2022年天津中考数学模拟试卷(Word版附答案解析)

这是一份2022年天津中考数学模拟试卷(Word版附答案解析)，共49页。
2022年天津中考数学模拟试卷4
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•永春县期末）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列式子正确的是（　　）

A．ab＞0 B．a+b＜0 C．a+b＞0 D．a﹣b＞0
2．（3分）（2022•新抚区模拟）sin 30°等于（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）（2022•东方一模）电影《长津湖》讲述了参加抗美援朝战争的志愿军战士在长津湖战役中不畏严寒、保家卫国的故事，让无数影迷感动落泪．电影获得了巨大成功，并以5770000000元取得中国电影票房冠军．其中5770000000用科学记数法表示为（　　）
A．57.7×108 B．5.77×108 C．5.77×109 D．5.77×1010
4．（3分）（2021秋•东台市期末）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日在北京开幕，下列四个图标分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2022•江汉区模拟）如图所示几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）（2021秋•海口期末）如图，在数轴上点A和点B之间的整数是（　　）

A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
7．（3分）（2022春•青田县校级月考）用加减法解方程组时，要使方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形．以下四种变形中正确的是（　　）
①②③④
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
8．（3分）（2021春•罗湖区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，点F是BC上一点，AE平分∠FAD并交CD于点E，且AE⊥EF，垂足为点E，有如下结论：
①DE＝CE，
②AF＝CF+AD，
③S△AEF＝S△CEF+S△DEA，
④AB＝BF，
其中正确的是（　　）

A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
9．（3分）（2021秋•汉阳区期末）下列等式恒成立的是（　　）
A． B．
C．＝ D．
10．（3分）（2021秋•东港区校级期末）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，tanB＝，则k的值为（　　）

A．﹣6 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣4
11．（3分）（2021•临沂二模）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
①如果x＝﹣1是方程的根，则△ABC是等腰三角形；
②如果方程有两个相等的实数根，则△ABC是等边三角形；
③如果△ABC是等边三角形，则这个一元二次方程的根为﹣1和2．
其中正确的是（　　）
A．① B．①③ C．①② D．②③
12．（3分）（2022•和平区校级模拟）对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过点（﹣2，﹣3）
B．图象位于第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）（2021秋•皇姑区期末）已知多项式2x2+3kxy﹣y2﹣15xy+10中不含xy项，则k＝　 　．
14．（3分）（2021•即墨区一模）计算：+（﹣3）0﹣2﹣1﹣2﹣1﹣cos60°＝　 　．
15．（3分）（2021秋•潍坊期末）小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①AB＝BC；②AB⊥BC；③AD＝BC；④AC⊥BD；⑤AC＝BD，从中随机抽取一张卡片，能判定▱ABCD是菱形的概率为 　 　．
16．（3分）（2021秋•钢城区期末）将直线y＝﹣2x向上平移2个单位，得到一个一次函数的图象，这个一次函数的表达式是 　 　．
17．（3分）正比例函数y＝﹣2x的图象位于第 　 　象限；一次函数y＝2x+6的图象分布在第 　 　象限．
18．（3分）（2021秋•中原区校级期末）已知某函数的图象经过A（3，2），B（﹣2，﹣3）两点，下面有四个推断：
①若此函数的图象为直线，则此函数的图象与直线y＝x平行；
②若此函数的图象为双曲线，则（﹣6，﹣1）也在此函数的图象上；
③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与y轴的负半轴相交；
④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线x＝左侧，所有合理推断的序号是 　 　．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）（2018春•广水市期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为[x]．即当n为非负整数时，若n﹣≤x＜n+，则[x]＝n．如：[2.9]＝3；[2.4]＝2；……根据以上材料，解决下列问题：
（1）填空[1.8]＝　 　，[]＝　 　；
（2）若[2x+1]＝4，则x的取值范围是 　 　；
（3）求满足[x]＝x﹣1的所有非负实数x的值．
20．（8分）（2012•市南区模拟）某市教育行政部门为了了解初一学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初一学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）．
请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求出该校初一学生总数；
（2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？
（3）如果该市共有初一学生6000人，请你估计“活动时间不少于4天”的大约有多少人？
21．（10分）已知P是正方形ABCD内一点，△PBC是等边三角形，若△PAD的外接圆半径是a，求正方形ABCD的边长．

