陕西省西安市曲江第一中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题

这是一份陕西省西安市曲江第一中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题，共24页。

陕西省西安市曲江第一中学2021-2022学年八年级下学期
期中数学试题
第I卷（选择题）
评卷人
得分



一、单选题
1．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如果有理数，那么下列各式中，不一定成立的是（       ）
A． B． C． D．
3．下列多项式不能用公式法因式分解的是（       ）
A． B． C． D．
4．平面直角坐标系中，把点向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度到达点处，则的坐标是（       ）
A． B． C． D．
5．等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角是（       ）
A．35° B．55° C．35°或55° D．55°或70°
6．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A按逆时针旋转60°得到△A1B1C1连接BC1，则BC1的长为（　　）


A．3 B．4 C．5 D．6
7．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．
8．若不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是（　　）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≤0
9．如图，四边形，，，，，则四边形的对角线的长（       ）


A． B． C． D．2
10．如图，中，，平分，于点，于点，，则的长为（     ）

A．3 B．4 C．5 D．6
第II卷（非选择题）
评卷人
得分



二、填空题
11．分解因式：______．
12．若函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式kx﹣b＜0的解集为______．

13．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在第________象限．
14．如图，在中，，，的垂直平分线交与点D，交于点E，，则的长为________．

15．如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为16，面积为12，则的值为________．

16．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到，连接，则的周长为________．

17．如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转60°，得到，连接，若，，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9；④．其中正确的序号是________．

18．如图，在锐角中，，，的角平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是________．

评卷人
得分



三、解答题
19．因式分解
(1)
(2)
(3)
(4)
20．解不等式（组）（每题3分，共计6分）
(1)
(2)
21．如图，已知，用尺规作图的方法，作边上的高．（保留作图痕迹，不写作法）

22．在中，∠=90°，是∠的平分线，⊥于，在上，=，求证：=．

23．学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已购2个A奖品和3个B奖品共需120元，购买4个A奖品和5个B奖品共需210元．
(1)求A，B两种奖品的单价；
(2)学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不超过B奖品的，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
24．（1）如图1，等边内有一点P，若，，，求的大小；（提示：将绕顶点A旋转到处）．
（2）如图2，已知在中，，，E、F为上的点，且；求证：；
（3）如图3，点A，B，C分别为三处村庄，在点O处有一个加油站；已知，，经测量，，，求加油站到三个村庄距离之和（即的值）．


参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，把一个图形绕某点旋转后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据定义逐一分析即可.
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，掌握“轴对称图形与中心对称图形的定义”是解本题的关键.
2．B
【解析】
【分析】
根据不等式的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】
解：A. ∵，∴ ，故该选项不符合题意，       
B. 当，且时，，故该选项符合题意，
C. ∵，∴，故该选项不符合题意，
D. ∵，∴ ，故该选项不符合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
3．C
【解析】
【分析】
直接利用完全平方公式以及平方差公式分别分解因式得出答案．
【详解】
解：A. ，故该选项不符合题意；       
B. ，故该选项不符合题意；       
C. 不能用公式法因式分解，故该选项符合题意；       
D. ，故该选项不符合题意；
故选C
【点睛】
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法是解决本题的关键．
4．D
【解析】
【分析】
让P1的横坐标加3，纵坐标减5即可得到所求点的坐标．
【详解】
解：∵点P1（-2，3）向右平移3个单位长度再向下平移5个单位长度到达点P2处，
∴P2的横坐标为-2+3=1，纵坐标为3-5=-2，
故选：D．
【点睛】
本题考查坐标平移的性质；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减；左右平移只改变点的横坐标，左减右加．
5．A
【解析】
【分析】
由条件可知等腰三角形的一个内角为110°，则该角只能为顶角，再利用三角形内角和可求得底角．
【详解】
解：∵等腰三角形的一个外角等于70°，
∴等腰三角形的一个内角为110°，且只能为顶角，
∴等腰三角形的底角为：，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
6．C
【解析】
【分析】
根据旋转的定义和性质可得∠BAC1＝90°，在Rt△BAC1中利用勾股定理可求BC1的长即可．
【详解】
解：由旋转的定义和性质可得AC1＝AC＝3，∠B1AC1＝∠BAC＝30°，∠BAB1＝60°．
∴∠BAC1＝90°．
∴在Rt△BAC1中，利用勾股定理可得BC1＝＝5．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了旋转的定义和性质、勾股定理等知识点，根据旋转的性质得到∠BAC1＝90°成为解答本题的关键．
7．B
【解析】
【分析】
根据图形，找出直线l1在直线l2下方部分的x的取值范围即可．
【详解】
解：由图形可知，当x≥-1时，，
∴不等式k1x+b≤k2x的解集为x≥-1，
故选B．
【点睛】
本题考查了两直线相交的问题，根据函数图象在上方的函数值比函数图象在下方的函数值大，利用数形结合求解是解题的关键．
8．B
【解析】
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大可得m的取值范围．
【详解】
解：解不等式x+5＜5x+1，得：x＞1，
解不等式x﹣m＞0，得：x＞m，
∵不等式组的解集为x＞1，
∴m≤1，
故选：B
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．A
【解析】
【分析】
连接，交于点，可得是等边三角形，是等腰直角三角形，根据垂直平分线的性质，勾股定理求得，根据直角三角形斜边上的中线可得，进而即可求得的长
【详解】
解：如图，连接，交于点，


