2022届陕西省西安中学高三下学期五模数学（文）试题含解析

这是一份2022届陕西省西安中学高三下学期五模数学（文）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届陕西省西安中学高三下学期五模数学（文）试题一、单选题1．已知集合，则的元素个数为（       ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据对数函数的单调性解得集合，再求即可得到其元素个数.【详解】因为，，即，故，解得，即，则，其包含3个元素.故选：A.2．在空间中，已知命题的三个顶点到平面的距离相等且不为零，命题：平面平面，则是的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由线面平行的性质结合平面与平面的位置关系判断即可.【详解】当平面平面时，的三个顶点到平面的距离相等且不为零；当的三个顶点到平面的距离相等且不为零时，平面可能与平面相交，例如当平面且的中点在平面内时，的三个顶点到平面的距离相等且不为零，但平面与平面相交.即是的必要不充分条件故选：B3．西安中学抗疫志愿者小分队中有3名男同学，2名女同学，现随机选派2名同学前往社区参加志愿服务活动，在已知抽取的1名志愿者是女同学的情况下，2名都是女同学的概率是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用条件概率求解.【详解】解：从3名男同学和2名女同学，随机选派2名共有种方法，含有1名志愿者是女同学有种方法，所以含有1名志愿者是女同学的概率是，2名志愿者都是女同学有种方法，所以2名志愿者都是女同学的概率是，所以在抽取的1名志愿者是女同学的情况下，2名都是女同学的概率是，故选：C4．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染1个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长.当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散.接种新冠疫苗是预防新冠病毒感染､降低新冠肺炎发病率和重症率的有效手段.已知新冠病毒的基本传染数，若1个感染者在每个传染期会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者新的传染人数为，为了有效控制新冠疫情（使1个感染者传染人数不超过1），我国疫苗的接种率至少为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件建立不等式关系，然后将代入化简即可求出的范围【详解】为了使1个感染者传染人数不超过1，只需，即，所以，由题意得，所以，，得，所以疫苗的接种率至少为，故选：A5．设满足约束条件，则的最大值是（       ）A．0 B．4 C．8 D．10【答案】B【分析】作出可行域，利用数形结合求出最大值.【详解】作出可行域如图所示：把转化为直线，平移直线经过时，纵截距最大，所以最大.故选：B6．当时，取得最大值，则（       ）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】利用三角恒等变换化简，求得其取得最大值时的取值情况，再其正切值即可.【详解】因为，故当取得最大值时，若，则，则.故选：D.7．在直角三角形中，，点是线段上的动点，且，则的最小值为（       ）A．12 B．8 C． D．6【答案】B【分析】在直角三角形中，易得，作于点，如图，以为原点建立平面直角坐标系，不妨设点在点的左侧，设，则，，根据数量积的坐标表示结合二次函数的性质即可得解.【详解】解：直角三角形中，，所以，所以，作于点，则，如图，以为原点建立平面直角坐标系，不妨设点在点的左侧，设，则，，，则，所以，当且仅当时，的最小值8.故选：B.8．英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：，其中，则的近似值为（精确到）（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】应用题设泰勒展开式可得 , 随着的增大，数列递减且靠后各项无限接近于，即可估计的近似值.【详解】计算前四项，在千分位上四舍五入由题意知: 故选：C9．的内角所对的边分别为.已知，则的面积的最大值（       ）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】利用余弦定理求出和，利用面积公式和基本不等式求出的面积的最大值.【详解】在中，由余弦定理，可化为.因为,所以.由余弦定理，可化为：，解得：（a=0舍去）.因为，所以，即（当且仅当时取等号）.所以的面积.故选：B10．第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象､新梦想.