22．（10分）（2021•未央区校级开学）如图，一艘轮船原计划从A地直接航行到B地，两地间的距离AB为200km．后来了解到在两地之间的某一海域有暗礁，为了避开暗礁，轮船从A地出发后，就沿与水平线成30°角的方向航行，到达C地后再沿与水平线成45°角的方向继续航行直到B地．请问轮船这样航行的路程比原计划的路程远了多少？（要求在结果化简后再代入参考数据运算，最终结果精确到1km；参考数据：≈1.73，≈1.41）．

23．（10分）（2021秋•细河区期末）今年3月，德宏瑞丽受疫情影响，采取了“封城措施”封城期间，某公司安排大、小货车共20辆，分别从A、B两地运送320吨物资到德宏瑞丽，支援瑞丽抗击疫情，每辆大货车装25吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资，已知这两种货车的运费如表：
目的地
车型
A地（元/辆）
B地（元/辆）
大货车
900
1000
小货车
500
700
要安排上述装好物资的20辆货车中的12辆从A地出发，其余从B地出发．
（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？（设未知数避开x，y）
（2）设从A地出发的大货车有x辆（大货车不少于5辆）这20辆货车的总运费为y元，求总运费y的最小值．
24．（10分）（2022•成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．

（1）b＝　 　，c＝　 　；
（2）若点D为第四象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，求出DE+FG的最大值及此时点D的坐标；
（3）若点P是该抛物线对称轴上的一点，点Q为坐标平面内一点，那么在抛物线上且位于x轴上方是否存在点M，使四边形OMPQ为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（10分）（2022•四会市一模）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF；
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．


2022年天津中考数学模拟试卷4
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•永春县期末）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列式子正确的是（　　）

A．ab＞0 B．a+b＜0 C．a+b＞0 D．a﹣b＞0
【考点】有理数的乘法；数轴；有理数的加法；有理数的减法．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据数轴判断a与b的大小关系即可求出答案．
【解答】解：由数轴可知：﹣b＜a＜0＜﹣a＜b，
A、ab＜0，故A不符合题意．
B、a+b＞0，故B不符合题意．
C、a+b＞0，故C符合题意．
D、a﹣b＜0，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查数轴，解题的关键是正确得出﹣b＜a＜0＜﹣a＜b，本题属于基础题型．
2．（3分）（2022•新抚区模拟）sin 30°等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．
【解答】解：sin 30°＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．
3．（3分）（2022•东方一模）电影《长津湖》讲述了参加抗美援朝战争的志愿军战士在长津湖战役中不畏严寒、保家卫国的故事，让无数影迷感动落泪．电影获得了巨大成功，并以5770000000元取得中国电影票房冠军．其中5770000000用科学记数法表示为（　　）
A．57.7×108 B．5.77×108 C．5.77×109 D．5.77×1010
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：5770000000＝5.77×109．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2021秋•东台市期末）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日在北京开幕，下列四个图标分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
5．（3分）（2022•江汉区模拟）如图所示几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；几何直观．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看，易得一个矩形，矩形中有一条横向的虚线．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
6．（3分）（2021秋•海口期末）如图，在数轴上点A和点B之间的整数是（　　）

A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
【考点】估算无理数的大小；实数与数轴．
【分析】根据算术平方根的定义得到1＜＜2，3＜＜4，则点A和点B之间是大于1小于4的数，所以满足条件的整数为2和3．
【解答】解：∵1＜2＜4，9＜10＜16，
∴1＜＜2，3＜＜4，
∴在数轴上点A和点B之间的整数为2，3．
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．
7．（3分）（2022春•青田县校级月考）用加减法解方程组时，要使方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形．以下四种变形中正确的是（　　）
①②③④
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】等式两边同时乘或除以同一个不为0的数或整式，等式仍然成立，据此判断出四种变形中正确的是哪几个即可．
【解答】解：②、④．
故选：D．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意等式的性质的应用．
8．（3分）（2021春•罗湖区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，点F是BC上一点，AE平分∠FAD并交CD于点E，且AE⊥EF，垂足为点E，有如下结论：
①DE＝CE，
②AF＝CF+AD，
③S△AEF＝S△CEF+S△DEA，
④AB＝BF，
其中正确的是（　　）

