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初中数学人教版七年级上册3.4 实际问题与一元一次方程备课课件ppt
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这是一份初中数学人教版七年级上册3.4 实际问题与一元一次方程备课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了百分率应用题，增长率应用题，有理数应用题举例等内容，欢迎下载使用。
应用题的解法很多，以下几种：1）列表法2）图示法3）演示法4）实践法
1、设直接未知数，即求什么设什么。
3、设辅助未知数，即“设而不求”
在列方程解决实际问题的过程应 注意哪些问题？
（1）设未知数时，要仔细分析问题中的数量关系， 找出题中的已知条件和未知数，一般采用直接 设法，有些问题可用间接设法，要注意未知数 的单位，不要漏写。
（2）找等量关系时，可借助图表分析题中的数 量关系， 列出两个代数式，使它们都表示 一个相等或相同的量。
（3）列方程时，要注意方程各项是同类量， 单位要一致，方程左右两边应是等量。
（4）解出方程的解后，要验证它的合理性， 再解释它的意义，并要注意单位。
（5）在解决实际问题的过程中，你是 怎样判断一个方程的解是否合理？ 请举例说明。
一、日历中的方程(找规律解方程)
例1 如图某月日历，如果用正方形所圈出4个数的和是76 ，这4天分别是几号？
问题：日历中阴影中的9个数的和能等于136吗？
如下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去；（1）填表：
（2）如果剪n次，共剪出多少个小正方形？（3）如果共剪出301个小正方形，则剪了几 次？
4 7 10 13 16
有一些分别标有6,12,18,24,30,36,…..的卡片，小明从中任意拿到了相邻的3张卡片，发现这些卡片上的数字的和为342猜猜小明拿到了哪3张卡片？小明能否拿到相邻的3张卡片，使得它们的和为86？说明理由？
6个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左、右两个人，然后每一个人把左、右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮出来，如图，问亮出11的人原来心中想的那个数是多少？
如图：一个长方形被划分成6个正方形，已知中间的最小的正方形面积为1平方厘米，求这个正方形的面积
二、等积变形及比例、调配
内容：（1）等积问题：变形前的体积＝变形后的体积。
例题1：要锻造一个半径为5cm，高为8cm的圆柱形毛坯，应截取截面半径为4cm的圆钢多长？
例题2：直径为30 cm,高为50cm的圆柱形瓶里放满了饮料，现把饮料倒入底面直径为10cm 的圆柱形小杯，刚好倒满30杯，求小杯的高
（2）周长为一定时，当长和宽相等时面积最大。
例题：用一根长为10米的铁丝围成一个长方形， （1）使得长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？（2）使得长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化？
例1：甲仓库有存粮120吨，乙仓库有存粮食80吨，现从甲库调部分到乙库，若要求调运后甲库的存粮是乙库的 ,问应从甲库调多少吨粮食到乙库？
例2：某公司原有职员60名，其中女职员占20%，今年又有几位男职员辞职，公司又补招了3名女职员，女职员的比例提高到25%，问公司离开公司的男职员一共有几人？
甲、乙两个仓库要向A、B两地运送水泥，已知甲仓库可调100吨水泥乙仓库可调水泥80吨，A地需70吨水泥，B地需 110吨水泥，两仓库到A，B两地的路程和运费如下表
（1）设甲仓库运往A地水泥x 吨，试用x的一次式表示总运费W? (2)你能确定当甲、乙两仓库各运往A，B多少吨水泥时，总运费461000元？最省的总运费是多少？
例1、我国四大发明之一的黑火药是用硝酸钠、 硫磺、木炭三种，原料按15：2：3的比例 配制而成，现要配制这种火药150公斤， 则这三种原料各需要多少 公斤？
解：设需要硝酸钠15x公斤，硫磺2x公斤， 木炭3x公斤
依题意得：15x+2x+3x=150 x=7.5
15x=15×7.5=112.5 2x=2×7.5=15 3x=3×7.5=22.5
答：硝酸钠应取112.5公斤，硫磺取15公斤，木炭 应取 22.5公斤。
设元是间接设元，一般设其中的一份为x，必要时要求连比
相等关系一般是总量等于部分量的和或找题中的话，也可以是整个题中始终不变的量
按比例分配的应用题的设元和找相等关系 各有什么特点？
一、明确行程问题中三个量的关系
三个基本量关系是：速度×时间=路程
分析方法辅助手段：线型图示法
相遇问题：甲的路程+乙的路程＝全程
追及问题：（1）同地不同时：
慢者行程＋先行路程＝快者路程
快者路程 — 慢者行程＝间隔距离
1、甲、乙两地相距162公里，一列慢车从甲站开出，每小时走48公里，一列快车从乙站开出，每小时走60公里试问： 1）两列火车同时相向而行，多少时间可以相遇？
2）两车同时反向而行，几小时后两车相距270公里？
3）若两车相向而行，慢车先开出1小时，再用多少时间 两车才能相遇？
4）若两车相向而行，快车先开25分钟，快车开了几小时 与慢车相遇?
