

7．（3分）平行四边形的一边长为10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（）
A． 4cm和6cm B． 6cm和8cm C． 20cm和30cm D． 8cm和12cm

考点： 平行四边形的性质；三角形三边关系．
分析： 平行四边形的这条边和两条对角线的一半构成三角形，应该满足第三边大于两边之差小于两边之和才能构成三角形．
解答： 解：A、∵2+3＜10，不能够成三角形，故此选项错误；
B、4+3＜10，不能够成三角形，故此选项错误；
C、10+10＞15，能构成三角形，故此选项正确；
D、4+6=10，不能够成三角形，故此选项错误；
故选：C．
点评： 本题考查平行四边形的性质和三角形的三边关系，关键是掌握三角形第三边大于两边之差小于两边之和．平行四边形的对角线互相平分．

8．（3分）给定不在同一直线上的三点，则以这三点为顶点的平行四边形有（）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 平行四边形的判定．
专题： 数形结合．
分析： 只要将三角形的三边作为平行四边形的对角线作图，就可得出结论．
解答： 解：如图以点A，B，C为顶点能做三个平行四边形：▱ABCD，▱ABFC，▱AEBC．
故选C．

点评： 本题考查了平行四边形的判定，解决本题的关键是先画出四边形，然后根据判定定理做出判定．

9．（3分）点A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD这四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的有（）
A． 3种 B． 4种 C． 5种 D． 6种

考点： 平行四边形的判定．
分析： 根据平行四边形的判定方法中，①②、③④、②③、①④均可判定是平行四边形．
解答： 解：根据平行四边形的判定，符合条件的有4种，分别是：①②、③④、②③、①④．
故选：B．

点评： 本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：①四边形的两组对边分别平行；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④对角线互相平分；⑤两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．本题利用了第1，2，3种来判定．

10．（3分）已知ab＜0，则化简后为（）
A． a B． ﹣a C． a D． ﹣a

考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 根据算术平方根和绝对值的性质=|a|，进行化简即可．
解答： 解：∵a2≥0，ab＜0，
∴a＜0，b＞0，
∴=|a|=﹣a，
故选B．
点评： 本题考查了二次根式的化简求值，掌握算术平方根和绝对值的性质是解题的关键．

11．（3分）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（）

A． 12秒 B． 16秒 C． 20秒 D． 30秒．

考点： 勾股定理的应用．
分析： 过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．
解答： 解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵72千米/小时=20米/秒，
∴影响时间应是：320÷20=16秒．
故选：B．

点评： 本题考查的是点与圆的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，200米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对A处产生噪音的时间，难度适中．

12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4…，则依此规律，点A2015的纵坐标为（）

A． 0 B． ﹣3×（）2013 C． （2）2014 D． 3×（）2013．

考点： 规律型：点的坐标．
专题： 规律型．
分析： 根据题意确定出A1，A2，A3，A4…纵坐标，归纳总结得到点A2015的纵坐标与A3纵坐标相同，即可得到结果．
解答： 解：∵点A1的坐标为（3，0），OA1=OC2=3，
在Rt△OA2C2中，∠A2OC2=30°，
设A2C2=x，则有OA2=2x，根据勾股定理得：x2+9=4x2，
解得：x=，即OA2=2，
∴A2纵坐标为2，
由OA2=OC3=2，
在Rt△OA3C3中，∠A3OC3=30°，
设A3C3=y，则有OA3=2y，根据勾股定理得：y2+12=4y2，
解得：y=2，即OA3=4，
∴A3纵坐标为0，
∵2015÷4=503…3，
∴点A2015的纵坐标与A3纵坐标相同，为0．
故选A．
点评： 此题考查了规律型：点的坐标，判断出点A2015的纵坐标与A3纵坐标相同是解本题的关键．

二、填空题（每题3分，共18分）
13．（3分）在实数范围内因式分解：x2﹣2=（x﹣）（x+）．

考点： 实数范围内分解因式．
分析： 利用平方差公式即可分解．
解答： 解：x2﹣2=（x﹣）（x+）．
故答案是：（x﹣）（x+）．
点评： 本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．

14．（3分）已知正方形ABCD的面积为8，则对角线AC=4．

考点： 正方形的性质．
分析： 根据正方形的面积等于对角线乘积的一半得出AC的长即可．
解答： 解：∵正方形ABCD的面积为8，AC=BD，
∴AC•BD=8，
即AC2=16，
∴AC=4
故答案为：4．

点评： 此题主要考查了正方形的性质，利用正方形的面积等于对角线乘积的一半得出是解题关键．

15．（3分）矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的和为8cm，则这个矩形的一条较短边为2cm．
考点： 矩形的性质．
分析： 根据矩形的性质（对角线相等且互相平分），求解即可．
解答： 解：矩形的两条对角线交角为60°的三角形为等边三角形，
又因为两条对角线的和为8cm，故一条对角线为4cm，
又因为矩形的对角线相等且相互平分，
故矩形的一条较短边为2cm．
故答案为：2．
点评： 本题考查的是矩形的性质（矩形的对角线相等且相互平分），本题难度一般．