A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】首先延长AD，交FE的延长线于点M，易证得△AEM≌△AEF（ASA），可得EM＝EF，AM＝AF，又由平行四边形ABCD得AD∥BC，可得∠M＝∠EFC，可证得△MDE≌△FCE（AAS），可得出DE＝CE，DM＝CF，即可得出AF＝AM＝AD+DM＝CF+AD；在线段FA上截取FN＝FC，可得出AN＝AD，证明△ANE≌△ADE（SAS），可得NE＝DE＝CE，再证△EFN≌△EFC（SSS），即可得出S△AEF＝S△EFN+S△ANE＝S△CEF+S△DEA；AF不一定是∠BAD的角平分线，AB不一定等于BF，由此可得结论．
【解答】解：延长AD，交FE的延长线于点M，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠M＝∠EFC，
∵AE⊥EF，AE平分∠FAD，
∴∠AEM＝∠AEF＝90°，∠MAE＝∠FAE，
在△AEM和△AEF中，
，
∴△AEM≌△AEF（ASA），
∴EM＝EF，AM＝AF，
∵AD∥BC，
∴∠M＝∠EFC，
在△MDE和△FCE中，
，
∴△MDE≌△FCE（AAS），
∴DE＝CE，DM＝CF，①正确；
∴AF＝AM＝AD+DM＝CF+AD，②正确；
在线段FA上截取FN＝FC，
∵DM＝CF，
∴FN＝DM＝CF，
∵AM＝AF，
∴AN＝AD，
在△ANE和△ADE中，
，
∴△ANE≌△ADE（SAS），
∴NE＝DE＝CE，
在△EFN和△EFC中，
，
∴△EFN≌△EFC（SSS），
∴S△AEF＝S△EFN+S△ANE＝S△CEF+S△DEA，③正确；
∵AF不一定是∠BAD的角平分线，
∴AB不一定等于BF，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
9．（3分）（2021秋•汉阳区期末）下列等式恒成立的是（　　）
A． B．
C．＝ D．
【考点】分式的基本性质；分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据分式的基本性质，分式的加减法法则进行计算即可．
【解答】解：A.+＝，故A不符合题意；
B.＝，故B符合题意；
C.＝，故C不符合题意；
D.＝﹣，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的加减法，熟练掌握分式的基本性质，分式的加减法法则是解题的关键．
10．（3分）（2021秋•东港区校级期末）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，tanB＝，则k的值为（　　）

