河南省南阳市新野县2021-2022学年七年级（下）期中数学试卷（含解析）

河南省南阳市新野县2021-2022学年七年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 方程解是

A.  B.  C.  D.

2. 若，下列不等式不一定成立的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列变形中：
   由方程去分母，得；
   由方程移项、合并得；
   由方程两边同乘以，得；
   由方程两边同除以，得；
   其中错误变形的有个．

A.  B.  C.  D.

4. 若和都是方程的解，则的值是

A.  B.  C.  D.

5. 用代入消元法解关于、的方程组时，代入正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元的是

A.  B.  C.  D.

7. 不等式组的解集在以下数轴表示中正确的是

A.  B.
C.  D.

8. 不等式的非负整数解的个数为

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9. 已知方程组，那么与的关系是

A.  B.  C.  D.

10. 在“科学与艺术”知识竞赛中共有道题，每答对一道题得分，答错或不答扣分，得分不少于分者，才能通过预选，欲通过预选至少应对道题．

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共5小题，共15分）

11. 已知方程的解为，则______．
12. 方程组的解是______．
13. 我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，“一百马，一百瓦，大马一拖三，小马三拖一，大马小马各几何？”大意是：匹马恰好拉了片瓦，已知匹大马拉片瓦，匹小马拉片瓦，问大马和小马各多少匹？
    若设大马有匹，小马有匹，那么可列方程组为______．
14. 已知关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是______．
15. 如果两个方程的解相差，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．
    例如：方程是方程的后移方程．
    判断方程是否为方程的后移方程______填“是”或“否”；
    若关于的方程是关于的方程的后移方程，的值为______．

三．解答题（本题共8小题，共75分）

16. 解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
17. 解方程组：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
    
    
    
    
    
    
     
19. 某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题：
    已知、满足，且，求的值．
    小璐同学说：先解关于、的方程组，再求的值．
    小明同学观察后说：方程组中含有字母，解方程组可能比较麻烦．但中不含母，请你用一利比较简单的方法，求出的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 列一元一次方程解应用题：
    用纸在某文印社复印，复印页数不超过时，每页收费元；复印页数超过时，超过部分每页收费降为元，在某图书馆复印同样的文件，无论复印多少页，每页收费元．若小华复印资料恰好花费了元，请问小华是在文印社还是在图书馆复印的？复印了多少页？
    
    
    
    
    
    
     
21. A、两地相距千米，甲从地出发步行到地，乙从地出发步行到地，两人同时出发，分钟后两人相遇，又经过分钟，甲所余路程为乙所余路程的倍．
    求甲、乙每小时各行多少千米？
    在他们出发后几分钟两人相距千米直接写出结果？
    
    
    
    
    
    
     
22. 某工厂为了扩大生产，决定购买台机器用于生产零件，现有甲、乙两种机器可供选择．其中甲型机器每日生产零件个，乙型机器每日生产零件个，经调査，购买台甲型机器和台乙型机器共需要万元，购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多万元
    求甲、乙两种机器每台各多少万元？
    如果工厂期买机器的预算资金不超过万元，那么你认为该工厂有哪几种购买方案？
    在的条件下，如果要求该工厂购进的台机器的日产量能力不能低于个，那么为了节约资金．应该选择哪种方案？
    
    
    
    
    
    
     

23.阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数、满足，，求和的值．
本题常规思路是将两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
已知二元一次方程组则______，______；
某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？
对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么______．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：移项，可得：，
系数化为，可得：．
故选：．
移项、系数化为，据此求出方程的解即可．
此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．
 

2.【答案】
 

【解析】解：，
，原变形正确，故此选项不符合题意；
B.，
，原变形正确，故此选项不符合题意；
C.，不妨设，，
，原变形正确，故此选项不符合题意；
D.，
，此时必须规定，原变形不一定正确，故此选项符合题意．
故选：．
根据不等式的性质，可得答案．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】
 

【解析】解：由方程去分母，得，不符合题意；
由方程移项、合并得，符号题意；
由方程两边同乘以，得，符号题意；
由方程两边同除以，得；
其中错误变形的有个：、、．
故选：．
根据等式的性质，逐项判断即可．
此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握等式的性质．
 

4.【答案】
 

【解析】解：把和代入方程得：
，
由解得：，
把代入得：，
解得：，
则．
故选：．
把与的值代入方程，得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，即可求出的值．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，
把代入得：．
故选：．
把第一个方程的代入第二个方程整理得到结果，即可作出判断．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
根据得出，即可判断；根据得出，即可判断；根据得出，即可判断；根据得出，即可判断．
【解答】
解：．，
，得，不能消元，故本选项不符合题意；
B.，
，得，能消元，故本选项符合题意；
C.，
，得，不能消元，故本选项不符合题意；
D.，
，得，不能消元，故本选项不符合题意；
故选：．  

7.【答案】
 

【解析】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
如图，在数轴上表示不等式、的解集，可知所求不等式组的解集是：．

