辽宁省东北育才学校高中部2021-2022学年高三第六次模拟考试数学试题答案

这是一份辽宁省东北育才学校高中部2021-2022学年高三第六次模拟考试数学试题答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
东北育才学校高中部高三第六次模拟考试数学科答案答题时间：120分钟 满分：150分  命题人：高三数学组  校对人：高三数学组一、单选题1．已知全集，，，则（       ）A． B． C． D．【详解】解：因为，，，所以， ．故选：A2．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义．例如，，即复数的模的几何意义为在复平面内对应的点到原点的距离．在复平面内，若复数对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为（       ）A．3 B．4 C．5 D．6【详解】因为，所以，又因为曲线表示以为圆心，1为半径的圆，所以，故与之间的最小距离为.故选：B.3．某大学有两家餐厅，某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率是；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率是；则该同学第2天去餐厅用餐的概率是（       ）A． B． C． D．【详解】设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，由题意得：，，，由全概率公式，得：，因此，该同学第天去餐厅用餐的概率为.故选：B.4．如图，已知两个单位向量，，且它们的夹角为，点C在以O为圆心，1为半径的上运动，则·的最小值为（       ）A． B．0 C． D．－【详解】以为坐标原点建立如图坐标系，则由已知得.由点在以为圆心，1为半径的上运动可设，.∴，由知，，∴，因此当时，有最小值.故选：A.5.设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【详解】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B 6．已知圆C的半径为，其圆心C在直线上，圆C上的动点P到直线的距离的最大值为，则圆C的标准方程为（       ）A． B．C． D．【详解】∵直线，∴，令，得，∴直线恒过定点， ∵圆C上的动点P到直线的距离的最大值为，∴圆心C到直线的距离的最大值为，又圆心C在直线上，∴可设，当直线CA垂直直线时，圆心C到直线的距离的最大，∴，解得，故圆心，∴圆C的标准方程为.故选：A.7．已知实数､满足，有结论：①存在，，使得取到最大值；②存在，，使得取到最小值；正确的判断是（       ）A．①成立，②成立 B．①不成立，②不成立C．①成立，②不成立 D．①不成立，②成立【详解】解：因为，所以，①，，，当且时取等号，所以，解得，即取到最大值2；①正确；②，，当时，，当且仅当时取等号，此时不符合，不满足题意；当时，，当且仅当时取等号，此时此时取得最大值，没有最小值，②错误.故选：C.8．已知，，，则，，的大小关系是（       ）A． B．C． D．【详解】由题意，，，，构造函数，则，所以函数在上单调递减，所以，即.故选：C.二、多选题9．已知函数，设，则成立的一个充分条件是（     ）A． B．C． D．【详解】函数的定义域为R，则函数，所以函数是偶函数，当时，，，所以在上单调递增，所以在上单调递减.若，则，即.A：若，满足，但，故A错误；B：若，满足，但，故B错误；C：由可得，即，故C正确；D：由，故D正确.故选：CD10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，P为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（       ）A．双曲线的离心率为2B．若，且，则C．以线段，为直径的两个圆外切D．若点P在第二象限，则【详解】对于A，设，则，因为，，所以，由，得，故A正确.对于B，因为，所以，根据双曲线的定义可得，又因为，所以，整理得.由，可得，即，解得，故B错误，对于C，设的中点为，O为原点.因为为的中位线，所以，则可知以线段，为直径的两个圆外切，故C正确.对于D，设，则，.因为，所以，，则渐近线方程为，所以，.又，，所以，因为，所以，故D正确.故选：ACD11．若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数都满足和恒成立，则称直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，下列命题正确的是（       ）A．与有“隔离直线”B．和之间存在“隔离直线”，且的取值范围为C．和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是D．和之间存在唯一的“隔离直线”【详解】对于A，取直线，当时，，即成立，当时，令，，则在递减，在上递增，，，即成立，直线是与的“隔离直线”，A正确；对于B，C，令和的“隔离直线”为，则，，则，有，，有，当时，不等式成立，当时，的对称轴，而时，，则，即，显然满足此不等式，有，而，解得，同理，，B正确，C不正确；对于D，因，即和的图象有公共点，若和有隔离直线，则该直线必过点，设过点的直线方程为，即，由，，即恒成立，则，解得，即这条直线为，令，求导得：，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，，即，，和之间存在唯一的“隔离直线”，D正确.故选：ABD12．在圆锥中，是母线上靠近点的三等分点，，底面圆的半径为，圆锥的侧面积为，则（       ）A．当时，从点到点绕圆锥侧面一周的最小长度为B．当时，过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为C．当时，圆锥的外接球表面积为D．当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动【详解】圆锥的侧面积为，则.对于A选项，当时，，将圆锥的侧面沿着母线展开如下图所示：则圆锥的底面周长为，，在中，，，由余弦定理可得，A对；对于B选项，当时，，设圆锥轴截面等腰三角形的顶角为，则，则为钝角，在圆上任取两点、，则，，当且仅当时，等号成立，故顶点和两母线的截面三角形的最大面积为，B错；对于C选项，当时，，圆锥的高为，设圆锥的外接球的半径为，则，即，可得，故圆锥的外接球的表面积为，C对；对于D选项，当时，，圆锥的高为，设圆锥的内切球半径为，圆锥的轴截面面积为，圆锥的轴截面周长为，由等面积法可得，可得，将棱长为的正四面体可放在一个正方体内，使得该正四面体的四个顶点恰为正方体的四个顶点，如下图所示，则该正方体的棱长为，所以正四面体的外接球的半径为，因此，当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动，D对.