A．﹣6 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣4
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形．
【专题】反比例函数及其应用；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，利用反比例函数系数的几何意义得到S△AOC＝1，再根据正切的意义得到tanB＝＝，接着证明Rt△AOC∽Rt△OBD，利用相似三角形的性质得＝（）2＝3，所以|k|＝3，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
【解答】解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如图，
在Rt△AOB中，tanB＝＝，
∵OA⊥OB，
∴∠BOD+∠AOC＝90°，
∵∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠AOC＝∠OBD，
∴Rt△OBD∽Rt△AOC，
∴＝（）2＝3，
∵S△OBD＝|k|，S△AOC＝×2＝1，
∴＝3，
而k＜0，
∴k＝﹣6．
故选：A．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了相似三角形的判定与性质．
11．（3分）（2021•临沂二模）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
①如果x＝﹣1是方程的根，则△ABC是等腰三角形；
②如果方程有两个相等的实数根，则△ABC是等边三角形；
③如果△ABC是等边三角形，则这个一元二次方程的根为﹣1和2．
其中正确的是（　　）
A．① B．①③ C．①② D．②③
【考点】根与系数的关系；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；一元二次方程的定义；根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】①直接将x＝﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a＝b，即可判断△ABC的形状；
②利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
③利用△ABC是等边三角形，则a＝b＝c，进而代入方程求出即可．
【解答】解：①∵x＝﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，
∴a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
②△ABC是直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴4b2﹣4a2+4c2＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
③∵△ABC是等边三角形，
∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0可整理为：2ax2+2ax＝0，
∴x2+x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1．
故其中正确的是①．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，灵活应用所学知识是解题关键．
12．（3分）（2022•和平区校级模拟）对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过点（﹣2，﹣3）
B．图象位于第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】根据反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣，
k＝﹣6＜0，
∴该函数图象为第二、四象限，故选项B不符合题意；
当x＝﹣2时，y＝3，即该函数过点（﹣2，3），故选项A不符合题意；
当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意；
当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用反比例函数的性质解答．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）（2021秋•皇姑区期末）已知多项式2x2+3kxy﹣y2﹣15xy+10中不含xy项，则k＝　5　．
【考点】合并同类项；多项式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】先根据题意列出整式相加减的式子，再合并同类项，令xy的系数为0即可得出k的值．
【解答】解：2x2+3kxy﹣y2﹣15xy+10＝2x2+（3k﹣15）xy﹣y2+10，
∵多项式2x2+3kxy﹣y2﹣15xy+10中不含xy项，
∴3k﹣15＝0，
解得：k＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．
14．（3分）（2021•即墨区一模）计算：+（﹣3）0﹣2﹣1﹣2﹣1﹣cos60°＝　﹣　．
【考点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】先分母有理化，然后零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行计算．
【解答】解：原式＝+1﹣﹣﹣
＝+1﹣1﹣
＝﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．
15．（3分）（2021秋•潍坊期末）小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①AB＝BC；②AB⊥BC；③AD＝BC；④AC⊥BD；⑤AC＝BD，从中随机抽取一张卡片，能判定▱ABCD是菱形的概率为 　　．
【考点】概率公式；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据菱形的判定方法确定能得到菱形的方法，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：能判断▱ABCD是菱形的有：①AB＝BC、④AC⊥BD，
所以从中随机抽取一张卡片，能判定▱ABCD是菱形的概率为，
故答案为：．
【点评】考查了菱形的判定方法及概率公式，能够了解菱形的判定方法是解答本题的关键，难度不大．
16．（3分）（2021秋•钢城区期末）将直线y＝﹣2x向上平移2个单位，得到一个一次函数的图象，这个一次函数的表达式是 　y＝﹣2x+2　．
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的图象．
【专题】平移、旋转与对称；应用意识．
【分析】根据函数图象平移的法则“上加下减”，就可以求出平移以后函数的解析式．
【解答】解：将直线y＝﹣2x向上平移2个单位，得到一次函数的表达式为：y＝﹣2x+2．
故答案为：y＝﹣2x+2．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．
17．（3分）正比例函数y＝﹣2x的图象位于第 　一、三　象限；一次函数y＝2x+6的图象分布在第 　一、二、三　象限．
【考点】正比例函数的性质；一次函数的图象；正比例函数的图象；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【分析】根据一次函数的性质进行判断即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝﹣2x中k＝﹣2＜0，
∴图象位于第一、三象限；
∵一次函数y＝2x+6中k＝2＞0，b＝6＞0，
∴图象分布在第一、二、三象限．
故答案为：一、三，一、二、三．
【点评】一次函数的图象与坐标系的位置关系，要求学生可根据函数式判断出函数图象的位置．
18．（3分）（2021秋•中原区校级期末）已知某函数的图象经过A（3，2），B（﹣2，﹣3）两点，下面有四个推断：
①若此函数的图象为直线，则此函数的图象与直线y＝x平行；
②若此函数的图象为双曲线，则（﹣6，﹣1）也在此函数的图象上；
③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与y轴的负半轴相交；
④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线x＝左侧，所有合理推断的序号是 　①②④　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；两条直线相交或平行问题；反比例函数的图象；反比例函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】分别根据过A、B两点的函数是一次函数、反比例函数、二次函数时，相应的函数的性质进行判断即可．
【解答】解：①设过A（3，2），B（﹣2，﹣3）两点的直线的关系式为y＝kx+b，则，
解得，
所以直线的关系式为y＝x﹣1，
所以直线y＝x﹣1与直线y＝x平行，
因此①正确；
②设过A（3，2），B（﹣2，﹣3）两点的反比例函数的关系式为y＝，
则，k＝3×2＝6，
因为﹣6×（﹣1）＝6，
所以，（﹣6，﹣1）也在此函数的图象上，
故②正确；
③设过A（3，2），B（﹣2，﹣3）两点的抛物线的关系式为y＝ax2+bx+c，
则，
所以a+b＝1，
当抛物线开口向下时，有a＜0，则b＞0，
对称轴x＝﹣＞0，
由图象可知，当对称轴0＜x＝﹣＜3时，抛物线与y轴的交点在正半轴，
当﹣＞3时，抛物线与y轴的交点在负半轴，
因此③不正确；
④当抛物线开口向上时，有a＞0，而a+b＝1，即b＝﹣a+1，
所以对称轴x＝﹣＝﹣＝﹣＜，
因此函数图象对称轴在直线x＝左侧，故④正确，
综上所述，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，待定系数法求函数的关系式，理解各种函数的图象和性质是正确判断的前提．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）（2018春•广水市期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为[x]．即当n为非负整数时，若n﹣≤x＜n+，则[x]＝n．如：[2.9]＝3；[2.4]＝2；……根据以上材料，解决下列问题：
（1）填空[1.8]＝　2　，[]＝　2　；
（2）若[2x+1]＝4，则x的取值范围是 　≤x＜　；
（3）求满足[x]＝x﹣1的所有非负实数x的值．
【考点】估算无理数的大小；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用．
【分析】（1）依据定义并利用四舍五入法求解即可；
（2）依据定义列出关于x的不等式组，从而可求得x的取值范围；
（3）设x﹣1＝m，m为整数，表示出x，进一步得出不等式组得出答案即可．
【解答】解：（1）[1.8]＝2，[]＝2；
故答案为：2；2．
（2）∵[2x+1]＝4，
∴≤2x+1＜，
∴≤x＜．
故答案为：≤x＜．
（3）设x﹣1＝m，则x＝，
∴[]＝m，
∴m﹣≤＜m+，解得：＜m≤，
∵m为整数，
∴m＝1或2或3，
∴x＝或x＝2或x＝．
【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，解一元一次不等式组，依据理解定义，依据定义列出不等式组是解题的关键．
20．（8分）（2012•市南区模拟）某市教育行政部门为了了解初一学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初一学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）．
请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求出该校初一学生总数；
（2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？
（3）如果该市共有初一学生6000人，请你估计“活动时间不少于4天”的大约有多少人？
【考点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本估计总体．
【专题】图表型．
【分析】（1）根据参加综合实践活动的天数是2天的20人，占总体的10%，计算总人数；
（2）根据中位数、众数的概念，结合统计图即可求解；
（3）根据样本估计总体．
【解答】解：（1）初一学生总数：20÷10%＝200（人）；