，，
是等边三角形，
，，
是等腰直角三角形，
，，
垂直平分，
,，
，
，
，
，
故选A．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
10．C
【解析】
【分析】
过D作DG⊥AC于G,根据角平分线的性质得到DG=DE=2,根据三角形的面积公式列方程即可得到结论.
【详解】

过D作DG⊥AC于G,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,
∴DG=DE=2,
∵AB=6,AC=4,
∴=
∴
∴BF=5
故选C
【点睛】
本题考查角平分线的性质,关键在于掌握相关知识点.
11．
【解析】
【分析】
先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式即可求解．
【详解】
解：

．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，理解平方差公式是解答关键．
12．x＞2
【解析】
【分析】
从函数y＝kx﹣b的图象及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式kx﹣b＜0的解集．
【详解】
解：从图象知，函数y＝kx﹣b的图象经过点（2，0），
当x＞2时，图像在x轴下方，即y＜0，
所以关于x的不等式kx﹣b＜0的解集是x＞2，
故答案为：x＞2．
【点睛】
本题主要考查了运用函数图象求不等式的解集，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
13．一
【解析】
【分析】
根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）确定m、n的值，即可得出答案．
【详解】
解：∵点P（m，m-n）与点Q（-2，3）关于原点对称，
∴，
解得：
则点M（m，n）坐标为：（2，5）在第一象限．
故答案为：一
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是熟练掌握点的变化规律．
14．8
【解析】
【分析】
连接，根据垂直平分线的性质可得，进而可得
【详解】
解：连接，


在中，，，
，
是的垂直平分线，
，
，


，


故答案为：8
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
15．768
【解析】
【分析】
利用面积公式得到ab=12，由周长公式得到a+b=8，所以将原式因式分解得出ab（a+b）2．将其代入求值即可．
【详解】
解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为16，面积为12，
∴ab=12，a+b=8，
∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a+b）2=12×82=768．
故答案为：768
【点睛】
此题考查了因式分解法的应用，熟记公式结构正确将原式分解因式是解题的关键．
16．12
【解析】
【分析】
根据平移的性质得，，，则可计算，则，可判断为等边三角形，继而可求得的周长．
【详解】
平移两个单位得到的，
，，
，，
，，
，
又，
，
是等边三角形，
的周长为．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
17．①②③
【解析】
【分析】
先由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE得到BD=BE，∠DBE=60°，则可判断△BDE是等边三角形；根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根据旋转的性质得到∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，所以∠BAE=∠ABC=60°，则根据平行线的判定方法即可得到AE∥BC；根据等边三角形的性质得∠BDE=60°，而∠BDC＞60°，则可判断∠ADE≠∠BDC；由△BDE是等边三角形得到DE=BD=4，再利用△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，则AE=CD，所以△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD．
【详解】
解：∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴BD=BE，∠DBE=60°，
∴△BDE是等边三角形，所以①正确；
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，
∴∠BAE=∠ABC，
∴AE∥BC，所以②正确；
∴∠BDE=60°，
∵∠BDC=∠BAC+∠ABD＞60°，
∴∠ADE≠∠BDC，所以④错误；
∵△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=4，
而△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴AE=CD，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+4=5+4=9，所以③正确．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质，熟记旋转和等边三角形的各种性质是解题的关键．
18．
【解析】
【分析】
作点B关于AD的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，B′N的长度即为BM+MN的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．
【详解】
如图，作点B关于AD的对称点B′，

由垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短，
由轴对称性质，BM=B′M，
∴BM+MN=B′M+MN=B′N，
由轴对称的性质，AD垂直平分BB′，
∴AB=AB′，
∵∠BAC=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∵AB=6，
∴B′N=6×=，
即BM+MN的最小值是．
故答案为．
【点睛】
本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）先提公因式，再根据完全平方公式因式分解即可；
（2）直接根据平方差公式因式分解即可；
（3）根据完全平方公式和平方差公式因式分解即可；
（4）先分组，再根据完全平方公式和平方差公式因式分解即可；
(1)
解：原式＝

(2)
解：原式＝

(3)
解：原式＝



(4)
解：原式＝


【点睛】
本题考查了因式分解，掌握因式分解是的方法是解题的关键．
20．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
(1)




解得
(2)

解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集为：
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式（组），正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
21．见解析
【解析】
【分析】
延长，以为圆心，任意长度为半径作弧，在射线上截取点，分别以为圆心，的长为半径在上方作弧，两弧交于点，作射线，交射线于点，则即为所求
【详解】
如图所示，延长，以为圆心，适当长度为半径作弧，在射线上截取点，分别以为圆心，的长为半径在上方作弧，两弧交于点，作射线，交射线于点，则即为所求

【点睛】
本题考查了作三角形的高，掌握垂线的作法是解题的关键．
22．见解析
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质可以得出，由证明，得出对应边相等即可．
【详解】
证明：，
．
是的平分线，，
．
在和中，
，
，
．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用；解题的关键是熟记角平分线的性质定理，证明三角形全等．
23．(1)A的单价15元，B的单价30元；
(2)购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意列出方程组，即可求解；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为（30-z）个，购买奖品的花费为W元，根据题意得到，z≥（30-z），W=30z+15（30-z）=450+15z，根据一次函数的性质，即可求解；
(1)
解：设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意得
解得
答：A的单价15元，B的单价30元；
(2)
设购买A奖品z个，则购买B奖品为（30-z）个，购买奖品的花费为W元，
由题意可知，z≥（30-z），
，
W=30z+15（30-z）=450+15z，当z=8时，W有最小值为570元，
即购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少；
【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最优方案转化为一次函数性质解题是关键．
24．（1）150°；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根将△APB绕着点A逆时针旋转60°得到△ACP′，据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理即可得到结论；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，再求出∠E′AF=45°，从而得到∠EAF=∠E′AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F=EF，再利用勾股定理列式即可得证；
（3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB=2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO=OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC=A′C．
【详解】
解：（1）如图1，将△APB绕着点A逆时针旋转60°得到△ACP′，

∴△ACP′≌△ABP，
∴AP′=AP=8、CP′=BP=15、∠AP′C=∠APB，
由题意知旋转角∠PA P′=60°，
∴△AP P′为等边三角形，
∴P P′=AP=8，∠A P′P=60°，
∵PP′2+P′C2=82+152=172=PC2，
∴∠PP′C=90°，
∴∠APB=∠AP′C=∠A P′P+∠P P′C=60°+90°=150°；
（2）如图2，把△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ACE′，

则AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，
∵∠BAC=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠CAF=∠CAF+∠CAE′=∠FAE′=45°，
∴∠EAF=∠E′AF，且AE=AE'，AF=AF，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF=E′F，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠ACE′=90°，
∴∠FCE′=90°，
∴E′F2=CF2+CE′2，
∴EF2=BE2+CF2；
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，∠ABC=30°，
∴AB=8，
∴BC==，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∴A′B=AB=8，BO=BO′，A′O′=AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C=，
∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用旋转构造出全等三角形以及直角三角形是解题的关键．