5）两车同时同向而行（快车在后面），几小时后快车 可以追上慢车？
6）两车同时同向而行（慢车在后面），几小时后两车相 距200公里？
2：从甲地到乙地，水路比公路近40千米，上午十时，一艘轮船从甲地驶往乙地，下午1时一辆汽车从甲地驶往乙地，结果同时到达终点。已知轮船的速度是每小时24千米，汽车的速度是每小时40千米，求甲、乙两地水路、公路的长，以及汽车和轮船行驶的时间？
解：设水路长为x千米，则公路长为（x+40）千米
等量关系：船行时间－车行时间=3小时
答：水路长240千米，公路长为280千米，车行时间为7小时，船行时间为10小时
依题意得：
3 某连队从驻地出发前往某地执行任务，行军速度是 6千米/小时，18分钟后，驻地接到紧急命令，派遣 通讯员小王必须在一刻钟内把命令传达到该连队， 小王骑自行车以14千米/小时的速度沿同一路线追赶 连队，问是否能在规定时间内完成任务？
等量关系：小王所行路程=连队所行路程
答：小王能在指定时间内完成任务。
4 一列客车和一列货车在平行的轨道上同向行驶， 客车的长是200米，货车的长是280米，客车的 速度与货车的速度比是5 ：3，客车赶上货车的 交叉时间是1分钟，求各车的速度；若两车相向 行驶，它们的交叉时间是多少分钟？
解：设客车的速度是5x米/分， 则货车的速度是3x米/分。
5x – 3x = 280 + 200
5x = 1200，3x = 720
设两车相向行驶的交叉时间为y分钟。
1200y+720y= 280 + 200
5：一架飞机飞行两城之间，顺风时需要5小时30分钟， 逆风时需要6小时，已知风速为每小时24公里， 求两城之间的距离？
等量关系：顺风时飞机行驶的路程=逆风时飞机行驶的路程。
答：两城之间的距离为3168公里
注：飞行问题也是行程问题。同水流问题一样，飞行问题的等量关系有：顺风飞行速度=飞机本身速度+风速 逆风飞行速度=飞机本身速度－风速
5.5(x+24)=6(x-24)
解：静风的速度为x公里/小时，由题意得：
∴6（x-24)=3168
练习1、甲、乙两人环绕周长是400米的跑道散步，如果两人从 同一地点背道而行，那么经过2分钟他们两人就要相遇。如果2人从同一地点同向而行，那么经过20分钟两人相 遇。如果甲的速度比乙的速度快，求两人散步的速度？
等量关系：甲行的路程－乙行的路程=环形周长
注：同时同向出发：快车走的路程－环行跑道周长=慢车走的路程(第一次相遇) 同时反向出发：甲走的路程+乙走的路程=环行周长（第一次相遇）
练习2、甲乙两人从同一村庄步行去县城，甲比乙早1小时出发，而晚1小时到达，甲每小时走4千米，乙每小时走6千米，求村庄到县城的距离？
3、两地相距28公里，小明以15公里/小时的速度。小亮以 30公里/小时的速度，分别骑自行车和开汽车从同一地 前往另一地，小明先出发1小时，小亮几小时后才能 追上小明？
解：设小亮开车x 小时后才能追上小明，则小亮所行路 程为30x公里，小明所行路程为15（x+1）
等量关系：小亮所走路程=小明所走路程
依题意得：30x=15（x+1） x=1
检验：两地相距28公里，在两地之间，小亮追不上小明
四、工程问题中的数量关系：
2）工作总量=工作效率×工作时间
4）各队合作工作效率=各队工作效率之和
5）全部工作量之和=各队工作量之和
例1 修筑一条公路，甲工程队单独承包要80天完成，乙工程队单独承包要120天完成 1）现在由两个工程队合作承包，几天可以完成？ 2）如果甲、乙两工程队合作了30天后，因甲工作队另有任务， 剩下工作由乙工作队完成，则修好这条公路共需要几天？
解： 1）设两工程队合作需要x天完成。
2）设修好这条公路共需要 y 天完成。 等量关系： 甲30天工作量+乙队y天的工作量 = 1
答：两工程队合作需要48天完成，修好这条公路还需75天。
等量关系：甲工作量+乙工作量=1
依题意得
例2 已知开管注水缸，10分钟可满，拨开底塞，满缸水20 分钟流完，现若管、塞同开，若干时间后，将底塞塞 住，又过了2倍的时间才注满水缸，求管塞同开的时 间是几分钟？
设两管同开x分钟
等量关系：注入量－放出量=缸的容量
x=4 答：管塞同开的时间为4分钟
x+2x=3x（分钟）
依题意得：
例6 一个水池装甲、乙、丙三根水管，单开甲管10小时 可注满水池，单开乙管15小时可注满，单开丙管20 小时可注满。现在三管齐开，中途甲管关闭，结果6 小时把水池注满，问甲管实际开了几个小时？
解：设甲管实际开了x小时 等量关系：甲管x小时的工作量+乙、丙两管同开 6 小时的工作量）= 1
答：甲管实际开了3小时。
依题意得：
等量关系：4天的工作量+改进后（x – 4)工作量= 0.5
解：设一共x天可以修完它的一半。
1、弄清数字问题中的特殊关系
1234=1 ×103+2 ×102+3 × 10+4
=a × 106 +b ×105 +c ×104 +d ×103 +e×102 +f×10 +g