故选：ACD.三、填空题13．若的展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是______.【详解】解：因为的展开式的各项系数和为32，令，得，所以，又，所以该展开式中的系数是．故答案为：514．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若，则）．【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差在的概率不小于0.9545，则且，，所以.故答案为：32.15．设抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过弦AB的中点M作E的准线的垂线，与抛物线E交于点P，若，则______．【详解】抛物线方程为，，抛物线焦点为，准线为，设，由知，直线的斜率存在且不为0，如图，设直线方程为，代入抛物线方程消去，得，，过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，设点的坐标为，可得，，，得，，得，，，解得，，，故答案为：1416．1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知中，其中，，P为费马点，则的取值范围是__________.【详解】如图，根据题意，设，，则，，在中，由余弦定理有…①在中，由正弦定理有，在中，由正弦定理有，故，则，由①，…②，且，设，则，由题意，，所以，而，由对勾函数的性质可知.由②，，易知函数在上单调递减，于是.故答案为：.四、解答题 17．如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C.(1)求小岛A到小岛C的距离；(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向.【详解】解：(1)在中，,，根据余弦定理得：.,,.所以小岛A到小岛 C的最短距离是海里.(2)解：(2)根据正弦定理得： 解得在中，为锐角.由得游船应该沿北偏东的方向航行答:小岛A到小岛 C的最短距离是海里;游船应该沿北偏东的方向航行.18．如图，直三棱柱中，，、、分别是、、的中点.(1)求证：；(2)若，求二面角的余弦值.【详解】(1)证明：连接，因为、分别为、的中点，则且，，且为的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，所以，，，为的中点，则，平面，平面，，，平面，平面，，故.(2)解：平面，平面，，则，，则，故，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，由（1）知，平面的一个法向量为，，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，，由图可知，二面角的平面角为锐角，因此，二面角的余弦值为.19．我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”．在此图中，从第三行开始，首尾两数为，其他各数均为它肩上两数之和．（1）把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列：，，，，，…，写出与的递推关系，并求出数列的通项公式；（2）已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，试求实数的取值范围．【详解】解：（1）由“杨辉三角”的定义可知：，时，所以有故（2）数列满足，①当时，，②得：，故：，满足上式，所以，数列满足：，则：，由于恒成立，故：，整理得：，因为在上单调递减，故当时，，所以．20．2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年.某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格： A区B区C区D区外来务工人数x/万3456就地过年人数y/万2.5344.5 (1)请用相关系数说明y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，并求关于的线性回归方程.(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴.（i）若该市E区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额；（ii）若A区的外来务工人员中甲､乙选择就地过年的概率分别为，，该市政府对甲､乙两人的补贴总金额的期望不超过1500元，求的取值范围.参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【详解】（1）由题，，，，，，所以相关系数，因为y与x之间的相关系数近似为0.99，说明y与x之间的线性相关程度非常强，所以可用线性回归模型拟合y与x之间的关系.，，故y关于x的线性回归方程为.(2)（i）将代入，得，故估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额为（万元）.（ii）设甲､乙两人中选择就地过年的人数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，，，.所以，所以，由，得，又，所以，故的取值范围为.21．已知函数，．（Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：．【详解】（I）由题可知，，在内单调递减， ∴在内恒成立， 即在内恒成立，令，则，∴当时，，即在内为增函数，当时，，即在内为减函数， ∴，即，，∴；（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，则在内有两根，，，两式相减，得，不妨设， 当时，恒成立，当时，要证明，只需证明，即证明，即证明，令，，令，，在上单调递减，，，即成立，.22．已知椭圆的离心率为，椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于两个相异点，证明：面积为定值.【详解】（1）解：因为的离心率为，所以，解得.①将点代入，整理得.②联立①②，得，，故椭圆的标准方程为.（2）证明：①当直线的斜率不存在时，点为或，由对称性不妨取，由（1）知椭圆的方程为，所以有.将代入椭圆的方程得，所以 .②当直线的斜率存在时，设其方程为，将代入椭圆的方程得，由题意得，整理得.将代入椭圆的方程，得.设，，则，，所以 .设，，，则可得，.因为，所以，解得（舍去），所以，从而，又因为点到直线的距离为，所以点到直线的距离为，所以 ，综上，的面积为定值.