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【解析版】孝感市安陆市2022年八年级下期中数学试卷
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这是一份【解析版】孝感市安陆市2022年八年级下期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择，细心填一填，试试自己的身手，用心做一做，显显自己的能力等内容，欢迎下载使用。
湖北省孝感市安陆市2022学年八年级下学期期中数学试卷
一、选择（本题共10道小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围为（）
A． x≥2 B． x≠2 C． x＞2 D． x=2
2．（3分）下列二次根式中，不能与合并的是（）
A． B． C． D．
3．（3分）在（﹣）□（﹣）的□中填上一个运算符号，使计算结果最大，这个运算符号应填（）
A． + B． ﹣ C． × D． ÷
4．（3分）下列变形中，正确的是（）
A． （2）2=2×3=6 B． =﹣ C． = D． =
5．（3分）发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（）
A． 1组 B． 2组 C． 3组 D． 4组
6．（3分）设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为（）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）
A． AB∥CD，AD∥BC B． OA=OC，OB=OD C． AD=BC，AB∥CD D． AB=CD，AD=BC
8．（3分）如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（）
A． 25 B． 12.5 C． 9 D． 8.5
9．（3分）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）
A． B． C． 4 D． 5
10．（3分）如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（）
A． 1种 B． 2种 C． 3种 D． 4种
二、细心填一填，试试自己的身手（本题共10小题，每小题3分，共30分）
11．（3分）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是．
12．（3分）已知正方形的边长为1cm，则其对角线长是．
13．（3分）平行四边形的一个内角平分线将该平行四边形的一边分为2cm和3cm两部分，则该平行四边形的周长为．
14．（3分）已知m、n为实数，且m=++4，则m﹣n=．
15．（3分）在实数范围内因式分解2x2﹣4=．
16．（3分）如图所示，在高为3m，斜坡长为5m的楼梯表面铺地毯，至少需要地毯米．
17．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=厘米．
18．（3分）计算下列各式的值：；；；．观察所得结果，总结存在的规律，运用得到的规律可得=．
19．（3分）如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是．
20．（3分）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=．
三、用心做一做，显显自己的能力
21．（12分）（1）计算：（﹣4）﹣（3﹣2）
（2）化简：（﹣+2+）÷．
22．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：
（1）在图中画一条线段MN，使MN=；
（2）在图中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角△DEF．
23．（8分）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（≈1.414，精确到1米）
24．（10分）观察下列等式：
①==；
②==；
③==
…回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：
（2）计算：+++…+．
25．（10分）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于E，交直线DC于F．
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），讨论线段DG与BD的数量关系．
26．（12分）（1）如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A、B、C的距离分别为3、4、5，求∠AEB的度数．
（2）如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，M、N为BC上的两点，且∠MAN=45°，MN2与NC2+BM2有何关系？请证明你的结论．
湖北省孝感市安陆市2022学年八年级下学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择（本题共10道小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围为（）
A． x≥2 B． x≠2 C． x＞2 D． x=2
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解不等式可得答案．
解答： 解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故选：A．
点评： 此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2．（3分）下列二次根式中，不能与合并的是（）
A． B． C． D．
考点： 同类二次根式．
专题： 常规题型．
分析： 根据二次根式的乘除法，可化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．
解答： 解：A、，故A能与合并；
B、，故B能与合并；
C、，故C不能与合并；
D、，故D能与合并；
故选：C．
点评： 本题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．