2、例题举例 1)一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的2倍 大1，个位上的数比十位上的数的3倍小1，如果把 这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调， 那么得到的三位数比原来的三位数大99， 求原来的三位数。
解：设十位上的数字为x，则百位上的数字为2x+1 个位上的数字为3x －1
等量关系：新三位数－原三位数=99
依题意，得：[100(3x －1)+10x+(2x+1)] － [100(2x+1)+10x+(3x －1)] =99 x=32x+1=7 3x－1=8
答：原来这个三位数为738
2) 有一个七位数若把首位5移到末位，则原数比新数 的3倍还大8，求原数 。
分析： 原数=3 ×新数+8
解：设这个七位数的后六位为x。
依题意，得：5 ×106+ x=3(10x+5)+8 x=172413∴原数为5 ×106+ 172413=5172413
3、练习 1) 一个三位数，三个数位上的数字之和是15，个位上 的数是十位上的数的3倍，百位上的数比十位上的 数多5，求这个三位数。
解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为3x，百 位上的数字为x+5。
等量关系：个位数字+十位数字+百位数字=15
依题意，得：3x+ x +x +5 =15 x=23x=6 x+5=7
答：这个三位数是726
已知四位数 ab52 的三倍比四位数52ab 大39， 求四位数ab52 ？
等量关系：原数的3倍=新数+39
依题意，得：3(100x+52)=(5200+x)+39
1、有关浓度问题的数量关系：
溶液 = 溶质 + 溶剂
稀释：加水，溶质不变，溶液增加
加浓：加溶质，水不变，溶液增加 蒸发水，溶质不变，溶液减少
2、例题举例 1)(稀释)：现有含盐16%的盐水30斤，要配制成含盐 10%的盐水，需加水多少斤？
等量关系：加水前溶质的重量=加水后溶质的重量
依题意，得： 30 ×16%= (30+x) × 10%
2)(浓缩) 现有含盐16%的盐水30斤,要配制成含盐20%的 盐水,需蒸发掉水多少斤?
解：设需要蒸发掉x斤水
等量关系：蒸发前溶质的重量=蒸发后溶质的重量
依题意，得： 30 ×16% = 20% (30 － x)
3) (加浓) 现有含盐16%的盐水30斤，要配制成含盐20% 的盐水 ，需加盐多少斤？
等量关系：混合前溶质重量的和=混合后溶质的重量
依题意，得：30 ×16%+x = (30+x) × 20% x = 1.5
等量关系：混合前水重量=混合后水的重量
依题意，得：30 ×（1 – 16%）= (30+x) ×（1 – 20%）
甲种酒精含纯酒精70%，乙种酒精含纯酒精55%。 现在要用这两种酒精配制成含纯酒精60%的混合酒3000克，那么甲种酒精、乙种酒精各要取多少克？
解：设甲种酒取x克,则乙种酒取(3000 －x)克
等量关系：两种酒酒精重量的和=混合酒酒精的重量
依题意得：70%x+ 55%(3000 － x) =3000 × 60% x=1000
答：甲种酒精要取1000克，乙种酒精要取2000克。
3000 － x=2000
55%(3000 － x)
练习： 有银和铜合金200克，其中含银2份，含铜3份。 现在要改变合金成分，使它含银3份，含铜7份， 应加入铜多少克？
等量关系：加铜前合金的含银量=加铜后合金的含银量
主要内容：利润＝ 售价－进价
售价＝标价×折数/10
利润率＝利润/进价×100％
例题：一商店把货品按标价的九折出售，仍可获利12.5 ％，若货品近价为380元，则标价为多少元？
例题：一商店经销一种商品，由于进货价格降低了6.4 ％，使得利润率提高了8个百分点，求原来经销这种商品的利润率.
例题：编一道“打折销售”的应用题，并能列方程（1+40%）•80%x -x =270来解答。
小颖的服装店同时卖出两套服装，每套均为168元，按成本计算，其中一套盈利20%，另一套亏本20%，请你帮小颖算算，在这次买卖中是亏了还是赚了，还是不亏不赚？
例2 小明的爸爸前年存了年利率为2.43%的两年期 定期储蓄。今年到期后，扣除利息税20%， 所得利息正好为小明买了一个价值48.6元的 计算器，问小明爸爸前年存了多少钱？
解：设小明爸爸前年存了x元。
依题意得：2 × 2.43%x （1－ 20%）= 48.6 x = 1250
答：小明爸爸前年存了1250元钱
等量关系：利息－利息税=应得利息
利息 = 本金 × 年利率 × 期数
利息税 = 本金 × 年利率 × 期数×税率（20%）
某工厂食堂第三季度一共节煤7400斤，其中八 月份比七月份多节约20%，九月份比八月份多 节约25%，问该厂食堂九月份节约煤多少公斤？
依题意得：x+ (1+20%)x +(1+20%)(1+25%)x=7400
答:该食堂九月份节约煤3000公斤.