会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿.中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦､赛场､冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正､坦诚的运动员精神在比赛场上相见.其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O1，O2，O3，O4，O5，若双曲线C以O1，O3为焦点､以直线O2O4为一条渐近线，则C的离心率为（       ）A． B． C． D．2【答案】A【分析】建立直角坐标系，结合图形可得渐近线斜率，再根据公式可得.【详解】如图建立直角坐标系，过向x轴引垂线，垂足为A，易知，故选：A11．已知函数的部分图像如图所示，现将的图像向左平移个单位长度得到的图像，则方程在上实数解的个数为（       ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，由特殊点坐标求出，可得函数的解析式．再根据函数的图象变换规律求出的解析式，再根据余弦函数的性质解得即可．【详解】解：根据函数，，，的部分图象，可得，．所以， 结合五点法作图，，，因为，，故．再把点代入，可得，即，，所以．现将的图象向左平移个单位长度，得到函数，因为，即，所以或，解得或，因为，所以或或或或或，故方程在上实数解的个数为个；故选：B12．已知函数，若不等式恒成立，则a的最大值为（       ）A．1 B． C．2 D．e【答案】A【分析】先判断出.利用同构，把转化为（），利用导数判断单调性，求出最小值，即可得到a的最大值.【详解】要使不等式恒成立，只需.函数的定义域为.因为，所以令，则.对于，，所以在上单调递增，当时，；当时，.所以.对于（）. .令，解得：；令，解得：.所以在上单调递增，在上单调递减.所以 ，即.所以=1.故选：A【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围. 二、填空题13．抛物线的准线方程是___________________.【答案】【分析】将化成抛物线的标准方程，利用抛物线的性质求解即可．【详解】由得：，所以，即：所以抛物线的准线方程为：．【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题．14．甲､乙､丙､丁四人对复数的陈述如下（为虚数单位）：甲：；乙：；丙：，在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则___________.【答案】【分析】设，根据复数的运算结合逻辑推理得出答案.【详解】设，则对于甲：，；对于乙：对于丙：；对于丁：，则.甲乙丙中任意两个都可推出第三个正确，甲与丁矛盾，丙与丁矛盾，因为四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，所以乙和丁的陈述正确，即，故故答案为：15．已知函数为R上的偶函数，则实数___________.【答案】1【分析】由偶函数的性质求解【详解】由偶函数得，即对恒成立整理得，故故答案为：116．正四面体的外接球与内切球的半径之比为___________.【答案】或3【分析】由正四面体的性质，利用外接球半径与体高、底面外接圆半径的关系求，应用等体积法求内切球半径为，即可得答案.【详解】令正四面体的棱长为3，内切球半径为，外接球半径为，所以体高，底面外接圆半径为，则，可得，而，又，故，所以.故答案为： 三、解答题17．随着2022年北京冬奥会的成功举办，吉祥物“冰墩墩”成为现象级“顶流”，憨态可掬的大熊猫套着冰晶外壳，“萌杀”万千网友.奥林匹克官方旗舰店“冰墩墩”一再售罄，各冬奥官方特许商店外排起长队，“一墩难求”，成了冬奥赛场外的另一场冰雪浪漫和全民狂欢.某商家将6款基础款的冰墩墩，随机选取3个放在一起组成一个盲盒进行售卖.该店2021年1月到11月盲盒的月销售量如下表所示：月份数x1234567891011月销售量y/万个2.63.95.77.37.79.91113.81516.117(1)求出月销售量y（万个）与月份数x的回归方程，并顶测12月份的销量；(2)小明同学想通过购买盲盒集齐6款基础款冰墩墩，为此他购买了2个盲盒，求小明至少集齐5款基础款冰墩墩的概率.参考公式及数据：回归直线的方程是，则..【答案】(1)万个(2)【分析】（1）根据公式求出和可得月销售量y（万个）与月份数x的回归方程，根据此方程可求出12月份的销量；（2）利用古典概型的概率公式可求出结果.【详解】(1)（1）,,，，所以，所以月销售量y（万个）与月份数x的回归方程为.当时，万个.故12月份的销量为万个.(2)第一个盲盒中有种，第二个盲盒中有种，所以两个盲盒中共有种，两个盲盒中恰好集齐5款的有种，恰好集齐6款的有种，所以两个盲盒中至少集齐5款的有种，所以小明至少集齐5款基础款冰墩墩的概率为.18．