3．（3分）在（﹣）□（﹣）的□中填上一个运算符号，使计算结果最大，这个运算符号应填（）
A． + B． ﹣ C． × D． ÷
考点： 二次根式的加减法；二次根式的乘除法．
分析： 分别利用二次根式的混合运算法则求出即可．
解答： 解：（﹣）﹣（﹣）=0，（﹣）+（﹣）=﹣，
（﹣）×（﹣）=，（﹣）÷（﹣）=1，
故在（﹣）□（﹣）的□中填上一个运算符号，使计算结果最大，这个运算符号应填：÷．
故选：D．
点评： 此题主要考查了二次根式的加减以及乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．
4．（3分）下列变形中，正确的是（）
A． （2）2=2×3=6 B． =﹣ C． = D． =
考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 根据二次根式的性质，可得答案．
解答： 解；A、（2）2=12，故A错误；
B、=，故B错误；
C、=5，故C错误；
D、=，故D正确；
故选：D．
点评： 本题考查了二次根式性质与化简，利用了二次根式的性质．
5．（3分）发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（）
A． 1组 B． 2组 C． 3组 D． 4组
考点： 勾股数．
分析： 根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一计算即可．
解答： 解：①∵82+152=172，∴能组成直角三角形；
②∵52+122=132，∴能组成直角三角形；
③122+152≠202，∴不能组成直角三角形；
④72+242=252，∴能组成直角三角形．
故选C．
点评： 本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
6．（3分）设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为（）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
考点： 估算无理数的大小．
分析： 首先得出＜＜，进而求出的取值范围，即可得出n的值．
解答： 解：∵＜＜，
∴8＜＜9，
∵n＜＜n+1，
∴n=8，
故选；D．
点评： 此题主要考查了估算无理数，得出＜＜是解题关键．
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）
A． AB∥CD，AD∥BC B． OA=OC，OB=OD C． AD=BC，AB∥CD D． AB=CD，AD=BC
考点： 平行四边形的判定．
专题： 证明题．
分析： 根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
解答： 解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
8．（3分）如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（）
A． 25 B． 12.5 C． 9 D． 8.5
考点： 三角形的面积．
专题： 网格型．
分析： 根据求差法，让大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积即可解答．
解答： 解：如图：小方格都是边长为1的正方形，
∴四边形EFGH是正方形，S□EFGH=EF•FG=5×5=25
S△AED=DE•AE=×1×2=1，
S△DCH=•CH•DH=×2×4=4，
S△BCG=BG•GC=×2×3=3，
S△AFB=FB•AF=×3×3=4.5．
S四边形ABCD=S□EFGH﹣S△AED﹣S△DCH﹣S△BCG﹣S△AFB=25﹣1﹣4﹣3﹣4.5=12.5．
故选：B．
点评： 本题考查的是勾股定理的运用，根据图形可以求出此大正方形的面积和三角形的面积，再用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，此题的解法很多，需同学们仔细解答．
9．（3分）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）
A． B． C． 4 D． 5
考点： 翻折变换（折叠问题）．
专题： 几何图形问题．
分析： 设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BDN中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
解答： 解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD=3，
在Rt△BDN中，x2+32=（9﹣x）2，
解得x=4．
故线段BN的长为4．
故选：C．
点评： 考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．
10．（3分）如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（）
A． 1种 B． 2种 C． 3种 D． 4种
考点： 勾股定理的应用．
专题： 计算题．
分析： 如图所示，找出从A点到B点的最短距离的走法即可．
解答： 解：根据题意得出最短路程如图所示，
最短路程长为+1=2+1，
则从A点到B点的最短距离的走法共有3种，
故选：C．
点评： 此题考查了勾股定理的应用，弄清题意是解本题的关键．
二、细心填一填，试试自己的身手（本题共10小题，每小题3分，共30分）
11．（3分）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是勾股定理．
考点： 勾股定理的证明．
专题： 计算题．
分析： 观察我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，发现它验证了勾股定理．
解答： 解：我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是勾股定理．
故答案为：勾股定理．
点评： 此题考查了勾股定理的证明，熟练准确的识别“弦图”是解本题的关键．
12．（3分）已知正方形的边长为1cm，则其对角线长是cm．
考点： 正方形的性质．
分析： 正方形的边长和对角线组成一个直角三角形，再根据勾股定理求解即可．
解答： 解：∵正方形的边长为1cm，
∴对角线长为=cm．
故答案为cm．
点评： 本题主要考查了正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识，此题难度不大．