（间接设元）解：设七月份节约煤x公斤。
则八月份节约煤(1+20%)x 公斤，九月份节约煤(1+20%)(1+25%)x公斤
(1+20%) (1+25%)x=3000
练习1 学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套 100元。店方表示：如果多购可以优惠，结果 校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样 多的利润，求每套课桌椅的成本是多少？
（直接设元）解：设每套课桌椅的成本价为x 元。
依题意得： 60（100 － x）= 72（100 – 3 – x） x = 82
答：每套课桌椅的成本是82元。
等量关系：60套时总利润=72套时总利润
练习2、某商店经销一种商品，由于进货价降低了5%，售出价 不变，使得利润率有原来的m%提高到（m + 6）%， 求m的值。
分析: 等量关系是售出价不变，两种不同利润率下的售价各如何表示？成本我们可以设为“1”
解: （1 + m%）=（1 – 5%）[ 1 +（m + 6）% ]
解得： m = 14
练习3：小颖的父母存三年期教育储蓄，三年后取出了5000元钱，你能求出本金是多少吗？
例1：每袋小麦的标准重量为90千克，10袋小麦称重记录如下：91 91 91.5 89 91.2 91.3 88.7 88.8 91.8 91.110袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？10袋小麦总重是多少千克？
解：以90千克为标准，超过的重量记为正数，不足的重量记为负数。则10袋小麦对应的数分别为：＋1，＋1，＋1.5，-1，＋1.2，＋1.3，-1.3，-1.2，＋1.8，＋1.1。 1+1+1.5+（-1）+1.2+1.3+（-1.3） +（-1.2）+1.8+1.1＝[1+（-1)]+[1.2+(-1.2)]+[1.3+(-1.3)]+(1+1.5+1.8+1.1) = 5.4(千克) 90×10+5.4=905.4(千克）所以10袋 小麦总计超过标准重量5.4千克，总重量为905.4千克。
练习：女子排球队共有10名队员，身高分别为173cm，174cm，170cm，176cm，180cm，175cm，177cm，179cm，174cm，172cm。你能用比较简单的方法计算这个队队员的平均身高吗中？（175cm)
例2：麻桥中学定于11月举行运动会，组委会在修整跑道 时，工作人员从甲处开工，规定向南为正，向北为负，从开工处甲处到收工处乙处所走的路程为：＋10，—3，＋4，—2，＋13，—8，—7，—5，—2，（单位：米）（1)甲处与乙处相距多远？（2）工作人员离开甲处最远是多少米？（3）工作人员共修跑道多少米？.
解：（1）10-3+4-2+13-8-7-5-2 ＝10+4+13-3-2-8-7-5-2 ＝27-27 ＝0（米）∴甲处与乙处相距0米，即在原处。（2）工作人员离开甲处的距离依次为：10，7， 11， 9， 22 ， 14， 7 ，2， 0。（米）∴工作人员离开甲处最远是22米。（2）10+3+4+2+13+8+7+5+2 ＝54（米）∴工作人员共修跑道54米
例3：下表列出了国外城市与北京的时差。（正号表示同一时刻比北京早和时数) (1)如果现在的时间是中午12：00，那么东京 是多少？（2）如果小芳给在纽约的舅舅
打电话，她在北京时间下午14：00打电话，你认为合适吗？（3）已知芝加哥比北京时间晚14时，问北京时间9月20号晚上20：00时，芝加哥时间是几月几号几点钟？
例4：股民小胡上星期五以每股13.10元的价格买进某种股票1000股，该股票的涨跌情况如下表（单位：元）（1）星期三收盘时，每股多少元？（2）本周最高价是每股多少元？（3）已知小胡买进股票时付了3‰的手续费，卖出时需付成交额 3‰的的手续费和成交额2‰的交易税，如果小胡在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？
例5：商场对顾客实行优惠，若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元，但不超过500元，按标准价给予九折优惠；若一次购物超出500元，其中500元按上述九折优惠外，超过500元的部分按八折优惠。某人两次购物分别付款168元和423元，如果合起来一次购买同样多的商品，他可节约多少钱？
例6、武汉商场在举行庆”五一“优惠销售活动中，采取”满一百送二十元，并且连环赠送“的酬宾方式。即顾客每花满100元（100元既可以是现金，也可以是奖励券，或者二者合计）就送20元奖励券，满200元就送40元奖励券，依此类推。有一天，一位顾客一次花了14000元钱，那么他还可以购回多少钱的物品？相当于几折销售？
例7、煤矿井下A点的海拔 高度为－174.8米，已知从A到B的水平距离为120米，每经过水平距离10米上升0.4米，已知B点在A点的上方。（1）求B的海拔高度；（2）若C点海拔高度为－68.8米，每垂直升高10米用30秒，求从A到C所用的时间。
如图：某一地区的自来水网络，小圆圈表示粗细不同的水管相连通，连线管标注的数字表示该段水管单位时间内可以通过的最大流水量，现从A向连接点B输送自来水，自来水可以沿不同路线输送，则单位时间内输送水量最大的是( )
