2022年天津市东丽区中考数学一模试卷（含解析）

2022年天津市东丽区中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 计算的值是

A.  B.  C.  D.

2. 的值等于

A.  B.  C.  D.

3. 一天有秒，一年如果按天计算，一年有多少秒，用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

5. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是

A.
B.
C.
D.

6. 估计的值应在

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

7. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是，，对角线相交于点，则点的坐标为

A.
B.
C.
D.

9. 方程组的解是

A.  B.  C.  D.

10. 若，，是反比例函数图象上的点，且，则，，的大小关系是

A.  B.  C.  D.

11. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在的延长线上，连接下列结论一定正确的是

A.  B.  C.  D.

12. 已知二次函数为常数，的图象的对称轴是，经过点，且现有下列结论：；；；其中正确的结论的个数是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 计算的结果等于______．
14. 计算的结果等于______．
15. 不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个绿球和个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，则它是蓝球的概率是______．
16. 把直线向上平移个单位长度，平移后的直线与轴的交点坐标为______．
17. 如图，正方形和正方形的边长分别为和，点，分别在边，上，点为的中点，连接，则的长为______．
    
     

18. 在的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别是，，，．
    线段的长等于______；
    请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在线段上画点，使，并简要说明画图方法不要求证明．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 解不等式组．
    请结合题意填空，完成本题的解答．
    Ⅰ解不等式，得______；
    Ⅱ解不等式，得______；
    Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：
    Ⅳ原不等式组的解集为______．

20. 教师想了解学生们每天在上学的路上要花费多少时间，因此对全班学生进行了调查，根据调查结果，绘制出如图统计图．
    
    请根据相关信息，解答下列问题：
    Ⅰ扇形统计图中的______；
    Ⅱ求所调查的学生上学所花费时间的平均数、众数和中位数．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，已知是的直径，是的弦，连接，．
    Ⅰ如图，连接，若，求及的大小；
    Ⅱ如图，过点作的切线，交的延长线于点，连接若，求的大小．

22. 某数学社团开展实践性研究，在一公园南门测得观景亭在北偏东方向，继续向北走后到达游船码头，测得观景亭在游船码头的北偏东方向．求南门与观景亭之间的距离．参考数据：，
    
     

23. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分钟进水量和出水量是两个常数．容器内的水量单位：与时间单位：之间的关系如图所示．
    根据题意填空：每分钟进水______，出水______；
    求当时，直接写出与之间的函数关系式；
    图中的值为______．

24. 如图放置两个全等的含有角的直角三角板与，若将三角板向右以每秒个单位长度的速度移动点与点重合时移动终止，移动过程中始终保持点、、、在同一条直线上，如图，与、分别交于点、，与交于点，其中，设三角板移动时间为秒．
    
    在移动过程中，试用含的代数式表示的面积；
    计算等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，已知抛物线：经过点，．
    求，的值；
    连结，交抛物线的对称轴于点．
    求点的坐标；
    将抛物线向左平移个单位得到抛物线过点作轴，交抛物线于点且点在点的下方，点是抛物线上一点，横坐标为，过点作轴，交抛物线于点，点在抛物线对称轴的右侧．若，求的值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：

，
故选：．
根据有理数的乘法法则计算即可．
本题考查了有理数的乘法，掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：依题意有．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】
 

【解析】解：风，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.和，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.日，是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.丽，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

5.【答案】
 

【解析】解：从上面看，底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形．
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
 

6.【答案】
 

【解析】解：，
，
在和之间，
故选：．
根据即可得解．
此题考查了估算无理数的大小，正确估算出是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：原式

．
故选：．
利用同分母分式的减法法则运算，最后化简即可．
本题主要考查了分式的加减法，正确利用分式的减法法则运算是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
，两点的坐标分别是，，
点，点，
故选B．
由菱形的性质可得，，即可求解．
本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解为．
故选：．
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

10.【答案】
 

【解析】解：反比例函数中，，
此函数图象的两个分支在一、三象限，
，
、在第三象限，点在第一象限，
，，，
在第三象限随的增大而减小，
，
．
故选：．
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据，判断出三点所在的象限，再根据函数的增减性即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限及三点所在的象限是解答此题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
故选C．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，可得结论．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：由图象可知：，，，，故错误；
由于，所以．
又，
所以，
故错误；
当时，，故错误；
当时函数值小于，，且该抛物线对称轴是直线，即，代入得，得，故正确；
故选：．
由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定．
 

