2021-2022学年浙江省绍兴市柯桥区联盟校八年级（下）期中数学试卷（含解析） (1)

2021-2022学年浙江省绍兴市柯桥区联盟校八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）

1. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

2. 最近北京年冬奥会的吉祥物“冰墩墩”成为了互联网的“顶流”，他呆萌的形象受到了人们的青睐，结合你所学知识，从下列四个选项中选出能够和如图的图片成中心对称的是

A.  B.  C.  D.

3. 用配方法解一元二次方程，可变形为

A.  B.  C.  D.

4. 一组数据，，，，，的中位数是

A.  B.  C.  D.

5. 四个一元二次方程：；；；其中没有实数根的方程的序号是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，，点在边上，以，为边作，则的度数为

A.
B.
C.
D.

7. 用反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，首先应该假设这个四边形中

A. 有一个角是钝角或直角 B. 每一个角都是钝角
C. 每一个角都是直角 D. 每一个角都是锐角

8. 取一张长与宽之比为：的长方形纸板，剪去四个边长为的小正方形如图，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒．要使包装盒的容积为纸板的厚度略去不计，问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？
   若设这张长方形纸板的长为厘米，则由题意可列出的方程是

A.  B.
C.  D.

9. 如图，四边形中，，，，，，那么的面积是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，平行四边形纸片和上下叠放，且，交于点，已知，，则为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11. 使有意义的的取值范围是______．
12. 一个四边形四个内角的度数之比为：：：，则该四边形最小内角的度数为______．
13. 随机从甲、乙两块试验田中各抽取株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：，，，，则小麦长势比较整齐的试验田是______ 填“甲”或“乙”．
14. 一个十二边形共有______条对角线．
15. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______．
16. 如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中的度数是______

17. 如图，把含，角的两块直角三角板放置在同一平面内，若，，则以，，，为顶点的四边形的面积是______．
     

18. 在等腰中，三边分别为、、，其中，、恰好是方程的两个实数根，则的周长为______．
19. 如图，在中，，点、分别在边、上，且将四边形沿直线翻折，点、的对应点分别是点、，如果四边形是平行四边形，那么 ______ 度．
     

20. 如图，平行四边形中，平分，交于点，且，延长与的延长线交于点下列结论中：≌；是等边三角形；；；其中正确的是______．

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

21. 计算
    ；
    
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共6小题，共46.0分）

22. 选用适当的方法解下列方程．
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，▱的对角线，相交于点，，分别是，的中点，连接，，，．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，，求的长．

24. 为了解某学校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校九年级部分同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下的统计图和图请根据相关信息，解答下列问题：
    Ⅰ该校抽查九年级学生的人数为______ ，图中的值为______ ；
    Ⅱ求统计的这组数据的众数、中位数和平均数．
    Ⅲ根据统计的样本数据，估计该校九年级名学生中，每周平均课外阅读时间大于的学生人数．

25. 某服装厂生产一批服装，年该类服装的出厂价是元件，年，年连续两年改进技术，降低成本，年该类服装的出厂价调整为元件．
    这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
    年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以元件销售时，平均每天可销售件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低元，每天可多售出件，如果每天盈利元，单价应降低多少元？
    
    
    
    
    
    
     
26. 问题：如图，在▱中，，，，的平分线，分别与直线交于点，，求的长．
    答案：．
    探究：把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．
    当点与点重合时，求的长；当点与点重合时，求的长．
    把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点，，，相邻两点间的距离相等时，求的值．
    
    
    
    
    
    
     

将一副三角尺如图拼接：含角的三角尺的长直角边与含角的三角尺的斜边恰好重合．已知，是上的一个动点．
当点运动到的平分线上时，连接、，求、的长；
当点在运动过程中出现时，求此时的度数；
当点运动到什么位置时，以、、、为顶点的平行四边形的顶点恰好在边上？求出此时平行四边形的面积．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、与不能合并，所以选项不符合题意；
B、原式，所以选项不符合题意；
C、原式，所以选项符合题意；
D、原式，所以选项不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减法对进行判断；根据二次根式的性质对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解决问题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、不是中心对称图形，故此选不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，
，即，
故选：．
移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．
本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
 