(A)19 (B)24 (c)25 (D)26
例2 你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示：
第一次捏合 第二次捏合 第三次捏合
（1）这样捏合4次后可拉出多少根面条？5次呢？n次呢？（2）捏合多少次后可拉出64根面条？
3 6 9 12
这时s又分别是多少呢？
应用题的解法很多，以下几种：1）列表法2）图示法3）演示法4）实践法
1、设直接未知数，即求什么设什么。
3、设辅助未知数，即“设而不求”
在列方程解决实际问题的过程应 注意哪些问题？
（1）设未知数时，要仔细分析问题中的数量关系， 找出题中的已知条件和未知数，一般采用直接 设法，有些问题可用间接设法，要注意未知数 的单位，不要漏写。
（2）找等量关系时，可借助图表分析题中的数 量关系， 列出两个代数式，使它们都表示 一个相等或相同的量。
（3）列方程时，要注意方程各项是同类量， 单位要一致，方程左右两边应是等量。
（4）解出方程的解后，要验证它的合理性， 再解释它的意义，并要注意单位。
（5）在解决实际问题的过程中，你是 怎样判断一个方程的解是否合理？ 请举例说明。
一、日历中的方程(找规律解方程)
例1 如图某月日历，如果用正方形所圈出4个数的和是76 ，这4天分别是几号？
问题：日历中阴影中的9个数的和能等于136吗？
如下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去；（1）填表：
（2）如果剪n次，共剪出多少个小正方形？（3）如果共剪出301个小正方形，则剪了几 次？
4 7 10 13 16
有一些分别标有6,12,18,24,30,36,…..的卡片，小明从中任意拿到了相邻的3张卡片，发现这些卡片上的数字的和为342猜猜小明拿到了哪3张卡片？小明能否拿到相邻的3张卡片，使得它们的和为86？说明理由？
6个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左、右两个人，然后每一个人把左、右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮出来，如图，问亮出11的人原来心中想的那个数是多少？
如图：一个长方形被划分成6个正方形，已知中间的最小的正方形面积为1平方厘米，求这个正方形的面积
二、等积变形及比例、调配
内容：（1）等积问题：变形前的体积＝变形后的体积。
例题1：要锻造一个半径为5cm，高为8cm的圆柱形毛坯，应截取截面半径为4cm的圆钢多长？
例题2：直径为30 cm,高为50cm的圆柱形瓶里放满了饮料，现把饮料倒入底面直径为10cm 的圆柱形小杯，刚好倒满30杯，求小杯的高
（2）周长为一定时，当长和宽相等时面积最大。
例题：用一根长为10米的铁丝围成一个长方形， （1）使得长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？（2）使得长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化？
例1：甲仓库有存粮120吨，乙仓库有存粮食80吨，现从甲库调部分到乙库，若要求调运后甲库的存粮是乙库的 ,问应从甲库调多少吨粮食到乙库？
例2：某公司原有职员60名，其中女职员占20%，今年又有几位男职员辞职，公司又补招了3名女职员，女职员的比例提高到25%，问公司离开公司的男职员一共有几人？
甲、乙两个仓库要向A、B两地运送水泥，已知甲仓库可调100吨水泥乙仓库可调水泥80吨，A地需70吨水泥，B地需 110吨水泥，两仓库到A，B两地的路程和运费如下表
（1）设甲仓库运往A地水泥x 吨，试用x的一次式表示总运费W? (2)你能确定当甲、乙两仓库各运往A，B多少吨水泥时，总运费461000元？最省的总运费是多少？
例1、我国四大发明之一的黑火药是用硝酸钠、 硫磺、木炭三种，原料按15：2：3的比例 配制而成，现要配制这种火药150公斤， 则这三种原料各需要多少 公斤？
解：设需要硝酸钠15x公斤，硫磺2x公斤， 木炭3x公斤
依题意得：15x+2x+3x=150 x=7.5
15x=15×7.5=112.5 2x=2×7.5=15 3x=3×7.5=22.5
答：硝酸钠应取112.5公斤，硫磺取15公斤，木炭 应取 22.5公斤。
设元是间接设元，一般设其中的一份为x，必要时要求连比
相等关系一般是总量等于部分量的和或找题中的话，也可以是整个题中始终不变的量
按比例分配的应用题的设元和找相等关系 各有什么特点？
一、明确行程问题中三个量的关系
三个基本量关系是：速度×时间=路程
分析方法辅助手段：线型图示法
相遇问题：甲的路程+乙的路程＝全程
追及问题：（1）同地不同时：
慢者行程＋先行路程＝快者路程
快者路程 — 慢者行程＝间隔距离
1、甲、乙两地相距162公里，一列慢车从甲站开出，每小时走48公里，一列快车从乙站开出，每小时走60公里试问： 1）两列火车同时相向而行，多少时间可以相遇？
2）两车同时反向而行，几小时后两车相距270公里？
3）若两车相向而行，慢车先开出1小时，再用多少时间 两车才能相遇？
4）若两车相向而行，快车先开25分钟，快车开了几小时 与慢车相遇?
