湖北省襄阳市第五中学2022届高三适应性考试（四模）数学（word版 含答案、答题卡）

襄阳五中2022届高三年级适应性考试（四）

数  学  试  题

第I卷（选择题）

一、单选题

1．已知复数（i是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限        B．第二象限      C．第三象限       D．第四象限

2．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则

A． B． C． D．

3．已知向量为单位向量，()，则的夹角为（ ）

A． B． C． D．

4．某校安排高一年级（1）～（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一（1）班被安排到A基地的排法总数为（       ）

A．24 B．36 C．60 D．240

5．已知函数在区间上单调，且对任意实数均有成立，则（       ）

A． B． C． D．

6．已知数列满足，，且，若表示不超过x的最大整数（例如，）.则（       ）

A．2018 B．2019 C．2020 D．2021

7．在平面直角坐标系中，函数的图象上有三个不同的点位于直线上，且这三点的横坐标之和为0，则这条直线必过定点（        ）

A． B． C． D．

8．已知函数，若对任意都有，则实数的取值范围是（       ）

A．   B．   C．   D．

二、多选题

9．下列命题中，正确的是（       ）

A．已知随机变量服从正态分布，若，则

B．已知随机变量的分布列为，则

C．用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，则

D．已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员患甲病的概率为，患乙病的概率为，甲乙两种病都不患的概率为.则家系成员在患甲病的条件下，患乙病的概率为

10．设等比数列{an}的公比为q，其前和项和为，前n项积为，且满足条件a1＞1，

a2020a2021＞1，（a2020﹣1）（a2021﹣1）＜0，则下列选项正确的是（　　）

A．0＜q＜1       B．S2020+1＜S2021       C．T2020是数列{}中的最大项   D．T4041＞1

11．正方体的棱长为，分别为的中点，动点在线段上，则下列结论中正确的是（       ）

A．直线与直线异面  B．平面截正方体所得的截面面积为

C．存在点，使得平面平面  D．三棱锥的体积为定值

12．已知函数（，且），则（       ）

A．当时，恒成立          B．若有且仅有一个零点，则

C．当时，有两个零点         D．存在，使得有三个极值点

第II卷（非选择题）

三、填空题

13．若直线和直线将圆的周长四等分，则__________．

14．在锐角中，，则的取值范围是___________.

15．已知数列满足：，，且，，其中.若，则使得成立的最小正整数m为___________.

16．已知四棱锥的底面ABCD是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，，点E在棱PB上，且，过E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是___________.

四、解答题

17．在中，.

(1)求角的大小；

(2)若，的面积为，求的周长.

18．已知是公差为的等差数列，，

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前10项和

19．加强核酸检测工作，既有利于巩固防控成果、维护群众健康，又有助于人员合理流动、推动全面复工复产复学，是“外防输入、内防反弹”的重要措施. 某地要求对重点人群实行“应检尽检”原则，该原则指的是根据疫情传播风险研判，对应该进行核酸检测的人员，要保证必须全部检测. 该地根据“应检尽检”原则，对某大型社区开展了每日核酸检测. 因工作需要，社区工作人员对该社区被进行核酸检测群众的年龄构成情况进行了解. 随机抽取了名群众，将他们的年龄分成段：、、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求这名群众中年龄大于岁的人数；

(2)①若从样本中年龄在岁以上的群众中任取名，赠送“红星”洗化店的洗化用品. 求这名群众至少有人年龄不低于岁的概率；

②该“红星”洗化店采用抽奖方式来提升购物人数，将某特定产品售价提高元，且允许购买此特定产品的群众抽奖次. 规定中奖次、次、次分别奖现金元、元、元. 设群众每次中奖的概率均为. 若要使抽奖方案对“红星”洗化店有利，则奖金最高可定为多少元？（结果精确到个位）

20．已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知．

(1)求证：平面；

(2)求到平面的距离；

(3)求二面角余弦值的大小．

21．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到点的距离为．

(1)求抛物线C的方程及点的坐标；

(2)设斜率为的直线过点且与抛物线交于不同的两点、，若且，求斜率的取值范围．

22．已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数有两个不同的零点，，证明：．

参考答案：

1．B  2．C   3．C   4．C   5．B   6．D    7．A    8．B

9．ACD    10．AC     11．BD     12．AC

13．2    14．     15．121     16．

17．(1)解：在中，设内角、、的对边分别为、、，

因为，即，

由题意得：由正弦定理得，即，

所以，，又因为，所以，.

(2)解：，代入，则，即，

因为，所以，，则，可得，因此，的周长为.

18．(1)因是公差为的等差数列，，，所以当时，，

当时，，因为，所以，即，解得或（舍去），

所以

(2)由（1）得，

所以

19．(1)解：由频率分布直方图年龄在岁以上的群众共有名.

(2)解：①由频率分布直方图知，岁以上的群众共有名，

年龄不低于岁的群众有名，记事件为“这名群众至少有人年龄不低于岁”，则.

②设群众三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量，其所有可能取得值为：、、、.

由题意得，   ， ，，

故群众在三次抽奖中获得的奖金总额的期望值为：，由题意得，即，而，所以最高定价为元时，才能使得抽奖方案对商家有利.

20．(1)证明：在底面上的射影为的中点，即平面，

又平面平面平面，且平面平面，平面，平面，平面，，，且，平面平面．

(2)如图所示，以为坐标原点，为轴，为轴，取中点，以为轴，建立空间直角坐标系，平面，平面，，所以平行四边形是菱形，

是的中点，，，，，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，所以到平面的距离，

(3)解：平面，平面的法向量，

，设二面角的平面角为，显然为锐角，

，二面角的余弦值为．

21．(1)解：由抛物线定义可知，得，所以，抛物线方程为，

将点的坐标代入抛物线方程得，所以，点的坐标为.

(2)解：直线的方程为，设点、，

联立整理得，，可得或，

由韦达定理可得，，又，即，所以，，因为，，则，

又，令，所以，，由双勾函数的单调性可知，函数在上为减函数，在上为增函数，当时，，同理可知，当时，，

又因为或，所以，的取值范围是.

22．(1)解：当时，

所以，，所以，

即切线的斜率，所以切线方程为；

(2)证明：依题意有两个不同的零点， ，即有两个不同的根，

即有两个不同的根，即①，②；

①②得③，②①得④，

由③④得不妨设，令，

令，，则，所以在上单调递增，所以，

即，即，所以

又

所以，即令，则在上单调递增，

又，所以，

即，所以，

所以，得证；