4.【答案】
 

【解析】解：将这个数据从小到大排列为：、、、、、，
所以中位数为，
故选：．
将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
本题考查了中位数，注意求中位数的时候首先要排序．
 

5.【答案】
 

【解析】解：方程判别式，有两个不相等的实数根；
方程判别式，有两个相等的实数根；
方程判别式，没有实数根；
方程判别式，有两个相等的实数根；
故选：．
分别计算出每个方程判别式的值即可得出答案．
本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，关键是求出的度数．
根据等腰三角形的性质可求，再根据平行四边形的性质可求．
【解答】
解：在中，，，
，
四边形是平行四边形，
．
故选D．  

7.【答案】
 

【解析】解：反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，假设这个四边形中每一个角都是锐角，
故选：．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

8.【答案】
 

【解析】解：设这张长方形纸板的长为，宽为，根据题意可得：
，
故选：．
根据题意设这张长方形纸板的长为，宽为，进而表示出长方体的底面积，即可表示出长方体体积，进而得出方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据题意正确表示出长方体的底面积是解题关键．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，三角形的面积以及含度角的直角三角形．解题的难点是作出辅助线，构建矩形和直角三角形，目的是求得的底边以及该边上的高线的长度，如图，过点作于，过点作于构建矩形和直角三角形，通过含度角的直角三角形的性质求得和的长度，然后由三角形的面积公式进行解答即可．
【解答】
解：如图，过点作于，过点作于．

设．
又，
四边形是矩形，
．
在中，，则，
，
，
在中，，则
又，
，即，
解得，
的面积是：，
故选：．  

10.【答案】
 

【解析】解：平行四边形纸片和上下叠放，且，
，，
，
在与中，，
≌，
面积面积，
；
故选：．
证≌，得出图中阴影部分面积的是平行四边形的一半解答即可．
此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
当被开方数为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．
主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【解答】
解：根据二次根式的意义，得
，解得．
故答案为：．  

12.【答案】
 

【解析】解：四边形四个内角的度数之比为：：：，
设这四个内角的度数为，，，，
根据四边形的内角和等于得：
，
，
，
故答案为：．
根据四个内角的度数之比设出这四个内角的度数为，，，，根据四边形的内角和等于列出方程求出的值，进而求得最小内角的度数．
本题考查了四边形的内角和，体现了方程思想，根据四个内角的度数之比设出这四个内角的度数为，，，是解题的关键．
 

13.【答案】甲
 

【解析】解：由方差的意义，观察数据可知甲块试验田的方差小，故甲试验田小麦长势比较整齐．
故填甲．
根据方差的意义判断即可．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
本题考查方差的定义与意义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

14.【答案】
 

【解析】解：边形共有条对角线，
一个十二边形共有条对角线．
故答案为：．
可根据多边形的对角线与边的关系求解．
此题主要考查了多边形对角线公式应用，熟记多边形的边数与对角线的关系式是解决此类问题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：设另一个根为，由根与系数之间的关系得，
，
，
故答案为，
利用根与系数之间的关系求解
本题主要考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是学生对公式的理解和熟练使用．
 

16.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，

，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的邻角互补解答．
 

17.【答案】
 

【解析】解：连接，交于
，，
四边形是平行四边形，
到，的距离和到，的距离和，
以，，，为顶点的四边形的面积，
，
，，
以，，，为顶点的四边形的面积，
故答案为：．
连接，交于推出四边形是平行四边形，得到到，的距离和到，的距离和，求得以，，，为顶点的四边形的面积，根据三角形的面积公式即可．
本题考查了含角的直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】或
 