5）两车同时同向而行（快车在后面），几小时后快车 可以追上慢车？
6）两车同时同向而行（慢车在后面），几小时后两车相 距200公里？
2：从甲地到乙地，水路比公路近40千米，上午十时，一艘轮船从甲地驶往乙地，下午1时一辆汽车从甲地驶往乙地，结果同时到达终点。已知轮船的速度是每小时24千米，汽车的速度是每小时40千米，求甲、乙两地水路、公路的长，以及汽车和轮船行驶的时间？
解：设水路长为x千米，则公路长为（x+40）千米
等量关系：船行时间－车行时间=3小时
答：水路长240千米，公路长为280千米，车行时间为7小时，船行时间为10小时
依题意得：
3 某连队从驻地出发前往某地执行任务，行军速度是 6千米/小时，18分钟后，驻地接到紧急命令，派遣 通讯员小王必须在一刻钟内把命令传达到该连队， 小王骑自行车以14千米/小时的速度沿同一路线追赶 连队，问是否能在规定时间内完成任务？
等量关系：小王所行路程=连队所行路程
答：小王能在指定时间内完成任务。
4 一列客车和一列货车在平行的轨道上同向行驶， 客车的长是200米，货车的长是280米，客车的 速度与货车的速度比是5 ：3，客车赶上货车的 交叉时间是1分钟，求各车的速度；若两车相向 行驶，它们的交叉时间是多少分钟？
解：设客车的速度是5x米/分， 则货车的速度是3x米/分。
5x – 3x = 280 + 200
5x = 1200，3x = 720
设两车相向行驶的交叉时间为y分钟。
1200y+720y= 280 + 200
5：一架飞机飞行两城之间，顺风时需要5小时30分钟， 逆风时需要6小时，已知风速为每小时24公里， 求两城之间的距离？
等量关系：顺风时飞机行驶的路程=逆风时飞机行驶的路程。
答：两城之间的距离为3168公里
注：飞行问题也是行程问题。同水流问题一样，飞行问题的等量关系有：顺风飞行速度=飞机本身速度+风速 逆风飞行速度=飞机本身速度－风速
5.5(x+24)=6(x-24)
解：静风的速度为x公里/小时，由题意得：
∴6（x-24)=3168
练习1、甲、乙两人环绕周长是400米的跑道散步，如果两人从 同一地点背道而行，那么经过2分钟他们两人就要相遇。如果2人从同一地点同向而行，那么经过20分钟两人相 遇。如果甲的速度比乙的速度快，求两人散步的速度？
等量关系：甲行的路程－乙行的路程=环形周长
注：同时同向出发：快车走的路程－环行跑道周长=慢车走的路程(第一次相遇) 同时反向出发：甲走的路程+乙走的路程=环行周长（第一次相遇）
练习2、甲乙两人从同一村庄步行去县城，甲比乙早1小时出发，而晚1小时到达，甲每小时走4千米，乙每小时走6千米，求村庄到县城的距离？
3、两地相距28公里，小明以15公里/小时的速度。小亮以 30公里/小时的速度，分别骑自行车和开汽车从同一地 前往另一地，小明先出发1小时，小亮几小时后才能 追上小明？
解：设小亮开车x 小时后才能追上小明，则小亮所行路 程为30x公里，小明所行路程为15（x+1）
等量关系：小亮所走路程=小明所走路程
依题意得：30x=15（x+1） x=1
检验：两地相距28公里，在两地之间，小亮追不上小明
四、工程问题中的数量关系：
2）工作总量=工作效率×工作时间
4）各队合作工作效率=各队工作效率之和
5）全部工作量之和=各队工作量之和
例1 修筑一条公路，甲工程队单独承包要80天完成，乙工程队单独承包要120天完成 1）现在由两个工程队合作承包，几天可以完成？ 2）如果甲、乙两工程队合作了30天后，因甲工作队另有任务， 剩下工作由乙工作队完成，则修好这条公路共需要几天？
解： 1）设两工程队合作需要x天完成。
2）设修好这条公路共需要 y 天完成。 等量关系： 甲30天工作量+乙队y天的工作量 = 1
答：两工程队合作需要48天完成，修好这条公路还需75天。
等量关系：甲工作量+乙工作量=1
依题意得
例2 已知开管注水缸，10分钟可满，拨开底塞，满缸水20 分钟流完，现若管、塞同开，若干时间后，将底塞塞 住，又过了2倍的时间才注满水缸，求管塞同开的时 间是几分钟？
设两管同开x分钟
等量关系：注入量－放出量=缸的容量
x=4 答：管塞同开的时间为4分钟
x+2x=3x（分钟）
依题意得：
例6 一个水池装甲、乙、丙三根水管，单开甲管10小时 可注满水池，单开乙管15小时可注满，单开丙管20 小时可注满。现在三管齐开，中途甲管关闭，结果6 小时把水池注满，问甲管实际开了几个小时？
解：设甲管实际开了x小时 等量关系：甲管x小时的工作量+乙、丙两管同开 6 小时的工作量）= 1
答：甲管实际开了3小时。
依题意得：
等量关系：4天的工作量+改进后（x – 4)工作量= 0.5
解：设一共x天可以修完它的一半。
1、弄清数字问题中的特殊关系
1234=1 ×103+2 ×102+3 × 10+4
=a × 106 +b ×105 +c ×104 +d ×103 +e×102 +f×10 +g
