函数的最大(小)值

[A级　新教材落实与巩固]

一、选择题

1．函数y＝在区间[2，3]上的最小值为(　B　)

A．2    B．     C．    D．－

【解析】 作出函数的图象，可知y＝在区间[2，3]上单调递减，所以其最小值为f(3)＝＝.

2．若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　C　)

A．2

B．－2

C．2或－2

D．0

【解析】 a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，所以a＝－2.所以a＝±2.

3．若函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为(　A　)

A．10，6

B．10，8

C．8，6

D．以上都不对

【解析】 因为f(x)在[－1，2]上单调递增，所以最大值为f(2)＝10，最小值为f(－1)＝6.

4．函数f(x)＝的最大值是(　C　)

A．    B．

C．    D．

【解析】 因为1－x(1－x)＝x2－x＋1＝＋≥，所以0<≤，所以f(x)的最大值为.

5．函数y＝|x|＋|x－1|的最小值为(　C　)

A．    B．－

C．1    D．2

【解析】 易知y＝结合图象可知，其最小值为1.

6．已知f(ax＋1)＝x2－2x(a≠0)，则f(x)的最小值为(　B　)

A．0    B．－1

C．1    D．－2

【解析】 f(ax＋1)＝x2－2x＝(x－1)2－1，令ax＋1＝t，则x＝，所以f(t)＝－1＝(t－1－a)2－1，所以f(x)＝(x－1－a)2－1，当x＝a＋1时，f(x)取得最小值－1.

二、填空题

7．函数f(x)＝2－在区间[1，3]上的最大值是__1__．

【解析】 因为函数f(x)＝2－在[1，3]上单调递增，所以f(x)的最大值为f(3)＝2－＝2－1＝1.

8．设函数y＝f(x)的定义域为[－4，6]，且在区间[－4，－2]上单调递减，在区间[－2，6]上单调递增，且f(－4)<f(6)，则函数f(x)的最小值是__f(－2)__，最大值是__f(6)__．

【解析】 根据函数y＝f(x)在[－4，6]上的图象的变化趋势，可知f(x)min＝f(－2).又由题意知f(－4)<f(6)，故f(x)max＝f(6).

9．函数y＝的最小值为__－5__，最大值为__0__．

【解析】 由题意可知，当x∈[－3，－1]时，ymin＝－2，ymax＝0；当x∈(－1，4]时，y<0，ymin＝－5，无最大值，故所求最小值为－5，最大值为0.

10．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为__1__．

【解析】 因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2.又因为函数图象开口向下，所以f(x)在[0，1]上单调递增．又因为f(x)min＝－2，所以f(0)＝－2，即a＝－2.所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.

11．已知f(x)＝x2－2x＋3在区间[0，t]上有最大值3，最小值2，则t的取值范围是__[1，2]__．

【解析】 因为f(0)＝3，f(1)＝2，函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1，所以f(2)＝3，结合图象，可得1≤t≤2.

三、解答题

12．求二次函数f(x)＝x2－tx－1在x∈[t，t＋1]上的最小值g(t)，t∈R．

解：f(x)＝－－1，

当x＝≤t，即t≥0时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，

所以f(x)min＝f(t)＝－1；

当x＝∈(t，t＋1)，即－2<t<0时，

f(x)min＝f＝－－1；

当x＝≥t＋1，即t≤－2时，

f(x)在[t，t＋1]上单调递减，

所以f(x)min＝f(t＋1)＝t.

综上可得，g(t)＝

13．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：

(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)，并写出函数定义域；

(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润．

解：(1)因为f(x)是一次函数，所以设f(x)＝ax＋b (a≠0)，

由表格得，解得

所以y＝f(x)＝－3x＋162.

又y≥0，所以30≤x≤54，

故所求函数关系式为

y＝f(x)＝－3x＋162，x∈[30，54].

(2)由题意得，

P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)

＝－3x2＋252x－4 860

＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54].

当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，

即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．

[B级　素养养成与评价]

14．函数y＝x＋的最值情况为(　A　)

A．最小值为，无最大值

B．最大值为，无最小值

C．最小值为，最大值为2

D．最大值为2，无最小值

【解析】 由函数在上单调递增可得，函数最小值为，无最大值，故选A.

15．设函数f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围是(　A　)

A．(－∞，2]    B．(－∞，2)

C．(2，＋∞)    D．[2，＋∞)

【解析】 由题意，当x>0时，f(x)的最小值为f(1)＝2；当x≤0时，f(x)的最小值为f(0)＝a.若f(0)是f(x)的最小值，则a≤2.

16．函数g(x)＝2x－的值域为____．

【解析】 令＝t(t≥0)，则x＝t2－1，所以y＝2(t2－1)－t＝2t2－t－2＝2－.因为t≥0，所以当t＝时，y取得最小值－，所以g(x)的值域为.

17．已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0, ]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增．

(1)已知f(x)＝，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；

(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对于任意的x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．

解：(1)f(x)＝＝2x＋1＋－8，设u＝2x＋1，x∈[0，1]，则1≤u≤3，故y＝u＋－8，u∈[1，3].由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)单调递减，所以函数f(x)的单调递减区间为；当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为.

由f(0)＝－3，f＝－4，f(1)＝－，

得f(x)的值域为[－4，－3].

(2)由于g(x)＝－x－2a在x∈[0，1]上单调递减，

故g(x)∈[－1－2a，－2a].

由题意，知f(x)的值域为g(x)的值域的子集，从而

解得a＝.