13．（3分）平行四边形的一个内角平分线将该平行四边形的一边分为2cm和3cm两部分，则该平行四边形的周长为14cm或16cm．
考点： 平行四边形的性质．
分析： 根据题意画出图形，由平行四边形得出对边平行，又由角平分线可以得出△ABE为等腰三角形，然后分别讨论BE=2cm，CE=3cm或BE=3cm，CE=2cm，继而求得答案．
解答： 解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE为角平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
∴①当AB=BE=2cm，CE=3cm时，
则周长为14cm；
②当AB=BE=3cm时，CE=2cm，
则周长为16cm．
故答案为：14cm或16cm．
点评： 此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意分类讨论思想的应用．
14．（3分）已知m、n为实数，且m=++4，则m﹣n=7或1．
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 直接利用二次根式有意义的条件进而得出m，n的值即可得出答案．
解答： 解：由题意得：m=++4，则n=±3，m=4，
故m﹣n=4±3=7或1．
故答案为：7或1．
点评： 此题主要考查了二次根式有意义的条件，得出m，n的值是解题关键．
15．（3分）在实数范围内因式分解2x2﹣4=2（x+）（x）．
考点： 实数范围内分解因式．
专题： 计算题．
分析： 先提取公因式2后，再把剩下的式子写成x2﹣，符合平方差公式的特点，可以继续分解．
解答： 解：2x2﹣4=2（x2﹣2）=2（x+）（x﹣）．
故答案为2（x+）（x﹣）．
点评： 本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
16．（3分）如图所示，在高为3m，斜坡长为5m的楼梯表面铺地毯，至少需要地毯7米．
考点： 勾股定理的应用；生活中的平移现象．
分析： 当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
解答： 解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度==4，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是3+4=7（m）．
故答案为：7．
点评： 本题考查了勾股定理的应用，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
17．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=3厘米．
考点： 三角形中位线定理；平行四边形的性质．
分析： 根据AC+BD=24厘米，可得出出OA+OB=12cm，继而求出AB，判断EF是△OAB的中位线即可得出EF的长度．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵AC+BD=24厘米，
∴OA+OB=12cm，
∵△OAB的周长是18厘米，
∴AB=6cm，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF是△OAB的中位线，
∴EF=AB=3cm．
故答案为：3．
点评： 本题考查了三角形的中位线定理，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．
18．（3分）计算下列各式的值：；；；．观察所得结果，总结存在的规律，运用得到的规律可得=102015．
考点： 二次根式的性质与化简．
专题： 规律型．
分析： 先求出已知算式的结果，根据求出的结果得出规律，根据规律得出答案即可．
解答： 解：∵
=
=
=
=
=
=10，
同理=100，
=1000，
=10000，
∴
=100…0（共2015个0）
=102015，
故答案为：102015．
点评： 本题考查了二次根式的性质的应用，能根据已知算式得出规律是解此题的关键，题目是一道比较好的题目，有一点的难度．
19．（3分）如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是2．
考点： 勾股定理的证明．
专题： 计算题．
分析： 大正方形面积减去小正方形面积，即为四个直角三角形面积，根据题意求出ab的值即可．
解答： 解：根据题意得：1+4ab=9，
解得：ab=2，
故答案为：2
点评： 此题考查了勾股定理的证明，弄清题中阴影部分面积求法是解本题的关键．
20．（3分）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=4．
考点： 勾股定理；全等三角形的判定与性质．
专题： 规律型．
分析： 运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
解答：
解：观察发现，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵AB2=AC2+BC2，
∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，
即S1+S2=1，
同理S3+S4=3．
则S1+S2+S3+S4=1+3=4．
故答案为：4．
点评： 运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．
三、用心做一做，显显自己的能力
21．（12分）（1）计算：（﹣4）﹣（3﹣2）
（2）化简：（﹣+2+）÷．
考点： 二次根式的混合运算．
分析： （1）先进行二次根式的化简，然后合并；
（2）先进行二次根式的除法运算，然后合并．
解答： 解：（1）原式=4﹣﹣+
=3；
（2）原式=a2﹣+2+a．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简以及合并．
22．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：
（1）在图中画一条线段MN，使MN=；
（2）在图中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角△DEF．
考点： 勾股定理．
专题： 作图题．
分析： （1）根据勾股定理，则只需构造一个以1和4为直角边的直角三角形，则斜边MN即为；