16．（3分）菱形的一个内角为120°，且平分这个内角的对角线长为8cm，则这个菱形的面积为cm2．

考点： 菱形的性质．
分析： 根据已知可得该对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形，从而可求得菱形的边长，根据勾股定理得出另一条对角线求出面积即可．
解答： 解：菱形的一个内角为120°，则邻角为60°
则这条对角线和一组邻边组成等边三角形，
可得边长为8cm，
另一条对角线为：2×，
这个菱形的面积为：cm2．
故答案为：cm2．
点评： 此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定的运用，难度不大，关键熟练掌握菱形的性质．

17．（3分）已知x=1﹣，y=1+，则x2+y2﹣xy﹣2x﹣2y的值为3．

考点： 二次根式的化简求值．
分析： 首先把代数式分组分解因式，进一步代入求得答案即可．
解答： 解：∵x=1﹣，y=1+，
∴x2+y2﹣xy﹣2x﹣2y
=（x+y）2﹣2（x+y）+1﹣3xy﹣1
=（x+y﹣1）2﹣3xy﹣1
=1﹣3×（1﹣）（1+）﹣1
=1+3﹣1
=3．
故答案为：3．
点评： 此题考查二次根式的化简求值与因式分解的实际运用，先把代数式分解因式是简化计算的关键．
18．（3分）如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则四边形ABCD的面积为．


考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
分析： 以AD为边作正△ADE，根据等边三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，再求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BD，然后求出∠CDE=90°，再利用勾股定理列式求出CD=4，过点A作AF⊥CD于F，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AF=AD，利用勾股定理列式求DF，再求出CF，然后利用勾股定理列式求出AC2，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD列式计算即可得解．
解答： 解：如图，以AD为边作正△ADE，
∵△ABC也是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，
∠CAE=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE=BD=5，
∵∠CDE=∠ADE+∠ADC=60°+30°=90°，
∴CD===4，
过点A作AF⊥CD于F，∵∠ADC=30°，
∴AF=AD=，
由勾股定理得，DF==，
∴CF=CD﹣DF=4﹣，
在Rt△ACF中，AC2=AF2+CF2=（）2+（4﹣）2=25﹣12，
所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=××（25﹣12）+×4×
=﹣9+3
=．
故答案为：．

点评： 本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，难点在于作辅助线构造出等边三角形和全等三角形．

三、解答题（共8题，共66分）
19．（8分）计算：
（1）4+﹣
（2）÷．

考点： 二次根式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）根据二次根式的除法法则进行运算．
解答： 解：（1）原式=4+3﹣2
=5；
（2）原式=
=
=．
点评： 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．

20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且OE=OF．
（1）求证：BE=DF；
（2）线段OE满足什么条件时，四边形BEDF为矩形（不必证明）．


考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．
分析： （1）连接BE、DF，根据平行四边形的性质可得DO=BO，再由OE=OF可得四边形DEBF是平行四边形，进而可得DF=BE；
（2）当OE=DO时，可得EF=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形BEDF为矩形．
解答： （1）证明：连接BE、DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO，
∵OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DF=BE；

（2）解：当OE=DO时，四边形BEDF为矩形．

点评： 此题主要考查了平行四边形的判定和性质，以及矩形的判定，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分；对角线互相平分的四边形是平行四边形．

21．（8分）如图，在直角坐标系中，A（0，4），C（3，0）．
（1）以AC为边，在其上方作一个四边形，使它的面积为OA2+OC2；
（2）画出线段AC关于y轴对称线段AB，并计算点B到AC的距离．


考点： 作图-轴对称变换．
分析： （1）作出以AC为边的正方形即可；
（2）设B到AC的距离为h，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
解答： 解：（1）如图，正方形ABDC即为所求四边形；

（2）设B到AC的距离为h，
∵A（0，4），C（3，0），
∴AC==5，OA=4，BC=6，
∴h===．

点评： 本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．

22．（10分）如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE、EF，
（1）判定△AEF的形状，并说明理由；
（2）设AE的中点为O，判定∠BOF和∠BAF的数量关系，并证明你的结论．


考点： 正方形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．
分析： （1）正方形的边长相等，因为设AB=4a，所以其他三边也为4a，正方形的四个角都是直角，所以能求出AE，AF，EF的长，从而可判断出三角形的形状；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质解答即可．
解答： 解：设AB=4a，
∵AB=4a，CE=BC，
∴EC=a，BE=3a，
∵F为CD的中点，
∴DF=FC=2a，
∴EF=，
AF=，
AE=．
∴AE2=EF2+AF2．
∴△AEF是直角三角形；
（2）∠BOF=2∠BAF，理由如下：
∵AE的中点为O，
∵△ABE是直角三角形，△AFE是直角三角形，
∴AO=OB=OE，OE=OA=OF，
∴∠BAO=∠OAB，∠OAF=∠OFA，
∴∠BOF=∠BAO+∠OAB+∠OAF+∠OFA=2∠BAF．

