2021-2022学年福建省宁德市福安市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省宁德市福安市八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列图案是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 若，则下列四个不等式中，不正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列各数，是不等式的解的是

A.  B.  C.  D.

4. 将点沿轴方向向左平移个单位，所得的点的坐标是

A.  B.  C.  D.

5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 若等腰三角形的顶角为，则它的一个底角度数为

A.   B.   C.   D.  

7. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设

A. 三角形中有一个内角小于 B. 三角形中有一个内角大于
C. 三角形中每个内角都大于 D. 三角形中没有一个内角小于

8. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，下列判断错误的是

A.  B.
C.  D.

9. 在班级体锻课上，有三名同学站在的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的

A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三边上高的交点 D. 三边垂直平分线的交点

10. 对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，；当时，；如：，，若关于的函数为，则该函数的最小值是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. “的倍与的和大于”用不等式表示为______．
12. 命题“等边对等角”的逆命题是“______ ”
13. 如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离是______．
14. 如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数是______．
    
    
     

15. 已知一次函数为常数，且，与的部分对应值如下表所示：

那么不等式的解集是______．

16. 如图，将绕点顺时针旋转，得到，使得，若此时点，，恰好在同一直线上，则以下结论：
    点在的垂直平分线上；
    平分；
    ；
    ，
    其中正确的是______填写序号

三、解答题（本大题共7小题，共52.0分）

17. 解不等式：，并在数轴上表示其解集．

18. 解不等式组：并求此不等式组的整数解．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，的三个顶点都在格点上，且点的坐标为
    请画出向下平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标；
    请画出绕点按逆时针方向旋转后得到的，并写出点的坐标；
    直接写出的长度．

20. 已知：如图，，交于点，，，，垂足分别为，．
    求证：是等腰三角形．
     

21. 伴随年北京冬奥会的进行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．某单位准备购进吉祥物系列商品冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣共个．在某官方旗舰店看到冰墩墩毛绒玩具每个元，雪容融钥匙扣每个元．
    该单位准备用不超过元的资金购进冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣，问最多可以购进冰墩墩毛绒玩具多少个？
    若购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的倍，求此时所用的最少资金．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，在中，，为延长线上一点．
    求作，使得，且点在上；
    在的条件下，设交于点，若，，求的长．
    
     

23. 如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，的中点，为线段上一动点不与点，重合，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．
    证明：≌；
    如图，连接，，交于点．
    证明：在点的运动过程中，总有；
    若，当的长度为多少时为等腰三角形？

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：．
一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、若，则，说法成立；
B、若，则，故说法成立；
C、若，则，故说法成立．
D、若，则，故说法不成立．
故选：．
运用不等式的基本性质判定即可．
本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的性质．
 

3.【答案】
 

【解析】解：根据题意可得，
即是不等式的解．
故选D．
应用不等式解的定义进行判定即可得出答案．
本题主要考查了不等式的解，熟练掌握不等式的解的定义进行求解是解决本题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：将点沿轴方向向左平移个单位，所得的点的坐标是，即，
故选B．
根据点的平移：左减右加，上加下减解答可得．
本题考查了坐标与图形变化平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，
．
表示在数轴上是：

故选：．
先求出原不等式的解集，再根据解集即可求出结论．
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能正确在数轴上表示不等式的解集是解此题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：等腰三角形的顶角为，
它的一个底角为．
故选：．
由已知顶角为，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出它的一个底角的值．
本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，
第一步先假设三角形中每个内角都大于，
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．
 

8.【答案】
 

【解析】解：由作图知，直线是线段的垂直平分线，
所以、、，故C、D正确，不符合题意；
，
，故B正确，不符合题意；
故选：．
由作图知，直线是线段的垂直平分线，据此得、、，继而结合知，从而得出答案．
本题主要考查作图基本作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图及线段中垂线的性质．
 

9.【答案】
 

【解析】解：为使游戏公平，凳子到的三个顶点的距离相等，
所以凳子应放在三边垂直平分线的交点．
故选：．
要使游戏公平，凳子到的三个顶点的距离相等，然后根据三角形外心的性质进行判断．
本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了三角形外心、内心和重心的性质．
 

