周期性与奇偶性

[A级　新教材落实与巩固]

一、选择题

1．若函数f(x)＝sin (ω>0)的周期为，则ω等于(　B　)

A．5    B．10    C．15    D．20

【解析】 由T＝＝，得ω＝10.

2． 下列函数中是偶函数，且最小正周期为π的函数是(　ABC　)

A．y＝cos |2x|    B．y＝|sin x|

C．y＝sin     D．y＝cos

【解析】 y＝cos |2x|＝cos 2x是偶函数，周期为π；y＝|sin x|是偶函数，周期为π；y＝sin ＝cos 2x是偶函数，周期为π；y＝cos ＝－sin 2x是奇函数，且其周期T＝π.故选ABC.

3．函数y＝4sin (2x－π)的图象关于(　B　)

A．x轴对称    B．原点对称

C．y轴对称    D．直线x＝对称

【解析】 y＝4sin (2x－π)＝－4sin 2x是奇函数，其图象关于原点对称．

4． 若函数y＝sin 是R上的偶函数，则φ的值可以是(　AC　)

A．    B．π    C．    D．2π

【解析】 要使函数y＝sin 是R上的偶函数，则需当x＝0时，函数值取最大或最小，即sin (－φ)＝±1，sin φ＝±1，φ＝kπ＋(k∈Z).当k＝0时，φ＝；当k＝1时，φ＝π.故选AC.

5．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象可能是(　B　)

A.　　　　　　　　　　　B.

　　　　C.　　　　　　　　　　　D.

6．下列函数：①y＝－cos |2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos ，周期为π的是(　A　)

A．①②③    B．①③

C．②    D．③

【解析】 对于①，因为y＝－cos |2x|＝－cos 2x，T＝＝π，所以y＝－cos |2x|的周期为π；对于②，因为y＝cos x的周期为2π，所以y＝|cos x|的周期为π；对于③，y＝cos 的周期T＝＝π.综上，①②③的周期都为π，故选A.

二、填空题

7．已知函数f(n)＝sin (n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝__＋1__．

【解析】 易知f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，f(9)＋f(10)＋…＋f(16)＝0，依此循环，f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝0＋f(97)＋f(98)＋f(99)＋f(100)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝＋1.

8．若0＜α＜，函数g(x)＝sin 是偶函数，则α的值为____．

【解析】 要使g(x)＝sin 为偶函数，则需＋α＝kπ＋，k∈Z，所以α＝kπ＋，k∈Z．因为0＜α＜，所以α＝.

9．若函数f(x)＝2cos 的周期为T，且T∈(1，4)，则正整数ω的最大值为__6__．

【解析】 T＝，1＜＜4，则＜ω＜2π，所以正整数ω的最大值是6.

10．若函数f(x)＝3cos (ω>0)的最小正周期为，则ω＝__3__，f＝ __－__．

【解析】 由已知得，＝，解得ω＝3，

所以f(x)＝3cos ，所以f＝3cos ＝3cos ＝－3cos ＝－3sin ＝－.

11．已知函数f(x)＝，若f(5)＝－2，则f(－5)＝__2__．

【解析】 由cos x≠0，得x≠＋kπ，k∈Z，定义域关于原点对称，则f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．所以f(－5)＝－f(5)＝2.

三、解答题

12．判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝cos cos (π＋x)；

(2)f(x)＝＋.

解：(1)因为x∈R，f(x)＝cos cos (π＋x)＝－sin 2x·(－cos x)＝sin 2x cos x，

所以f(－x)＝sin (－2x)cos (－x)＝－sin 2x cos x＝－f(x)，

所以函数f(x)是奇函数．

(2)对任意x∈R，－1≤sin x≤1，

所以1＋sin x≥0，1－sin x≥0，

所以f(x)＝＋的定义域为R．

因为f(－x)＝＋

＝＋＝f(x)，

所以函数f(x)是偶函数．

 [B级　素养养成与评价] 

13．设函数f(x)＝2sin ＋m的图象关于直线x＝π对称，其中0<ω<.则函数f(x)的最小正周期是(　D　)

A．    B．π    C．2π    D．3π

【解析】 由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin ＝±1，所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z).又0<ω<，所以ω＝，所以函数f(x)的最小正周期为3π.

14．函数y＝的最小正周期是__2π__．

【解析】 因为y＝sin 的周期为T＝4π，而y＝的图象是把y＝sin 的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，所以y＝的周期为2π.

15．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且当x∈时，f(x)＝1－sin x，求当x∈时，f(x)的解析式．

解：当x∈时，3π－x∈.

∵x∈时，f(x)＝1－sin x，

∴f(3π－x)＝1－sin (3π－x)＝1－sin x.

又∵f(x)是以π为周期的偶函数，

∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，

∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈.

16．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0).

(1)求证：函数f(x)是周期函数；

(2)若f(1)＝3，求f[f(21)]的值．

解：(1)证明：因为f(x＋2)＝－，

所以f(x＋4)＝－＝－＝f(x)，

所以f(x)是周期函数，周期为4.

(2)由(1)知f(x)是周期函数，且周期为4，又f(1)＝3，

则f(21)＝f(4×5＋1)＝f(1)＝3，

所以f[f(21)]＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)

＝＝＝－.