点评： 本题考查了正方形的性质，四个边相等，四个角相等，勾股定理以及勾股定理的逆定理．

23．（10分）（1）叙述三角形中位线定理，并运用平行四边形的知识证明；
（2）运用三角形中位线的知识解决如下问题：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB，CD的中点，求证：EF=（AD+BC）


考点： 三角形中位线定理；梯形中位线定理．
分析： （1）作出图形，然后写出已知、求证，延长EF到D，使FD=EF，利用“边角边”证明△AEF和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CD，全等三角形对应角相等可得∠D=∠AEF，再求出CE=CD，根据内错角相等，两直线平行判断出AB∥CD，然后判断出四边形BCDE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DE∥BC，DE=BC．
（2）连接AF并延长，交BC延长线于点M，根据ASA证明△ADF≌△MCF，判断EF是△ABM的中位线，根据三角形中位线定理即可得出结论．
解答： （1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，
求证：EF∥BC且EF=BC，
证明：如图，延长EF到D，使FD=EF，
∵点F是AC的中点，
∴AF=CF，
在△AEF和△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（SAS），
∴AE=CD，∠D=∠AEF，
∴AB∥CD，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴BE=CD，
∴BECD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴DE∥BC且EF=BC．
证明：连接AF并延长，交BC延长线于点M，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠FCM，
∵F是CD中点，
∴DF=CF，
在△ADF和△MCF中，
，
∴△ADF≌△MCF（ASA），
∴AF=FM，AD=CM，
∴EF是△ABM的中位线，
∴EF∥BC∥AD，EF=BM=（AD+BC）．


点评： 本题实际上考查了梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．其中利用了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，准确作出辅助线是解题关键．

24．（10分）小明在解决问题：已知a=，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：∵a===
2﹣，
∴a﹣2=﹣，
∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3
∴a2﹣4a=1，
∴a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简+++…+
（2）若a=，①求4a2﹣8a+1的值；
②直接写出代数式的值a3﹣3a2+a+1=0； 2a2﹣5a++2=2．

考点： 分母有理化．
专题： 阅读型．
分析： （1）将原式分母有理化即可；
（2）将a分母有理化，化简为，代入①，②进行运算即可．
解答： 解：（1）原式=×（+++…+）
=×（﹣1）
=10
=5；

（2）①∵a=，
∴4a2﹣8a+1
=4×﹣8×（1）+1
=5；

②a3﹣3a2+a+1
=﹣3+（）+1
=7+5﹣（9）++1+1
=0；
2a2﹣5a++2
=2×++2
=2；
故答案为：0，2．
点评： 本题主要考查了分母有理化，利用分母有理化化简是解答此题的关键．

25．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=20cm，E是AD的中点．动点P从A点出发，沿A﹣B﹣C路线以1cm/秒的速度运动，运动的时间为t秒．将△APE以EP为折痕折叠，点A的对应点记为M．

（1）如图（1），当点P在边AB上，且点M在边BC上时，求运动时间t；
（2）如图（2），当点P在边BC上，且点M也在边BC上时，求运动时间t；
（3）直接写出点P在运动过程中线段BM长的最小值2﹣10．

考点： 四边形综合题．
分析： （1）作EF⊥BC于F，证明△PBM∽△MFE，求出BM=t，根据勾股定理求出t；
（2）证明四边形APME为菱形，得到AP=10，由勾股定理求出t；
（3）根据题意得到当点M在线段BE上时，BM最小，根据勾股定理求出BM的最小值．
解答： 解：（1）如图1，作EF⊥BC于F，
AP=t，则PB=8﹣t，PM=t，EF=AB=8，
∵∠B=∠PME=∠EFM=90°，
∴△PBM∽△MFE，
∴=，
BM=t，
在Rt△PBM中，PB2+BM2=PM2，
（8﹣t）2+（t）2=t2，
解得：t=5；
（2）由题意可知，
∠APE=∠MPE，∠AEP=∠MEP，
∵BC∥AD，
∴∠MPE=∠AEP，
∴四边形APME为菱形，
∴AP=AE=10，
在Rt△ABP中，AB2+BP2=PA2，
即82+（t﹣8）2=102，
解得：t1=2（不合题意），t2=14；
（3）如图2，当点M在线段BE上时，BM最小，
∵AB=8，AE=10，
由勾股定理，BE2，
BM=2﹣10．


点评： 本题考查的是矩形的性质和图形折叠问题，正确运用相似三角形的性质，用t表示出有关的线段，根据勾股定理列出算式是解题的关键，要求学生学会用运动的观点分析问题．