10.【答案】
 

【解析】解：联立两函数解析式成方程组，得：，
解得：．
当时，；当时，．
函数最小值为．
故选：．
联立两函数解析式成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据的意义即可得出函数的最小值．
本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，联立两函数解析式成方程组求出交点坐标是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：根据题意可得：．
故答案为：．
根据题意得出大于，进而得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键．
 

12.【答案】等角对等边
 

【解析】解：“等边对等角”的逆命题是等角对等边；
故答案为：等角对等边．
交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题；
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是分清原命题的题设和结论．
 

13.【答案】
 

【解析】解：过点作于点，

已知，是的平分线，，
，
根据角平分线的性质可得：．
，，
．
，即点到的距离是，
故答案为：．
根据题意作辅助线，然后根据角平分线的性质得出，根据已知可得，所以，即点到的距离是．
本题主要考查角平分线的性质，作出辅助线是解决本题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，是的中线，
，，
，
是的角平分线，
，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义计算即可．
本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的中线和角平分线以及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：当时，，
根据表可以知道函数值随的增大而减小，
故不等式的解集是．
故答案是：．
由表格得到函数的增减性后，再得出时，对应的的值即可．
此题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：将绕点顺时针旋转，得到，
，
点在的垂直平分线上，故正确；
将绕点顺时针旋转，得到，
，
，
，
，
平分，故正确；
，
，
将绕点顺时针旋转，得到，
，
，
，
，故正确；
不能证明，故错误，
正确的有：，
故答案为：．
将绕点顺时针旋转，得到，可得，可判断正确；，，可得，判断正确；根据，得，而，有，即得，判断正确；不能证明，可判断错误．
本题考查三角形的旋转及平行线的性质，涉及等腰三角形性质及应用，解题的关键是掌握旋转的性质．
 

17.【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
．
 

【解析】不等式去分母，去括号，移项，合并，把系数化为，求出解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】解：，
解不等式得；
解不等式得；
所以不等式组的解集为：，
所以不等式组的整数解为：，，，，．
 

【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出的整数解即可．
主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
 

19.【答案】解：如图，为所作，点的坐标为；
如图，为所作，点的坐标；

的长度为．
 

【解析】利用点平移的坐标变换规律得到、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点即可；
利用勾股定理计算．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
 

20.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
，
是等腰三角形．
 

【解析】根据可以证明≌，从而可以得到，然后即可说明结论成立．
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，解答本题的关键是证出≌．
 

21.【答案】解：设购进冰墩墩毛绒玩具个，则购进雪容融钥匙扣个，
根据题意得：，
解得，
为整数，
最大取，
答：最多可以购进冰墩墩毛绒玩具个；
购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的倍，
，
解得，
当时，所用的资金最少为元，
答：此时所用的最少资金是元．
 

【解析】设购进冰墩墩毛绒玩具个，则购进雪容融钥匙扣个，
根据题意可得：，解出不等式取最大整数即可；
根据购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的倍，得，解得范围，即可得到答案．
本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式．
 

22.【答案】解：如图，为所作；

设，
在中，，
，
，
在中，，
，
即，
解得，
即的长为．
 

【解析】过点作的垂线，垂足为，则；
设，利用含度的直角三角形三边的关系，所以，接着利用得到，然后解方程即可．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了含度的直角三角形三边的关系．
 

23.【答案】证明：如图，

由旋转得：，，
，
，
，
≌；
证明：如图，在等腰直角三角形中，，

，
点，分别为，的中点，
是的中位线，
，，，
，，，
，，
≌，
，
；
分两种情况：
如图，时，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
当的长度为时，为等腰三角形；
如图，当时，，

，，
，
，
当的长度为时，为等腰三角形；
综上，当的长度为或时，为等腰三角形．
 

【解析】根据可证明≌；
证明≌，可得，从而根据两角的和可得结论；
分两种情况：如图，时，如图，当时，分别根据等腰三角形的性质可得结论．
本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，也考查了全等三角形的判定与性质，第二问要注意分类讨论，不要丢解．