（2）根据正方形的性质，则只需构造两条分别是和2的对角线，即得到一个三边长均为无理数的直角三角形．
解答： 解：如图所示：
点评： 此题综合考查了勾股定理、直角三角形的性质和正方形的性质．
23．（8分）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（≈1.414，精确到1米）
考点： 勾股定理的应用．
专题： 几何图形问题．
分析： 首先证明△BCD是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得CD2+BC2=BD2，然后再代入BD=800米进行计算即可．
解答： 解：∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∵∠ABD=135°，
∴∠DBC=45°，
∴∠D=45°，
∴CB=CD，
在Rt△DCB中：CD2+BC2=BD2，
2CD2=8002，
CD=400≈566（米），
答：直线L上距离D点566米的C处开挖．
点评： 此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
24．（10分）观察下列等式：
①==；
②==；
③==
…回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：
（2）计算：+++…+．
考点： 分母有理化．
专题： 规律型．
分析： （1）根据观察，可发现规律；=，根据规律，可得答案；
（2）根据二次根式的性质，分子分母都乘以分母两个数的差，可分母有理化．
解答： 解：（1）原式==；
（2）原式=+++…+
=（﹣1）．
点评： 本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母两个数的差是分母有理化的关键．
25．（10分）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于E，交直线DC于F．
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），讨论线段DG与BD的数量关系．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析： （1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF=∠F即可；
（2）根据∠ABC=90°，G是EF的中点可得△BEG≌△DCG，进而求出△DGB为等腰直角三角形，即可得出答案．
解答： （1）证明：如图1，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF．
（2）解：如图2，
连接GC、BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF=45°，
∵∠DCB=90°，DF∥AB，
∴∠DFA=45°，∠ECF=90°
∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，
∴EG=CG=FG，CG⊥EF，
∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，
∴BE=DC，
∵∠CEF=∠GCF=45°，
∴∠BEG=∠DCG=135°
在△BEG与△DCG中，
，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG=DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA=90°，
又∵∠DGC=∠BGA，
∴∠BGE+∠DGE=90°，
∴△DGB为等腰直角三角形，
∴BD=DG．
点评： 此题考查平行四边形的性质预判定，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识点．
26．（12分）（1）如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A、B、C的距离分别为3、4、5，求∠AEB的度数．
（2）如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，M、N为BC上的两点，且∠MAN=45°，MN2与NC2+BM2有何关系？请证明你的结论．
考点： 旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．
分析： （1）连接FC，根据等边三角形的性质得出AE=AF=EF=3，AB=AC，∠AFE=60°，∠BAC=∠EAF=60°，求出∠BAE=∠CAF，证出△BAE≌△CAF，推出CF=BE=4，∠AEB=∠AFC，求出CE2=EF2+CF2，推出∠CFE=90°即可；
（2）将△ABM绕A点逆时钟选择90，得到△AFC，则AM=AF，CF=BM，∠BAM=∠CAF，∠B=∠ACF，求出∠NAF=∠MAN，证△MAN≌△FAN，推出MN=FN，求出∠FCN=90°，
由勾股定理得出NF2=CF2+CN2即可．
解答： （1）解：
连接FC，
∵△ABC和△AEF为等边三角形，
∴AE=AF=EF=3，AB=AC，∠AFE=60°，∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF=60°﹣∠CAE，
在△BAE和△CAF中
∴△BAE≌△CAF，
∴CF=BE=4，∠AEB=∠AFC，
∴EF=3，CE=5，
∴CE2=EF2+CF2，
∴∠CFE=90°
∵∠AFE=60°，
∴∠AFC=90°+60°=150°，
∴∠AEB=∠AFC=150°；
（2）MN2=NC2+BM2，
证明：将△ABM绕A点逆时钟选择90，得到△AFC，
则AM=AF，CF=BM，∠BAM=∠CAF，∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，
∴∠NAF=∠CAN+∠FAC=∠CAN+∠BAM=90°﹣45°=45°=∠MAN，
在△MAN和△FAN中
∴△MAN≌△FAN，
∴MN=FN，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵∠B=∠ACF，
∴∠ACF=45°，
∴∠FCN=90°，
由勾股定理得：NF2=CF2+CN2，
∵CF=BM，NF=MN，
∴MN2=NC2+BM2．