已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且成等比数列，数列满足.(1)求数列的前项和；(2)若，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由条件解出的通项公式，得出后求和（2）由错位相减法求后证明【详解】(1)设数列公差为，由题意，又，解得故，，是首项为，公比为的等比数列(2)两式相减得故，得证19．如图1，在梯形中，于E，且，将梯形沿折叠成如图2所示的几何体，,为的中点.(1)证明：平面；(2)《九章算术》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”，若图1中且，判断三棱锥是否为“鳖臑”，并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)是，理由见解析【分析】（1）取的中点，连，，通过证明四边形为平行四边形得到，再根据直线与平面平行的判定定理可证结论；（2）先求出，然后通过计算可知三棱锥的四个面均为直角三角形，从而可得答案.【详解】(1)取的中点，连，，如图：因为为的中点，所以且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.(2)三棱锥为“鳖臑”，理由如下：若图1中且，则，则，即，结合图形可得，所以，所以，在图②中，在三角形中，，所以，所以，即三角形为直角三角形，由题意可知，即三角形为直角三角形，所以，由题意知，，即三角形为直角三角形，所以，所以，所以，即三角形为直角三角形，根据题意可知，三棱锥为“鳖臑”.20．已知函数.（1）讨论函数的单调性与极值；（2）证明：当且时，不等式恒成立.【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.【分析】(1)由题知,对求导后,根据的正负,分别讨论的单调性与极值即可;(2)设,对求导,根据的正负研究的单调性,从而得出其最值,证明出,即可证明题设不等式.【详解】(1),,则,①当时,,故在上单调递增,无极值;②当时,令,令,故在上单调递增,在上单调递减,因此有极小值,无极大值.(2)当时,设,则,,设,则,因此在上单调递增,即在上单调递增,所以,所以在上单调递增,所以,即且时,不等式恒成立.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值,考查了不等式恒成立问题的证明,属于中档题.解决含参函数单调性问题时,常用分类讨论法;遇见恒成立问题时,常将问题转化为函数最值问题求解.21．在平面直角坐标系中，用表示直线与直线的斜率之积，已知，，记点的轨迹为.(1)求轨迹的方程；(2)为轨迹上的两点，，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由斜率公式结合得出轨迹的方程；（2）设直线的方程为：，并与轨迹的方程联立，利用韦达定理得出，进而得出直线恒过，再由三角形面积公式结合基本不等式得出面积的最大值.【详解】(1)，，设，整理得，故轨迹的方程为(2)设，因为，所以直线的斜率不为设直线的方程为：联立可得：，联立可得令可得：所以，解得或（舍）故直线恒过，此时，的面积当且仅当，即时取等号，故的面积的最大值为【点睛】关键点睛：解决问题二时，关键是联立直线和轨迹的方程，结合韦达定理以及斜率公式得出，进而得出直线恒过.22．已知直线的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数）.(1)若在极坐标系中，点P的极坐标为，判断点P与直线的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线的距离的最小值与最大值.【答案】(1)点P不在直线上；(2)最小值为，最大值为.【分析】（1）先把直线和点P转化为直角坐标方程，直接代入即可判断；（2）由，利用点到直线的距离公式和三角函数求最值.【详解】(1)因为直线的参数方程为（t为参数），所以消去t得：.因为点P的极坐标为，所以点P的直角坐标为，代入直线，不成立，所以点P不在直线上.(2)因为点Q是曲线C上的一个动点，所以.所以点Q到直线的距离为.所以当时，最大；当时，最小.所以点Q到直线的距离的最小值为，最大值为.23．已知函数，，且的解集为.（1）求的值；（2）若都为正数，且，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】(1)由题设条件得出，解得，根据的解集求出的值；(2)将1代换为，利用基本不等式证明不等式即可.【详解】（1）由得得，因为的解集为，所以.（2）由（1）得，∴.当且仅当时，等号成立.所以成立.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式证明不等式，注意“1”的代换，属于中档题.