（2）根据中位数的概念，则中位数应是第100人的天数和101人的天数的平均数，即中位数是4（天），
根据众数的概念，则众数是人数最多的天数，即众数是4（天）；

（3）估计“活动时间不少于4天”的大约有（200﹣50）÷200×6000＝4500（人）．
【点评】读懂统计图，理解中位数和众数的概念，能够根据样本估计总体．
21．（10分）已知P是正方形ABCD内一点，△PBC是等边三角形，若△PAD的外接圆半径是a，求正方形ABCD的边长．

【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质；正方形的性质．
【分析】作△PAD的外接圆，先证明△ABP≌△DCP，得出∠APD＝150°和AP＝PD，由垂径定理得：E是AD的中点，OP⊥AD，所以∠AOE＝30°，则AE＝AO，从而得出正方形ABCD的边长为a．
【解答】解：如图，作△PAD的外接圆⊙O，连接OA、OP，交AD于E，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝CD，
∵△PBC是等边三角形，
∴BP＝CP＝BC＝AB＝CD，∠PBC＝∠PCB＝60°，
∴∠ABP＝∠PCD＝30°，
∴△ABP≌△DCP，
∴AP＝PD，∠APB＝∠CPD＝＝75°，
∴∠APD＝360°﹣75°﹣75°﹣60°＝150°，
在⊙O中，∵AP＝PC，
∴E是AD的中点，
∴OP⊥AD，
∴∠APO＝∠APD＝75，
∵OA＝OP，
∴∠AOE＝30°，
∴AE＝AO，
∵AO＝a，
∴AE＝a，
∴AD＝a，
∴正方形ABCD的边长为a．

【点评】本题考查了三角形的外接圆、等边三角形及正方形的性质，利用了等边三角形的三边相等，三个角都是60°，并与正方形的边长相等和四个角都是直角相结合，依次求出各角的度数；根据垂径定理构建出30°的直角三角形，从而得出外接圆半径与正方形边长的关系，最后得出结论．
22．（10分）（2021•未央区校级开学）如图，一艘轮船原计划从A地直接航行到B地，两地间的距离AB为200km．后来了解到在两地之间的某一海域有暗礁，为了避开暗礁，轮船从A地出发后，就沿与水平线成30°角的方向航行，到达C地后再沿与水平线成45°角的方向继续航行直到B地．请问轮船这样航行的路程比原计划的路程远了多少？（要求在结果化简后再代入参考数据运算，最终结果精确到1km；参考数据：≈1.73，≈1.41）．