点评： 本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，等边三角形的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，有一定的难度．
湖北省孝感市安陆市2022学年八年级下学期期中数学试卷
一、选择（本题共10道小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围为（）
A． x≥2 B． x≠2 C． x＞2 D． x=2
2．（3分）下列二次根式中，不能与合并的是（）
A． B． C． D．
3．（3分）在（﹣）□（﹣）的□中填上一个运算符号，使计算结果最大，这个运算符号应填（）
A． + B． ﹣ C． × D． ÷
4．（3分）下列变形中，正确的是（）
A． （2）2=2×3=6 B． =﹣ C． = D． =
5．（3分）发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（）
A． 1组 B． 2组 C． 3组 D． 4组
6．（3分）设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为（）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）
A． AB∥CD，AD∥BC B． OA=OC，OB=OD C． AD=BC，AB∥CD D． AB=CD，AD=BC
8．（3分）如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（）
A． 25 B． 12.5 C． 9 D． 8.5
9．（3分）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）
A． B． C． 4 D． 5
10．（3分）如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（）
A． 1种 B． 2种 C． 3种 D． 4种
二、细心填一填，试试自己的身手（本题共10小题，每小题3分，共30分）
11．（3分）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是．
12．（3分）已知正方形的边长为1cm，则其对角线长是．
13．（3分）平行四边形的一个内角平分线将该平行四边形的一边分为2cm和3cm两部分，则该平行四边形的周长为．
14．（3分）已知m、n为实数，且m=++4，则m﹣n=．
15．（3分）在实数范围内因式分解2x2﹣4=．
16．（3分）如图所示，在高为3m，斜坡长为5m的楼梯表面铺地毯，至少需要地毯米．
17．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=厘米．
18．（3分）计算下列各式的值：；；；．观察所得结果，总结存在的规律，运用得到的规律可得=．
19．（3分）如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是．
20．（3分）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=．
三、用心做一做，显显自己的能力
21．（12分）（1）计算：（﹣4）﹣（3﹣2）
（2）化简：（﹣+2+）÷．
22．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：
（1）在图中画一条线段MN，使MN=；
（2）在图中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角△DEF．
23．（8分）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（≈1.414，精确到1米）
24．（10分）观察下列等式：
①==；
②==；
③==
…回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：
（2）计算：+++…+．
25．（10分）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于E，交直线DC于F．
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），讨论线段DG与BD的数量关系．
26．（12分）（1）如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A、B、C的距离分别为3、4、5，求∠AEB的度数．
（2）如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，M、N为BC上的两点，且∠MAN=45°，MN2与NC2+BM2有何关系？请证明你的结论．
湖北省孝感市安陆市2022学年八年级下学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择（本题共10道小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围为（）
A． x≥2 B． x≠2 C． x＞2 D． x=2
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解不等式可得答案．
解答： 解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故选：A．
点评： 此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2．（3分）下列二次根式中，不能与合并的是（）
A． B． C． D．
考点： 同类二次根式．
专题： 常规题型．
分析： 根据二次根式的乘除法，可化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．
解答： 解：A、，故A能与合并；
B、，故B能与合并；
C、，故C不能与合并；
D、，故D能与合并；
故选：C．
点评： 本题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．
3．（3分）在（﹣）□（﹣）的□中填上一个运算符号，使计算结果最大，这个运算符号应填（）
A． + B． ﹣ C． × D． ÷
考点： 二次根式的加减法；二次根式的乘除法．
分析： 分别利用二次根式的混合运算法则求出即可．
解答： 解：（﹣）﹣（﹣）=0，（﹣）+（﹣）=﹣，
（﹣）×（﹣）=，（﹣）÷（﹣）=1，