2、例题举例 1)一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的2倍 大1，个位上的数比十位上的数的3倍小1，如果把 这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调， 那么得到的三位数比原来的三位数大99， 求原来的三位数。
解：设十位上的数字为x，则百位上的数字为2x+1 个位上的数字为3x －1
等量关系：新三位数－原三位数=99
依题意，得：[100(3x －1)+10x+(2x+1)] － [100(2x+1)+10x+(3x －1)] =99 x=32x+1=7 3x－1=8
答：原来这个三位数为738
2) 有一个七位数若把首位5移到末位，则原数比新数 的3倍还大8，求原数 。
分析： 原数=3 ×新数+8
解：设这个七位数的后六位为x。
依题意，得：5 ×106+ x=3(10x+5)+8 x=172413∴原数为5 ×106+ 172413=5172413
3、练习 1) 一个三位数，三个数位上的数字之和是15，个位上 的数是十位上的数的3倍，百位上的数比十位上的 数多5，求这个三位数。
解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为3x，百 位上的数字为x+5。
等量关系：个位数字+十位数字+百位数字=15
依题意，得：3x+ x +x +5 =15 x=23x=6 x+5=7
答：这个三位数是726
已知四位数 ab52 的三倍比四位数52ab 大39， 求四位数ab52 ？
等量关系：原数的3倍=新数+39
依题意，得：3(100x+52)=(5200+x)+39
1、有关浓度问题的数量关系：
溶液 = 溶质 + 溶剂
稀释：加水，溶质不变，溶液增加
加浓：加溶质，水不变，溶液增加 蒸发水，溶质不变，溶液减少
2、例题举例 1)(稀释)：现有含盐16%的盐水30斤，要配制成含盐 10%的盐水，需加水多少斤？
等量关系：加水前溶质的重量=加水后溶质的重量
依题意，得： 30 ×16%= (30+x) × 10%
2)(浓缩) 现有含盐16%的盐水30斤,要配制成含盐20%的 盐水,需蒸发掉水多少斤?
解：设需要蒸发掉x斤水
等量关系：蒸发前溶质的重量=蒸发后溶质的重量
依题意，得： 30 ×16% = 20% (30 － x)
3) (加浓) 现有含盐16%的盐水30斤，要配制成含盐20% 的盐水 ，需加盐多少斤？
等量关系：混合前溶质重量的和=混合后溶质的重量
依题意，得：30 ×16%+x = (30+x) × 20% x = 1.5
等量关系：混合前水重量=混合后水的重量
依题意，得：30 ×（1 – 16%）= (30+x) ×（1 – 20%）
甲种酒精含纯酒精70%，乙种酒精含纯酒精55%。 现在要用这两种酒精配制成含纯酒精60%的混合酒3000克，那么甲种酒精、乙种酒精各要取多少克？
解：设甲种酒取x克,则乙种酒取(3000 －x)克
等量关系：两种酒酒精重量的和=混合酒酒精的重量
依题意得：70%x+ 55%(3000 － x) =3000 × 60% x=1000
答：甲种酒精要取1000克，乙种酒精要取2000克。
3000 － x=2000
55%(3000 － x)
练习： 有银和铜合金200克，其中含银2份，含铜3份。 现在要改变合金成分，使它含银3份，含铜7份， 应加入铜多少克？
等量关系：加铜前合金的含银量=加铜后合金的含银量
主要内容：利润＝ 售价－进价
售价＝标价×折数/10
利润率＝利润/进价×100％
例题：一商店把货品按标价的九折出售，仍可获利12.5 ％，若货品近价为380元，则标价为多少元？
例题：一商店经销一种商品，由于进货价格降低了6.4 ％，使得利润率提高了8个百分点，求原来经销这种商品的利润率.
例题：编一道“打折销售”的应用题，并能列方程（1+40%）•80%x -x =270来解答。
小颖的服装店同时卖出两套服装，每套均为168元，按成本计算，其中一套盈利20%，另一套亏本20%，请你帮小颖算算，在这次买卖中是亏了还是赚了，还是不亏不赚？
例2 小明的爸爸前年存了年利率为2.43%的两年期 定期储蓄。今年到期后，扣除利息税20%， 所得利息正好为小明买了一个价值48.6元的 计算器，问小明爸爸前年存了多少钱？
解：设小明爸爸前年存了x元。
依题意得：2 × 2.43%x （1－ 20%）= 48.6 x = 1250
答：小明爸爸前年存了1250元钱
等量关系：利息－利息税=应得利息
利息 = 本金 × 年利率 × 期数
利息税 = 本金 × 年利率 × 期数×税率（20%）
某工厂食堂第三季度一共节煤7400斤，其中八 月份比七月份多节约20%，九月份比八月份多 节约25%，问该厂食堂九月份节约煤多少公斤？
依题意得：x+ (1+20%)x +(1+20%)(1+25%)x=7400
答:该食堂九月份节约煤3000公斤.