13.【答案】
 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
根据合并同类项的法则计算即可．
本题考查了合并同类项，掌握把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
直接利用平方差公式计算，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用平方差公式计算是解题关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：由题意，可得从袋子中随机取出个球，则它是蓝球的概率是．
故答案为：．
用蓝色球的个数除以球的总个数即可得出答案．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

16.【答案】
 

【解析】解：直线沿轴向上平移个单位，
平移后的解析式为：，
当，则，
平移后直线与轴的交点坐标为：．
故答案为：．
利用一次函数平移规律得出平移后解析式，进而得出图象与轴的交点．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，得出平移后解析式是解题关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：延长交的延长线于，如图：

正方形和正方形的边长分别为和，
，，，
，，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
故答案为：．
延长交的延长线于，证明≌，得，，，用勾股定理可得，故GH．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

18.【答案】
 

【解析】解：由勾股定理得：；
故答案为：；
取点，连接、，取格点、，连接交于点，连接并延长交于点，则．

则点即为所求．
根据勾股定理可得的长；
构建等腰直角，作矩形，画对角线交点，作射线，交于点，
本题考查作图，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】   
 

【解析】解：Ⅰ解不等式，得；
Ⅱ解不等式，得；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：

Ⅳ原不等式组的解集为
故答案为：，，．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】
 

【解析】解：Ⅰ根据题意可得，，
．
故答案为：；
Ⅱ．
花费的人数为人，人数最多，
众数是．
将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数是和，有，
这组数据的中位数是．
Ⅰ根据各组所占百分比之和等于单位，结合扇形统计图中的数据，可以计算出的值；
Ⅱ根据平均数、众数和中位数的定义即可求解．
本题考查扇形统计图、条形统计图、中位数、众数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：Ⅰ是的直径，
，
，
，
在中，．
 连接，
与相切，
，
，
，
，
．
，
．
 

【解析】Ⅰ根据圆周角定理得到，求得，根据圆周角定理即可得到结论；
 连接，根据切线的性质得到，等量代换得到，根据平行线的性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：过点作于，如图所示：
设，，
在中，，
即，
，
在中，，
即，
，
解得：，，
，
，
答：南门与观景亭之间的距离约为．
 

【解析】过点作于，设，，由题意可构建方程组求出，，再由勾股定理即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用方向角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用方程思想解决问题．
 

23.【答案】   
 

【解析】解：进水管的速度为：，
出水管的速度为：，
答：每分钟进水、出水各，．
故答案为：；；
当时，设关于的函数解析式是，
，得，
即当时，与的函数关系式为，
当时，设与的函数关系式为，
，得，
即当时，与的函数关系式为，
由上可得，；
由知每分钟出水，
放水时间为：，
；
故答案为：．
根据函数图象中的数据可以求得每分钟进水、出水各多少升；
根据题意和函数图象可以求得与的函数关系式；
由题意可知，当时，只放水，不进水了，通过中的计算结果，再进行运算可得出结论．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】解：解：因为中，
，
，
，
为等边三角形，
过点作，垂足为点．

在中，，
，
根据题意可知，
，
，
，
而，
，
由知，
，
所以当时，重叠部分面积最大，最大面积是．
 

【解析】解直角三角形求得，设，可求，，根据三角形面积公式即可求出结论；
根据“”列出函数关系式，通过配方求解即可．
本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：抛物线经过点和点，
，
解得：，
，的值分别为，；

设直线的解析式为，
把，的坐标分别代入表达式，得，
解得，
直线的函数表达式为．
由得，抛物线为，
对称轴是直线，
当时，，
点的坐标是；
抛物线为，
设抛物线的表达式为，
轴，
点的坐标是，
点的横坐标为，
点的坐标是，
设交抛物线于另一点，
抛物线的对称轴是直线，轴，
根据抛物线的对称性，点的坐标是，
如图，当点在点的下方时，即时，

，，
由平移的性质得，，
，
，
，
解得，舍去，，
的值是．
 

【解析】用待定系数法可求出答案；
设直线的解析式为，由点及点坐标可求出直线的解析式，由得，抛物线的对称轴是直线，则可求出答案；
由题意可得点的坐标是，点的坐标是，由平移的性质求出及的长，根据列出方程可得出答案．
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与轴的交点，待定系数法，两点的距离，平移的性质，解一元二次方程等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．