2022高考压轴卷 数学（文）（全国乙卷） Word版含解析

2022全国乙卷高考压轴卷

数学（文）

一．选择题：本题共12个小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合M={x||x-1|<1}，N={x|x<2}，则M∩N=（    ）

A. (-1，1) B. (-1，2)

C. (0，2) D. (1，2)

2.已知复数z＝1﹣i，则＝（　　）

A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i

3.命题“x≥1，都有lnx+x﹣1≥0”的否定是（　　）

A．x≥1，都有lnx+x﹣1＜0 B．∃x0＜1使得lnx0+x0﹣1＜0 

C．∃x0≥1使得lnx0+x0﹣1≥0 D．∃x0≥1使得lnx0+x0﹣1＜0

4.将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至多可以放3个小球，且允许有空盒子，则不同的放法共有（　　）种

A．10 B．16 C．22 D．28

5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图．则该几何体的体积为（  ）

A.  B.  C.  D.

6.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（    ）

A. 4 B. 5

C. 6 D. 7

7.设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（       ）

A．3 B．16 C．6 D．4

8.已知向量，满足||＝2，||＝2，与﹣夹角的大小为，则•＝（　　）

A．0 B． C．2 D．﹣1

9.已知函数，则下列说法正确的是（       ）

A．f(x)的最小正周期为 B．f(x)的最大值为2

C．f(x)在上单调递增 D．f(x)的图象关于直线对称

10.函数的大致图象为（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

11.已知等差数列{an}中，，，则等于（    ）

A. 15 B. 30 C. 31 D. 64

12.已知双曲线＝1的右焦点为F，点M在双曲线上且在第一象限，若线段MF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线MF的斜率是（　　）

A． B． C． D．

二．填空题:本题共4个小题，每个小题5分，共20分.

13.已知奇函数y＝f（x）的周期为2，且当x∈（0，1）时，f（x）＝log2x．则f（7.5）的值为　　.

14.等比数列{an}（n∈N*）中，若a2=，a5=，则a8＝　　．

15.在△ABC中，已知AB＝9，BC＝7，cos（C﹣A）＝，则cosB＝　　．

16.在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．

三、解答题:本题共5个小题,第17-21题每题12分,解答题应写出必要的文字说明或证明过程或演算步骤.

17.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝，cosA＝，

cos∠ADB=．

（Ⅰ）求cos∠BDC；

（Ⅱ）求BC的长．

18.2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11∶13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意.

（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；

（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为，求出的分布列及期望值.

参考公式：附：

19.如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体．

（Ⅰ）求证：平面A1BD⊥平面A1ACC1；

（Ⅱ）点P是棱AA1上一动点，过点P作平面α平行底面ABCD，AP为多长时，正方体ABCD﹣A1B1C1D1在平面α下方的部分被平面A1BD截得的两部分的体积比是1：3．

20.已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0），其右焦点为F（1，0），圆C2：x2+y2＝a2+b2，过F垂直于x轴的直线被圆和椭圆截得的弦长比值为2．

（1）求曲线C1，C2的方程：

（2）直线l过右焦点F，与椭圆交于A，B两点，与圆交于C，D两点，O为坐标原点，若△ABO的面积为，求CD的长．

21.设函数f（x）＝x2﹣a（lnx+1）（a＞0）．

（1）证明：当a≤时，f（x）≥0；

（2）若对任意的x∈（1，e），都有f（x）≤x，求a的取值范围．

选考题:共10分,请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.[选修4—5：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（，，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C的极坐标方程为.

（1）求，，的值；

（2）已知点P的直角坐标为，与曲线C交于A、B两点，求.

23.[选修4—5：不等式选讲]

已知函数．

（1）若，解不等式；

（2）若对任意，求证：．

2022全国乙卷高考压轴卷数学（文）word版含解析

1.【答案】C

【解析】

，

故选：C

2.【答案】A

【解析】解：将z＝1﹣i代入得，

故选：A．

3.【答案】D

【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃x0≥1，使得lnx0+x0﹣1＜0，

故选：D．

4.【答案】A

【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：

①2个盒子各放3个小球，一个盒子是空的，有C32＝3种放法，

②若每个盒子放2个小球，有1种放法，

③若1个盒子放1个小球，1个盒子放2个小球，最后一个放3个小球，有A32＝6种放法，

则有3+1+6＝10种放法，

故选：A．

5.【答案】B

【解析】解：由几何体的三视图可知，该几何体为倒立圆锥，且圆锥的底面圆半径为1，高为2，

所以体积，

故选：B.

6.【答案】D

【解析】解：开始：

1. 判断为“是”,, ,；

2. 判断为“是”,, ,；

3. 判断为“是”,, ,；

4. 判断为“是”,, ,；

5. 判断为“是”,, ,；

6. 判断为“是”,, ,；

7. 判断为“否”,输出.

故选：D

7.【答案】D

【解析】解：不等式组对应的可行域如图所示：

由可得，故，

将初始直线平移至时，有最小值为，

故选：D.

8.【答案】A

【解析】解：因为||＝2，||＝2，

所以|﹣|＝＝，

因为与﹣夹角的大小为，

所以•（﹣）＝|||﹣|cos＝，

又•（﹣）＝2﹣•＝4﹣•，

所以＝4﹣•，

两边平方整理可得（•）2﹣6•＝0，

所以•＝6或•＝0，

当•＝6时，|﹣|＝2，

cos＜，﹣＞＝＝＝＝﹣，

此时与﹣夹角的大小为，与已知矛盾，舍去；

当•＝0，|﹣|＝4，

cos＜，﹣＞＝＝＝＝，

此时与﹣夹角的大小为，符合条件，

综上可得，•＝0．

故选：A．

9.【答案】D

【解析】解：由题意，函数

，

由函数的最小正周期，可得，所以A错误；

由函数的最大值为，所以B错误；

因为，可得，所以函数在上单调递减，

所以C错误；

由，令，解得，

当时，可得，所以的图象关于直线对称，所以D正确.