故在（﹣）□（﹣）的□中填上一个运算符号，使计算结果最大，这个运算符号应填：÷．
故选：D．
点评： 此题主要考查了二次根式的加减以及乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．
4．（3分）下列变形中，正确的是（）
A． （2）2=2×3=6 B． =﹣ C． = D． =
考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 根据二次根式的性质，可得答案．
解答： 解；A、（2）2=12，故A错误；
B、=，故B错误；
C、=5，故C错误；
D、=，故D正确；
故选：D．
点评： 本题考查了二次根式性质与化简，利用了二次根式的性质．
5．（3分）发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（）
A． 1组 B． 2组 C． 3组 D． 4组
考点： 勾股数．
分析： 根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一计算即可．
解答： 解：①∵82+152=172，∴能组成直角三角形；
②∵52+122=132，∴能组成直角三角形；
③122+152≠202，∴不能组成直角三角形；
④72+242=252，∴能组成直角三角形．
故选C．
点评： 本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
6．（3分）设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为（）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
考点： 估算无理数的大小．
分析： 首先得出＜＜，进而求出的取值范围，即可得出n的值．
解答： 解：∵＜＜，
∴8＜＜9，
∵n＜＜n+1，
∴n=8，
故选；D．
点评： 此题主要考查了估算无理数，得出＜＜是解题关键．
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）
A． AB∥CD，AD∥BC B． OA=OC，OB=OD C． AD=BC，AB∥CD D． AB=CD，AD=BC
考点： 平行四边形的判定．
专题： 证明题．
分析： 根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
解答： 解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
8．（3分）如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（）
A． 25 B． 12.5 C． 9 D． 8.5
考点： 三角形的面积．
专题： 网格型．
分析： 根据求差法，让大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积即可解答．
解答： 解：如图：小方格都是边长为1的正方形，
∴四边形EFGH是正方形，S□EFGH=EF•FG=5×5=25
S△AED=DE•AE=×1×2=1，
S△DCH=•CH•DH=×2×4=4，
S△BCG=BG•GC=×2×3=3，
S△AFB=FB•AF=×3×3=4.5．
S四边形ABCD=S□EFGH﹣S△AED﹣S△DCH﹣S△BCG﹣S△AFB=25﹣1﹣4﹣3﹣4.5=12.5．
故选：B．
点评： 本题考查的是勾股定理的运用，根据图形可以求出此大正方形的面积和三角形的面积，再用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，此题的解法很多，需同学们仔细解答．
9．（3分）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）
A． B． C． 4 D． 5
考点： 翻折变换（折叠问题）．
专题： 几何图形问题．
分析： 设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BDN中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
解答： 解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD=3，
在Rt△BDN中，x2+32=（9﹣x）2，
解得x=4．
故线段BN的长为4．
故选：C．
点评： 考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．
10．（3分）如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（）
A． 1种 B． 2种 C． 3种 D． 4种
考点： 勾股定理的应用．
专题： 计算题．
分析： 如图所示，找出从A点到B点的最短距离的走法即可．
解答： 解：根据题意得出最短路程如图所示，
最短路程长为+1=2+1，
则从A点到B点的最短距离的走法共有3种，
故选：C．
点评： 此题考查了勾股定理的应用，弄清题意是解本题的关键．
二、细心填一填，试试自己的身手（本题共10小题，每小题3分，共30分）
11．（3分）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是勾股定理．
考点： 勾股定理的证明．
专题： 计算题．
分析： 观察我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，发现它验证了勾股定理．
解答： 解：我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是勾股定理．
故答案为：勾股定理．
点评： 此题考查了勾股定理的证明，熟练准确的识别“弦图”是解本题的关键．
12．（3分）已知正方形的边长为1cm，则其对角线长是cm．
考点： 正方形的性质．
分析： 正方形的边长和对角线组成一个直角三角形，再根据勾股定理求解即可．
解答： 解：∵正方形的边长为1cm，
∴对角线长为=cm．
故答案为cm．
点评： 本题主要考查了正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识，此题难度不大．
13．（3分）平行四边形的一个内角平分线将该平行四边形的一边分为2cm和3cm两部分，则该平行四边形的周长为14cm或16cm．
考点： 平行四边形的性质．