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，由锐角三角函数的定义可得出AD＝，BD＝，由AD+BD＝AB可求出CD的值，再分别在Rt△ACD、Rt△BCD中利用勾股定理即可求出AC、BC的长，进而可得出结论．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，则AD＝，BD＝，
∵AD+BD＝AB，
∴（+1）CD＝200，
∴CD＝100（﹣1），
在Rt△ACD中，AC＝200（﹣1），
在Rt△BCD中，BC＝100（﹣1），
AC+BC＝200（﹣1）+100（﹣1）≈250（km），
250﹣200＝50（km），
答：轮船这样航行的路程比原计划的路程远了50km．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23．（10分）（2021秋•细河区期末）今年3月，德宏瑞丽受疫情影响，采取了“封城措施”封城期间，某公司安排大、小货车共20辆，分别从A、B两地运送320吨物资到德宏瑞丽，支援瑞丽抗击疫情，每辆大货车装25吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资，已知这两种货车的运费如表：
目的地
车型
A地（元/辆）
B地（元/辆）
大货车
900
1000
小货车
500
700
要安排上述装好物资的20辆货车中的12辆从A地出发，其余从B地出发．
（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？（设未知数避开x，y）
（2）设从A地出发的大货车有x辆（大货车不少于5辆）这20辆货车的总运费为y元，求总运费y的最小值．
【考点】二元一次方程组的应用；一次函数的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】（1）设大货车有a辆、小货车有b辆，由题意：某公司安排大、小货车共20辆，分别从A、B两地运送320吨物资到德宏瑞丽，每辆大货车装25吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资，列出方程组，求解即可；
（2）根据题意求出y与x的函数关系式，再根据从A地出发的大货车有x辆（大货车不少于5辆），大货车一共8辆，可以得到x的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到总运费y的最小值．
【解答】解：（1）设大货车有a辆、小货车有b辆，
由题意得：，
解得：，
答：大货车有8辆，小货车有12辆；
（2）设从A地出发的大货车有x辆，则从A地出发的小货车有（12﹣x）辆，
从B地出发的大货车有（8﹣x）辆，从B地出发的小货车有[12﹣（12﹣x）]＝x辆，
由题意得：y＝900x+500（12﹣x）+1000（8﹣x）+700x＝100x+14000，
∴y随x的增大而增大，
∵从A地出发的大货车有x辆（大货车不少于5辆），大货车一共8辆，
∴5≤x≤8，
∴当x＝5时，y有最小值，此时y＝100×5+14000＝14500，
答：总运费最小值为14500元．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是：（1）找出等量关系，列出方程组；（2）求出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答．
24．（10分）（2022•成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．