（间接设元）解：设七月份节约煤x公斤。
则八月份节约煤(1+20%)x 公斤，九月份节约煤(1+20%)(1+25%)x公斤
(1+20%) (1+25%)x=3000
练习1 学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套 100元。店方表示：如果多购可以优惠，结果 校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样 多的利润，求每套课桌椅的成本是多少？
（直接设元）解：设每套课桌椅的成本价为x 元。
依题意得： 60（100 － x）= 72（100 – 3 – x） x = 82
答：每套课桌椅的成本是82元。
等量关系：60套时总利润=72套时总利润
练习2、某商店经销一种商品，由于进货价降低了5%，售出价 不变，使得利润率有原来的m%提高到（m + 6）%， 求m的值。
分析: 等量关系是售出价不变，两种不同利润率下的售价各如何表示？成本我们可以设为“1”
解: （1 + m%）=（1 – 5%）[ 1 +（m + 6）% ]
解得： m = 14
练习3：小颖的父母存三年期教育储蓄，三年后取出了5000元钱，你能求出本金是多少吗？
例1：每袋小麦的标准重量为90千克，10袋小麦称重记录如下：91 91 91.5 89 91.2 91.3 88.7 88.8 91.8 91.110袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？10袋小麦总重是多少千克？
解：以90千克为标准，超过的重量记为正数，不足的重量记为负数。则10袋小麦对应的数分别为：＋1，＋1，＋1.5，-1，＋1.2，＋1.3，-1.3，-1.2，＋1.8，＋1.1。 1+1+1.5+（-1）+1.2+1.3+（-1.3） +（-1.2）+1.8+1.1＝[1+（-1)]+[1.2+(-1.2)]+[1.3+(-1.3)]+(1+1.5+1.8+1.1) = 5.4(千克) 90×10+5.4=905.4(千克）所以10袋 小麦总计超过标准重量5.4千克，总重量为905.4千克。
练习：女子排球队共有10名队员，身高分别为173cm，174cm，170cm，176cm，180cm，175cm，177cm，179cm，174cm，172cm。你能用比较简单的方法计算这个队队员的平均身高吗中？（175cm)
例2：麻桥中学定于11月举行运动会，组委会在修整跑道 时，工作人员从甲处开工，规定向南为正，向北为负，从开工处甲处到收工处乙处所走的路程为：＋10，—3，＋4，—2，＋13，—8，—7，—5，—2，（单位：米）（1)甲处与乙处相距多远？（2）工作人员离开甲处最远是多少米？（3）工作人员共修跑道多少米？.
解：（1）10-3+4-2+13-8-7-5-2 ＝10+4+13-3-2-8-7-5-2 ＝27-27 ＝0（米）∴甲处与乙处相距0米，即在原处。（2）工作人员离开甲处的距离依次为：10，7， 11， 9， 22 ， 14， 7 ，2， 0。（米）∴工作人员离开甲处最远是22米。（2）10+3+4+2+13+8+7+5+2 ＝54（米）∴工作人员共修跑道54米
例3：下表列出了国外城市与北京的时差。（正号表示同一时刻比北京早和时数) (1)如果现在的时间是中午12：00，那么东京 是多少？（2）如果小芳给在纽约的舅舅
打电话，她在北京时间下午14：00打电话，你认为合适吗？（3）已知芝加哥比北京时间晚14时，问北京时间9月20号晚上20：00时，芝加哥时间是几月几号几点钟？
例4：股民小胡上星期五以每股13.10元的价格买进某种股票1000股，该股票的涨跌情况如下表（单位：元）（1）星期三收盘时，每股多少元？（2）本周最高价是每股多少元？（3）已知小胡买进股票时付了3‰的手续费，卖出时需付成交额 3‰的的手续费和成交额2‰的交易税，如果小胡在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？
例5：商场对顾客实行优惠，若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元，但不超过500元，按标准价给予九折优惠；若一次购物超出500元，其中500元按上述九折优惠外，超过500元的部分按八折优惠。某人两次购物分别付款168元和423元，如果合起来一次购买同样多的商品，他可节约多少钱？
例6、武汉商场在举行庆”五一“优惠销售活动中，采取”满一百送二十元，并且连环赠送“的酬宾方式。即顾客每花满100元（100元既可以是现金，也可以是奖励券，或者二者合计）就送20元奖励券，满200元就送40元奖励券，依此类推。有一天，一位顾客一次花了14000元钱，那么他还可以购回多少钱的物品？相当于几折销售？
例7、煤矿井下A点的海拔 高度为－174.8米，已知从A到B的水平距离为120米，每经过水平距离10米上升0.4米，已知B点在A点的上方。（1）求B的海拔高度；（2）若C点海拔高度为－68.8米，每垂直升高10米用30秒，求从A到C所用的时间。
如图：某一地区的自来水网络，小圆圈表示粗细不同的水管相连通，连线管标注的数字表示该段水管单位时间内可以通过的最大流水量，现从A向连接点B输送自来水，自来水可以沿不同路线输送，则单位时间内输送水量最大的是( )
(A)19 (B)24 (c)25 (D)26
例2 你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示：
第一次捏合 第二次捏合 第三次捏合
（1）这样捏合4次后可拉出多少根面条？5次呢？n次呢？（2）捏合多少次后可拉出64根面条？
3 6 9 12
这时s又分别是多少呢？
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