2022年全国统一招生考试第三次模拟考试（全国卷）—文科数学试题（含答案）

这是一份2022年全国统一招生考试第三次模拟考试（全国卷）—文科数学试题（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，函数的图象大致为等内容，欢迎下载使用。
2022届高三第三次模拟考试卷文 科 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知：，，，故选B．2．已知复数，且，则（    ）A．3 B．0 C． D．【答案】D【解析】因为，由，可得，即，所以，从而，故选D．3．已知函数，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故选A．4．已知向量，，且．若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，故，整理得到，故定点为，故选A．5．如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为的正三角形，原的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为正三角形的边长为，所以正三角形的面积为，而原图形的面积与直观图的面积关系为，所以原的面积为，故选C．6．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果（    ）后失去40%新鲜度．A．25天 B．30天 C．35天 D．40天【答案】B【解析】依题意，，解得，当时，，即，解得，于是得，解得，所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度，故选B．7．已知圆柱的底面半径和母线长均为1，A，B分别为圆、圆上的点，若，则异面直线，所成的角为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，过点A做平面的垂线，垂足为D，即AD是母线，连接DB，平面，，，所以四边形是平行四边形，，与的所成的角就是或其补角，由题意可知，，在中，，在等腰中，由余弦定理，，由于异面直线的夹角范围是，故取的补角，故选B．8．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为函数的定义域为，，即函数为偶函数，其图象关于轴对称，故排除A；由于幂函数增长速度最快，所以时，，故排除D；由于，当时，显然，即在单调递增，故排除C，故选B．9．已知函数的部分图象如下图所示，下列说法错误的是（    ）A．函数在上单调递增B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象关于点对称D．该图象对应的函数解析式为【答案】A【解析】由图可知，，故，将代入解得，故，D正确；对于A，令，解得，故A错误；对于B，令，解得对称轴为，故B正确；对于C，令，解得对称中心为，故C正确，故选A．10．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由余弦定理知，因为且，可得，即，又由，可得，因为，所以，解得，当且仅当时，等号成立，即的最大值为，所以的面积的最大值为，故选B．11．如图，已知抛物线的焦点为，直线与相交于，两点，与轴相交于点．已知，，若，的面积分别为，，且，则抛物线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，过A，B分别作C的准线的垂线分别交y轴于点M，N，因为C的准线为，所以，，所以，解得，故C为，故选B．12．若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由不等式恒成立，可知对x>0恒成立．设，则该函数为上的增函数，故，故对任意的恒成立，设，则，当时，，故为上的增函数，而当时，有，不合题意；当时，对任意的恒成立；当时，若，则；当时，，故在为减函数，在为增函数，故，所以，，，故，综上：的取值范围是，故选B．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知实数满足，则的最大值为_________．【答案】4【解析】转化为，则取得最大值即直线与可行域相交，且截距最大，根据不等式组画出可行域，如图所示，联立，可得，当直线经过点A时取得最大值为，故答案为4．14．某中学决定从收集到的500份学生作品中，抽取20份进行展示，现采用系统抽样的方法，将这500份作品从001到500进行编号，已知第一组中被抽到的号码为013，则所抽到的第10组的号码为__________．【答案】238【解析】依题意，系统抽样中，抽到的相邻两个编号的间隔为，而第一组中被抽到的号码为013，所以所抽到的第10组的号码为，故答案为238．15．已知数列中，，，，数列的前n项和为．若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是__________．【答案】【解析】由，得，则有，化简得，即，所以，所以，所以不等式恒成立，则有，故答案为．16．在中，角所对的边分别是，若，，则的最小值为________．【答案】12【解析】∵在中，角所对的边分别是，，∴，∴，∴，即，，∴，因为，∴，即，又，∴，即，当且仅当时取等号，∴的最小值为12，故答案为12． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）某城市有一个三角形街心广场，其中，，在处有一观景亭．现将挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上．（1）若，求的长；（2）若，，求水池的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在中，，因为，所以．因为，因为，所以．在中，由正弦定理可得，，所以．（2）因为，所以，所以，所以．在中，由余弦定理可得，所以，所以或（舍去），所以，所以水池的面积为．18．（12分）如图，在三棱锥中，SA＝SC，D为AC的中点，SD⊥AB．（1）证明：平面SAC⊥平面ABC；（2）若△BCD是边长为3的等边三角形，点P在棱SC上，PC＝2SP，且，求三棱锥A－PBC的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）因为SA＝SC且D为AC的中点，所以SD⊥AC，又SD⊥AB，，所以SD⊥平面ABC，又平面SAC，所以平面SAC⊥平面ABC．（2）因为△BCD是边长为3的等边三角形，故AD＝DC＝DB＝3，所以AB⊥BC，且，由，得，解得SD＝3，所以AD＝DC＝DS，故SA⊥SC．过点P作PR⊥SD，R为垂足，PH⊥DC，H为垂足，由PC＝2SP，知，RD＝2，则PH＝RD＝2，．19．（12分）某印刷企业为了研究某种图书每册的成本费y（单位：元）与印刷数量x（单位：千册）的关系，收集了一些数据并进行了初步整理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．表中，．（1）根据散点图判断：与哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程？（只要求给出判断，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据建立y关于x的回归方程（结果精确到）；（3）若该图书每册的定价为9元，则至少应该印刷多少册，才能使销售利润不低于80000元（假设能够全部售出）．附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，．【答案】（1）；（2）；（3）12000册．【解析】（1）解：由散点图判断更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程．（2）解：令，先建立y关于u的线性回归方程，由于，故，所以y关于u的线性回归方程为，从而y关于x的回归方程为．（3）解：假设印刷x千册，依据题意得，解得，所以至少应该印刷12000册图书，才能使销售利润不低于80000元．20．（12分）已知椭圆，下顶点为A，不与坐标轴垂直的直线l与C交于P，Q两点．（1）若线段的中点为，求直线l的斜率；（2）若l与y轴交于点，直线分别交x轴于点M，N，求证：M，N的横坐标乘积为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）设，由在椭圆上，则，两式相减得，即，又的中点且在椭圆内，则，所以直线的斜率为．（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线，，联立，得．由，得，即或，且，．直线为，令，得，则，同理得，所以，所以的横坐标乘积为定值．21．（12分）已知函数，．（1）当，时，求证：恒成立；（2）当时，探讨函数的零点个数．【答案】（1）证明见解析；（2）见解析．【解析】（1）当，时，，所以，令，解得，当时，，为增函数；当时，，为减函数，所以，即恒成立．（2）当时，，令，则，当，函数为开口向上的抛物线，且，所以与图象有2个交点，如图所示：当时，，解得，故只有1个零点；当时，，令，为开口向上的抛物线，令，解得，此时恒成立，所以为单调递增函数，又，所以有唯一根，即有1个零点；令时，解得或（舍），此时令，解得，，因为，所以，所以，所以当时，，即，所以为增函数；当时，，即，所以为减函数，又，所以，当时，，所以时，存在唯一x，使，，且，所以时，存在唯一x，使，所以有三个根，即有3个零点，综上：当时，有2个零点，当时，有1个零点，当时，有3个零点． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M的极坐标方程为，直角坐标系中曲线N的参数方程为（为参数，）．（1）求曲线M的直角坐标方程；（2）设曲线M与直角坐标系的x轴和y轴分别交于点A和点B（A、B都异于原点O），点C为曲线N上的动点，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）曲线M的极坐标方程化为，即，把代入化简得，所以曲线M的直角坐标方程是．（2）由（1）及已知，得，，直线AB方程为，即，依题意，设，，点C到直线AB的距离d，，而，因此，当，即时，，所以面积的最大值是．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为m，且对任意正数a，b满足，求的最小值．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1），当时，不等式变为，解得；当时，不等式变为，无解；当时，不等式变为，解得，故不等式的解集为或．（2）由（1）知的最小值为3，所以，则，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．