（1）b＝　﹣2　，c＝　3　；
（2）若点D为第四象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，求出DE+FG的最大值及此时点D的坐标；
（3）若点P是该抛物线对称轴上的一点，点Q为坐标平面内一点，那么在抛物线上且位于x轴上方是否存在点M，使四边形OMPQ为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，即可求解；
（2）延长DE交x轴于点K，延长GF交ED于点H，设D（t，t2﹣2t﹣3），则E（t，t﹣3），则DE＝﹣t2+3t，GF＝GH﹣FH＝t2﹣t，则GF+DE＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，GF+DE有最大值，此时D（，﹣）；
（3）设P（1，p），Q（x，y），M（m，m2﹣2m﹣3），过点P作GH∥x轴，过点Q作QG⊥GH交于G，过点M作MH⊥GH交于点H，证明△GPQ≌△HMP（AAS），由OP是正方形的对角线，可得p＝y+m2﹣2m﹣3①，分两种情况讨论：当M点在第一象限时，GQ＝p﹣y，PH＝m﹣1，则p﹣y＝m﹣1②，由①②可得m﹣1＝m2﹣2m﹣3，求出M（，）；当M点在第一象限时，GQ＝p﹣y，PH＝1﹣m，则p﹣y＝1﹣m③，由①③可得1﹣m＝m2﹣2m﹣3，可得M（，）．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
∴，
∴，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
故答案为：﹣2，3；
（2）延长DE交x轴于点K，延长GF交ED于点H，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
设D（t，t2﹣2t﹣3），则E（t，t﹣3），
∴DE＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t，
∵OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∴∠FEH＝∠EFH＝∠GFC＝∠GCF＝45°，
∵FH⊥ED，
∴FH＝EH＝DE＝（﹣t2+3t），
∴GF＝GH﹣FH＝t﹣（﹣t2+3t）＝t2﹣t，
∴GF+DE＝﹣t2+3t+t2﹣t＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，GF+DE有最大值，
此时D（，﹣）；
（3）存在点M，使四边形OMPQ为正方形，理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设P（1，p），Q（x，y），M（m，m2﹣2m﹣3），
过点P作GH∥x轴，过点Q作QG⊥GH交于G，过点M作MH⊥GH交于点H，
∵四边形OMPQ为正方形，
∴∠QPM＝90°，
∴∠GPQ+∠HPM＝90°，
∵∠GPQ+∠GQP＝90°，
∴∠HPM＝∠GQP，
∵QP＝PM，
∴△GPQ≌△HMP（AAS），
∴GP＝HM，GQ＝PH，
∵OP是正方形的对角线，
∴1＝m+x，p＝y+m2﹣2m﹣3①，
当M点在第一象限时，如图2，
∴GP＝1﹣x，HM＝p﹣（m2﹣2m﹣3），GQ＝p﹣y，PH＝m﹣1，
∴p﹣y＝m﹣1②，
由①②可得m﹣1＝m2﹣2m﹣3，
解得m＝，
∴M（，）；
当M点在第一象限时，如图3，
∴GP＝x﹣1，HM＝p﹣（m2﹣2m﹣3），GQ＝p﹣y，PH＝1﹣m，
∴p﹣y＝1﹣m③，
由①③可得1﹣m＝m2﹣2m﹣3，
解得m＝，
∴M（，）；
综上所述：M点的坐标为（，）或（，）．



【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，三角形全等的判定及性质，分类讨论是解题的关键．
25．（10分）（2022•四会市一模）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF；
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题；应用意识．
【分析】（1）先求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方程组，从而可求得b、c的值；
（2）设点E的坐标为（x，x+1），则点F的坐标为F（x，x2﹣2x﹣3），则可得到EF与x的函数关系式，利用配方法可求得EF的最大值以及点E的坐标，最后根据EF的最大值可得△ABF的面积；
（3）存在，设P（1，m），分三种情况：分别以A，B，P为直角顶点，根据勾股定理和两点的距离公式列方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），C（4，0），
∴AC＝5，OC＝4，
∵AC＝BC＝5，
∴B（4，5），
把A（﹣1，0）和B（4，5）代入二次函数y＝x2+bx+c中得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝x+1，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，

∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），
∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，EF的最大值为，
∴点E的坐标为（，），
∴S△ABF＝＝＝．
（3）存在，
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴设P（1，m），
分三种情况：
①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2＝PA2，
∴（4﹣1）2+（m﹣5）2+（4+1）2+52＝（1+1）2+m2，
解得：m＝8，
∴P（1，8）；
②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2＝PB2，
∴（1+1）2+m2+（4+1）2+52＝（4﹣1）2+（m﹣5）2，
解得：m＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；
③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+PA2＝BA2，
∴（1+1）2+m2+（4﹣1）2+（m﹣5）2＝（4+1）2+52，
解得：m＝6或﹣1，
∴P（1，6）或（1，﹣1）；
综上，点P的坐标为（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）．
【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，勾股定理，解一元二次方程，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法和分类讨论思想是解本题的关键．

考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
3．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
4．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
5．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
6．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
7．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
8．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
9．多项式
（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
10．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
11．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
12．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
13．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
14．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
15．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
16．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
17．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
18．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
19．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
20．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
21．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
22．正比例函数的图象
正比例函数的图象．
23．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
24．正比例函数的性质
正比例函数的性质．
25．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
26．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
27．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
28．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
29．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
30．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
31．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
32．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
33．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
34．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
35．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
36．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
37．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
38．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
39．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形

40．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
41．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
42．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
43．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
44．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
45．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
46．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
47．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
48．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．　　②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
49．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
50．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
51．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
52．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．