故选：．
解两个一元一次不等式，再在数轴上画出两个不等式的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，解不等式组的关键是确定两个不等式解集的公共部分．
 

8.【答案】
 

【解析】解：，
，
为非负整数，
，，，
故选：．
先解不等式，然后根据的取值范围确定非负整数解．
本题考查一元一次不等式的整数解问题，解题关键是掌握解不等式的方法，注意非负整数包含．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，
得：，
整理得：．
故选：．
方程组消去，即可得到与的关系式．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

10.【答案】
 

【解析】解：设应答对道题，则答错或不答道题，
依题意得：，
解得：．
又为整数，
的最小值为，
即欲通过预选至少应对道题．
故选：．
设应答对道题，则答错或不答道题，利用得分答对题目数答错或不答题目数，结合得分不少于分，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：将代入方程，得：，
解得：，
故答案为：．
将代入方程可得，据此解之即可．
本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于的方程是解此题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
，可得，
解得，
把代入，可得：
解得，
原方程组的解是．
故答案为：．
应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

13.【答案】
 

【解析】解：设大马有匹，小马有匹，由题意得：
，
故答案是：．
设大马有匹，小马有匹，根据题意可得等量关系：大马数小马数；大马拉瓦数小马拉瓦数，根据等量关系列出方程组即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
 

14.【答案】
 

【解析】解：解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
关于的不等式组有且只有个整数解，
，
，
故答案为：．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键．
 

15.【答案】是 
 

【解析】解：方程，
解得：，
方程，
解得：，
，
方程是方程的后移方程；
故答案为：是；
方程，
解得：，
方程，
解得：，
根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
求出两个方程的解，利用“后移方程”的定义判断即可；
分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．
此题考查了一元一次方程的解，弄清题中“后移方程”的定义是解本题的关键．
 

16.【答案】解：去分母，可得：，
去括号，可得：，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
系数化为，可得：．
 

【解析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可．
此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．
 

17.【答案】解：，
得：，
，
代入得：，
．
则原方程组的解为．
 

【解析】先找出某个未知数系数的最小公倍数，然后用加减消元法求出方程组的解．
这类题目的解题关键是理解解方程组的基本思想是消元，掌握方程组解法中的加减消元法和代入消元法．
 

18.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：、满足，且，
，
解得：，
把代入得：，
解得：．
 

【解析】把和组成新的方程组，解方程组求出，的值，代入，即可求出的值．
本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：设小华复印了页，
文印社复印：
，
，
，
解得：，
图书馆复印：
，
解得：不合题意，舍去，
小华是在文印社复印的，复印了页．
 

【解析】设小华复印了页，根据题意分别列方程计算求解．
本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题关键．
 

21.【答案】解：设甲的速度是千米分钟，乙的速度是千米分钟，由题意得：
，
解得，
，
千米分钟千米小时，
千米分钟千米小时．
答：甲每小时行千米，乙每小时行千米；
相遇前：

分钟，
相遇前：

分钟．
故在他们出发后分钟或分钟两人相距千米．
 

【解析】这是行程问题中的相遇问题，三个基本量：路程、速度、时间．关系式为：路程速度时间．题中的两个等量关系是：分钟甲的速度分钟乙的速度千米，千米分钟甲的速度千米分钟乙的速度，依此列出方程求解即可，注意单位换算；
先求出两人一共行驶的路程，再除以速度和即可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，本题是行程问题中的相遇问题，解题关键是如何建立一元一次方程的模型．
 

22.【答案】解：设甲种机器每台万元，乙种机器每台万元．
由题意，
解得，
答：甲种机器每台万元，乙种机器每台万元．

设购买甲种机器台，乙种机器台．
由题意，
解得，
是整数，
或或，
有三种购买方案，
购买甲种机器台，乙种机器台，
购买甲种机器台，乙种机器台，
购买甲种机器台，乙种机器台，

费用万元，日产量能力个，
费用万元，日产量能力个，
费用为万元，日产量能力个，
综上所述，购买甲种机器台，乙种机器台满足条件．
 

【解析】设甲种机器每台万元，乙种机器每台万元，列出方程组即可解决问题．
设购买甲种机器台，乙种机器台，构建不等式解决问题．
分别求出各种方案的费用，日产量能力即可解决问题．
本题考查二元一次方程组、一元一次不等式的应用，解题的关键是正确构建方程组或不等式解决实际问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解  ；
设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，
依题意，得：，
由可得，
．
答：购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元．
．
 

【解析】解：．
由可得：，
由可得：．
故答案为：；．
见答案；
依题意，得：，
由可得：，
即．
故答案为：．
利用可得出的值，利用可得出的值；
设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元”，即可得出关于，，的三元一次方程组，由可得的值，再乘即可求出结论；
根据新运算的定义可得出关于，，的三元一次方程组，由可得出的值，即的值．
本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：运用“整体思想”求出，的值；找准等量关系，正确列出三元一次方程组．