分析： 根据题意画出图形，由平行四边形得出对边平行，又由角平分线可以得出△ABE为等腰三角形，然后分别讨论BE=2cm，CE=3cm或BE=3cm，CE=2cm，继而求得答案．
解答： 解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE为角平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
∴①当AB=BE=2cm，CE=3cm时，
则周长为14cm；
②当AB=BE=3cm时，CE=2cm，
则周长为16cm．
故答案为：14cm或16cm．
点评： 此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意分类讨论思想的应用．
14．（3分）已知m、n为实数，且m=++4，则m﹣n=7或1．
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 直接利用二次根式有意义的条件进而得出m，n的值即可得出答案．
解答： 解：由题意得：m=++4，则n=±3，m=4，
故m﹣n=4±3=7或1．
故答案为：7或1．
点评： 此题主要考查了二次根式有意义的条件，得出m，n的值是解题关键．
15．（3分）在实数范围内因式分解2x2﹣4=2（x+）（x）．
考点： 实数范围内分解因式．
专题： 计算题．
分析： 先提取公因式2后，再把剩下的式子写成x2﹣，符合平方差公式的特点，可以继续分解．
解答： 解：2x2﹣4=2（x2﹣2）=2（x+）（x﹣）．
故答案为2（x+）（x﹣）．
点评： 本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
16．（3分）如图所示，在高为3m，斜坡长为5m的楼梯表面铺地毯，至少需要地毯7米．
考点： 勾股定理的应用；生活中的平移现象．
分析： 当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
解答： 解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度==4，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是3+4=7（m）．
故答案为：7．
点评： 本题考查了勾股定理的应用，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
17．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=3厘米．
考点： 三角形中位线定理；平行四边形的性质．
分析： 根据AC+BD=24厘米，可得出出OA+OB=12cm，继而求出AB，判断EF是△OAB的中位线即可得出EF的长度．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵AC+BD=24厘米，
∴OA+OB=12cm，
∵△OAB的周长是18厘米，
∴AB=6cm，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF是△OAB的中位线，
∴EF=AB=3cm．
故答案为：3．
点评： 本题考查了三角形的中位线定理，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．
18．（3分）计算下列各式的值：；；；．观察所得结果，总结存在的规律，运用得到的规律可得=102015．
考点： 二次根式的性质与化简．
专题： 规律型．
分析： 先求出已知算式的结果，根据求出的结果得出规律，根据规律得出答案即可．
解答： 解：∵
=
=
=
=
=
=10，
同理=100，
=1000，
=10000，
∴
=100…0（共2015个0）
=102015，
故答案为：102015．
点评： 本题考查了二次根式的性质的应用，能根据已知算式得出规律是解此题的关键，题目是一道比较好的题目，有一点的难度．
19．（3分）如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是2．
考点： 勾股定理的证明．
专题： 计算题．
分析： 大正方形面积减去小正方形面积，即为四个直角三角形面积，根据题意求出ab的值即可．
解答： 解：根据题意得：1+4ab=9，
解得：ab=2，
故答案为：2
点评： 此题考查了勾股定理的证明，弄清题中阴影部分面积求法是解本题的关键．
20．（3分）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=4．
考点： 勾股定理；全等三角形的判定与性质．
专题： 规律型．
分析： 运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
解答：
解：观察发现，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵AB2=AC2+BC2，
∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，
即S1+S2=1，
同理S3+S4=3．
则S1+S2+S3+S4=1+3=4．
故答案为：4．
点评： 运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．
三、用心做一做，显显自己的能力
21．（12分）（1）计算：（﹣4）﹣（3﹣2）
（2）化简：（﹣+2+）÷．
考点： 二次根式的混合运算．
分析： （1）先进行二次根式的化简，然后合并；
（2）先进行二次根式的除法运算，然后合并．
解答： 解：（1）原式=4﹣﹣+
=3；
（2）原式=a2﹣+2+a．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简以及合并．
22．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：
（1）在图中画一条线段MN，使MN=；
（2）在图中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角△DEF．
考点： 勾股定理．
专题： 作图题．
分析： （1）根据勾股定理，则只需构造一个以1和4为直角边的直角三角形，则斜边MN即为；
（2）根据正方形的性质，则只需构造两条分别是和2的对角线，即得到一个三边长均为无理数的直角三角形．
解答： 解：如图所示：
点评： 此题综合考查了勾股定理、直角三角形的性质和正方形的性质．
23．（8分）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（≈1.414，精确到1米）