故选：D.

10.【答案】A

【解析】解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且，故f（x）为偶函数，由此排除选项BC，

当x＞1时，2xlnx2＞0，4x+1＞0，f（x）＞0，由此排除选项D．

故选：A．

11.【答案】A

【解析】解：，

，

故选：A.

12.【答案】A

【解析】解：如图所示，设线段MF的中点为H，连接OH，

设双曲线的右焦点为F，连接MF．双曲线的左焦点为F′，连接MF′，则OH∥MF′．

又|OH|＝|OF|＝c＝3，|FH|＝|MF|＝（2a﹣2c）＝a﹣c＝1．

设∠HFO＝α，

在△OHF中，tanα＝＝，

∴直线MF的斜率是﹣．

故选：A．

13. 【答案】1

【解析】解：∵奇函数y＝f（x）的周期为2，且当x∈（0，1）时，f（x）＝log2x．

∴f（7.5）＝f（1.5）＝f（﹣0.5）＝﹣f（0.5）＝﹣log2＝1，

故答案为：1．

14.【答案】4

【解析】解：因为等比数列{an}（n∈N*）中，，，

所以q3＝＝8，即q＝2，

所以a8＝＝＝4．

故答案为：4．

15.【答案】

【解析】解：∵AB＝9，BC＝7，∴AB＞BC，∴C＞A，

作CD＝AD，交AB于D，则∠DCA＝∠A，

∴∠BCD＝∠C﹣∠A，即cos∠BCD＝，

设AD＝CD＝x，则BD＝9﹣x，

在△BCD中，由余弦定理知，BD2＝CD2+BC2﹣2CD•BCcos∠BCD，

∴（9﹣x）2＝x2+49﹣2•x•7•，解得x＝6，

∴AD＝CD＝6，BD＝3，

在△BCD中，由余弦定理知，cosB＝＝＝．

故答案为：．

16.【答案】

【解析】解：

设圆心到直线距离为，则

所以

令（负值舍去）

当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，

故答案为：

17.【答案】

【解析】解：（Ⅰ）因为AB∥CD，cosA＝，cos，

所以sinA＝＝，sin∠ADB＝＝，

cos∠BDC＝cos[π﹣（A+∠ADB）]＝﹣cos（A+∠ADB）＝sinAsin∠ADB﹣cosAcos∠ADB＝×﹣＝．

（Ⅱ）由已知及正弦定理，可得＝，解得BD＝3，

由于cos∠BDC＝，CD＝，

在△BCD中，由余弦定理可得BC＝

＝＝．

18.【答案】

（1）见解析，有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”.（2）见解析，

【解析】解：（1）因为男生人数为：，所以女生人数为，

于是可完成列联表，如下：

根据列联表中的数据，得到的观测值

，

所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”.

（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知的可能取值为，并且服从超几何分布，，即

,

.

可得分布列为

可得.

19.【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：AA1⊥平面ABCD，则AA1⊥BD，

又∵底面ABCD是正方形，∴对角线AC⊥BD，

又AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面A1ACC1，

而BD⊂平面A1BD，∴平面A1BD⊥平面A1ACC1；

（Ⅱ）设平面α与A1B，A1D，B1B，D1D，C1C分别交于E，F，M，N，Q，

设A1P＝x，则AP＝1﹣x，PE＝PF＝x，

由题意，正方体ABCD﹣A1B1C1D1在平面α下方的部分被平面A1BD截得的两部分的体积比是1：3，

∴VPEF﹣ABD：VPMQN﹣ABCD＝1：4，得，

解得：或（舍）．

∴AP＝1﹣x＝1﹣．

20.【答案】

【解析】解：（1）由已知可得过F且垂直x轴的直线方程为x＝1，

联立方程，解得y＝，

联立方程，解得y＝，

所以，又因为a2＝b2+1…②，

联立①②解得a2＝2，b2＝1，

所以曲线C1的方程为，曲线C2的方程为x2+y2＝3；

（2）设直线l的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立方程，消去x整理可得：（2+m2）y2+2my﹣1＝0，

所以y，

所以|AB|＝＝＝，

又原点O到直线l的距离d＝，

所以三角形ABO的面积S＝＝，

整理可得：5m4﹣16m2﹣16＝0，解得m2＝4或﹣（舍去），

所以m2＝4，所以原点O到直线l的距离d＝，

则|CD|＝2．

21.【答案】

【解析】解：（1）证明：由题意得f（x）的定义域为（0，+∞），

，令f′（x）＝0可得．

所以当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．

故f（x）在上单调递减，在上单调递增．

所以f（x）的最小值，

所以，故，

所以当时，f（x）≥0．

（2）∵对任意的x∈（1，e），都有f（x）﹣x≤0，

∴f（x）﹣x≤0在（1，e）上恒成立，（分离参数）

故在（1，e）上恒成立，

∴a≥g（x）max．

令，在（1，e）上恒大于0，

∴g（x）在（1，e）上单调递增，

∴g（x）的最大值为，

∴．

22.【答案】

（1）；（2）.

【解析】解：（1）由，得，则，即.

因为，，所以.

（2）将代入，得.

设，两点对应的参数分别为，，则，.

所以.

23.【答案】

（1）（2）证明见详解.

【解析】（1）解：∵，

∴．

∴或或，

解得或或．

∴不等式的解集为．

（2）证明：∵，

又∵，

∴．

∴成立．