【解析】解：等腰中，当为底，，为腰时，，若和是关于的方程的两个实数根，
则，
解得：，
则，
的周长为；
当为腰时，则或，
若或是关于的方程的根，
则，
解得：，
解方程，
解得或，
则的周长为：．
故答案为为或．
根据等腰中，当为底，，为腰时，，得出，解方程求出，则；当为腰时，则或，然后把或的值代入计算求出的值，再解方程进而求解即可．
此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，等腰三角形的性质及三角形三边关系定理，综合性较强，难度中等．
 

19.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、翻折变换等知识，解题的关键是证明是等边三角形，属于中考常考题型．只要证明是等边三角形即可解决问题．
【解答】

解：如图，

四边形是由四边形翻折得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为．

 

20.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
又平分，
，
，
，
，
是等边三角形；
正确；
，
，，
≌；
正确；
与等底等高与间的距离相等，
，
又与同底等高，
，
；
正确．
若与相等，即
即
即，
题中未限定这一条件
不一定正确；
故答案为：．
由平行四边形的性质得出，，由平分，可得，可得，得，由，得到是等边三角形，正确；则，由证明≌，正确；由与等底等高与间的距离相等，得出，由与同底等高，所以，得出正确．
此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．
 

21.【答案】解：原式
；
原式

．
 

【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
利用完全平方公式和平方差公式计算．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
 

22.【答案】解：方程移项得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，；
方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
 

【解析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可；
方程整理后，利用配方法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，分别是，的中点，
，
四边形是平行四边形；
解：，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，是的中点，
．
 

【解析】由平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论；
由勾股定理得，则，再由勾股定理求出，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可求解．
本题考查了平行四边形的平与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出、的长是解题的关键．
 

24.【答案】 
 

【解析】解：Ⅰ该校抽查九年级学生的人数为：人，
，
，
故答案为：，；

Ⅱ在这组数据中小时出现次数最多，有次，
众数为小时；
在这个数据中，中位数为第、个数据的平均数，即中位数为小时；
平均数是：小时；

根据题意得：
人，
答：根据统计的样本数据，估计该校九年级名学生中，每周平均课外阅读时间大于的约有人．
Ⅰ由小时的人数及其占总人数的百分比可得总人数，用小时的人数除以总人数即可求出；
Ⅱ根据众数、中位数及加权平均数的定义可得答案；
Ⅲ用总人数乘以每周平均课外阅读时间大于的学生人数所占的百分比即可．
本题考查了众数、中位数、平均数及扇形统计图和条形统计图的知识，解题的关键是能够结合两个统计图并找到进一步解题的有关信息．
 

25.【答案】解：设平均下降率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：平均下降率为．
设单价应降低元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
要减少库存，
．
答：单价应降低元．
 

【解析】设平均下降率为，利用年该类服装的出厂价年该类服装的出厂价下降率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
设单价应降低元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，利用每天销售该服装获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合要减少库存即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

26.【答案】解：如图所示：

四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
同理：，
点与点重合，
；
如图所示：

点与点重合，
，
，
点与点重合，
；
分三种情况：
如图所示：

同得：，
点，，，相邻两点间的距离相等，
，
；
如图所示：

同得：，
，
；
如图所示：

同得：，
，
；
综上所述，的值为或或．
 

【解析】证，得，同理，即可求解；
由题意得，再由，即可求解；
分三种情况，由的结果结合点，，，相邻两点间的距离相等，分别求解即可．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
 

27.【答案】解：在中，，，
，．
如图，作，
中，，
，
平分，
，
，
，


当点位置如图所示时，
根据中结论，，，
又，
，
．
．
当点位置如图所示时，同可得．
．
故的度数为或；

当点运动到边中点如图，即时，
以，，，为顶点的平行四边形的顶点恰好在边上．
四边形为平行四边形，
，
，
，即．
而在中，，
根据勾股定理得：，
为等腰直角三角形，
，
，
是平行四边形的高，
．
 

【解析】作，由的长求得、的长．在等腰中，；在中，求得的长．则由勾股定理即可求得的长．
由得与的关系，则与的关系也已知，先求得的度数，则的度数也可求出，需注意有两种情况．
由于四边形为平行四边形，则，为中点，作出平行四边形，求得面积．
本题是四边形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．