考点： 勾股定理的应用．
专题： 几何图形问题．
分析： 首先证明△BCD是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得CD2+BC2=BD2，然后再代入BD=800米进行计算即可．
解答： 解：∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∵∠ABD=135°，
∴∠DBC=45°，
∴∠D=45°，
∴CB=CD，
在Rt△DCB中：CD2+BC2=BD2，
2CD2=8002，
CD=400≈566（米），
答：直线L上距离D点566米的C处开挖．
点评： 此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
24．（10分）观察下列等式：
①==；
②==；
③==
…回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：
（2）计算：+++…+．
考点： 分母有理化．
专题： 规律型．
分析： （1）根据观察，可发现规律；=，根据规律，可得答案；
（2）根据二次根式的性质，分子分母都乘以分母两个数的差，可分母有理化．
解答： 解：（1）原式==；
（2）原式=+++…+
=（﹣1）．
点评： 本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母两个数的差是分母有理化的关键．
25．（10分）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于E，交直线DC于F．
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），讨论线段DG与BD的数量关系．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析： （1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF=∠F即可；
（2）根据∠ABC=90°，G是EF的中点可得△BEG≌△DCG，进而求出△DGB为等腰直角三角形，即可得出答案．
解答： （1）证明：如图1，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF．
（2）解：如图2，
连接GC、BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF=45°，
∵∠DCB=90°，DF∥AB，
∴∠DFA=45°，∠ECF=90°
∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，
∴EG=CG=FG，CG⊥EF，
∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，
∴BE=DC，
∵∠CEF=∠GCF=45°，
∴∠BEG=∠DCG=135°
在△BEG与△DCG中，
，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG=DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA=90°，
又∵∠DGC=∠BGA，
∴∠BGE+∠DGE=90°，
∴△DGB为等腰直角三角形，
∴BD=DG．
点评： 此题考查平行四边形的性质预判定，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识点．
26．（12分）（1）如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A、B、C的距离分别为3、4、5，求∠AEB的度数．
（2）如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，M、N为BC上的两点，且∠MAN=45°，MN2与NC2+BM2有何关系？请证明你的结论．
考点： 旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．
分析： （1）连接FC，根据等边三角形的性质得出AE=AF=EF=3，AB=AC，∠AFE=60°，∠BAC=∠EAF=60°，求出∠BAE=∠CAF，证出△BAE≌△CAF，推出CF=BE=4，∠AEB=∠AFC，求出CE2=EF2+CF2，推出∠CFE=90°即可；
（2）将△ABM绕A点逆时钟选择90，得到△AFC，则AM=AF，CF=BM，∠BAM=∠CAF，∠B=∠ACF，求出∠NAF=∠MAN，证△MAN≌△FAN，推出MN=FN，求出∠FCN=90°，
由勾股定理得出NF2=CF2+CN2即可．
解答： （1）解：
连接FC，
∵△ABC和△AEF为等边三角形，
∴AE=AF=EF=3，AB=AC，∠AFE=60°，∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF=60°﹣∠CAE，
在△BAE和△CAF中
∴△BAE≌△CAF，
∴CF=BE=4，∠AEB=∠AFC，
∴EF=3，CE=5，
∴CE2=EF2+CF2，
∴∠CFE=90°
∵∠AFE=60°，
∴∠AFC=90°+60°=150°，
∴∠AEB=∠AFC=150°；
（2）MN2=NC2+BM2，
证明：将△ABM绕A点逆时钟选择90，得到△AFC，
则AM=AF，CF=BM，∠BAM=∠CAF，∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，
∴∠NAF=∠CAN+∠FAC=∠CAN+∠BAM=90°﹣45°=45°=∠MAN，
在△MAN和△FAN中
∴△MAN≌△FAN，
∴MN=FN，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵∠B=∠ACF，
∴∠ACF=45°，
∴∠FCN=90°，
由勾股定理得：NF2=CF2+CN2，
∵CF=BM，NF=MN，
∴MN2=NC2+BM2．
点评： 本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，等边三角形的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，有一定的难度．
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