2022届陕西省西安中学高三下学期三模数学（文）试题含解析

这是一份2022届陕西省西安中学高三下学期三模数学（文）试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届陕西省西安中学高三下学期三模数学（文）试题一、单选题1．命题“”的否定是（　　）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用全称命题的否定方法求解，改变量词，否定结论.【详解】因为的否定为，所以选A.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，一般处理策略是：先改变量词，然后否定结论.2．已知集合，若，则实数a的取值所组成的集合是（       ）A． B． C．0， D．0，【答案】D【分析】等价于，分、两种情况讨论，从而可得答案.【详解】.当时，为空集，满足条件.当时，或，解得或.综上可得，实数a的取值所组成的集合是2，.故选：D.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，空集的定义，以及并集与子集的定义，属于基础题.3．若，都是实数，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可得正确选项.【详解】若，则，可得，所以，可得，故充分性成立，取，，满足，但，无意义得不出，故必要性不成立，所以是的充分不必要条件，故选：A.4．年举办北京冬奥会促进我国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长.下面是年至年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中不正确的是（       ）A．年至年，中国雪场滑雪人次逐年增加B．年至年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加C．年与年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等D．年与年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为【答案】C【分析】根据统计图，结合数据逐一判断即可.【详解】A：由统计图可知中：年至年，中国雪场滑雪人次逐年增加，所以本选项结论正确；B：由统计图可知：年至年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加，所以本选项结论正确；C：年与年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，年同比增长人数为：，年同比增长人数为：，显然不相等，所以本选项结论不正确；D：年与年相比，中国雪场滑雪人次增长率为，所以本选项结论正确，故选：C5．已知函数，则是（       ）A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数【答案】D【分析】利用诱导公式将函数的解析式化简，即可求出该函数的周期，并判断出该函数的奇偶性.【详解】，因此，函数是周期为的偶函数.故选：D.【点睛】本题考查三角函数周期和奇偶性的判断，解题的关键就是利用诱导公式将三角函数解析式化简，考查计算能力，属于基础题.6．已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】代入已知点得到相应的参数值，根据抛物线的焦半径公式得到.【详解】由，得，由得，由抛物线的性质，，故选：A.7．数列，满足，，，则的前10项之和为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】求出的通项，利用裂项相消法可求前10项之和.【详解】因为，，故，故的前10项之和为，故选：D.8．天气预报显示，在今后的三天中，每一天下雨的概率为40%，现用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0--9之间整数值的随机数，并制定用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数907   966   191   925   271   932   812   458   569   683431   257   393   027   556   488   730   113   537   989则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（　　）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：阅读随机数表可知，满足题意的数据为： ,据此可知：这三天中恰有两天下雨的概率近似为 .本题选择B选项.9．在等比数列中，，是方程的二根，则的值为（       ）A． B． C． D．或【答案】B【分析】利用等比数列的性质、韦达定理列方程组求解．【详解】解：在等比数列中，，是方程的二根，则，，则．故选：B．10．如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，E，F，G分别为棱的中点，则下列各选项正确的是（       ）A．直线与平面平行，直线与平面相交B．直线与平面相交，直线与平面平行C．直线、都与平面平行D．直线、都与平面相交【答案】A【分析】取的中点H，证明，平面即得证，再证明直线与平面相交即得解.【详解】解：取的中点H，则从而四边形为平行四边形，所以．易知，则四边形为平行四边形，从而平面．又平面，所以平面．易知，则四边形为平行四边形，从而与相交，所以直线与平面相交.故选：A．11．我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中，）.如图所示，设点、、是相应椭圆的焦点，、和、是“果圆”与轴和轴的交点，若是边长为1的等边三角形，则，的值分别为（    ）A．，1 B．，1 C．5，3 D．5，4【答案】A【详解】由题意知，，，∴.又，∴，.∴，.故选：A.12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，且满足当时，，若对任意，成立，则的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函数的奇偶性和题设条件，求得，再根据，画出函数图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数是定义在上的奇函数，当时，，当时，，即，又由当时，，可画出函数图象，如图所示.由图知，当时，；则当时，；当时，令，解得(舍去)，若对任意，成立，所以的最大值为.故选：B. 二、填空题13．已知向量．若，则________．【答案】.【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值【详解】,，解得,故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.14．已知，且，则___.【答案】【分析】根据同角的三角函数关系式，结合二倍角的正弦公式进行求解即可【详解】因为，所以，因此有：，把代入，得，故答案为：15．在棱长为的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面四边形内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的取值范围是_______.【答案】【分析】分别取棱的中点，连接，则可证得平面∥平面，由题意可得点必在线段上，由此可判断点在或处时，最长，位于线段的中点时最短，通过解直角三角形即可求得结果【详解】如下图所示，分别取棱的中点，连接，，因为为分别为，，的中点，所以∥，∥，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，因为∥，，所以四边形为平行四边形，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，因为，所以平面∥平面，因为是侧面四边形内一点，且平面，所以点必在线段上，在中，，同理在中，求得,所以为等腰三角形，当点在的中点时，,此时最短，点在或处时，最长，因为,，因为是侧面四边形内（不含边界）一点，所以线段长度的取值范围是，故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查面面平行，线面平行的判断，考查立体几何中的动点问题，解题的关键是通过证明面面平行，找出点必在线段上，从而可求出的最大值和最小值，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题16．若函数与函数的图象有公切线，则实数的取值范围是________.【答案】【分析】设出两个切点，分别表示出切线，利用两切线方程对应系数相等，解出，构造新函数，求导确定的值域，即是的取值范围.【详解】设公切线与函数切于，与函数切与，则公切线斜率，故切线方程为，即，也可以表示为，即，可得，，，令，则，，令，则，则在上单调递增，当时，，时，，故.故答案为：.【点睛】本题关键点在于利用两个函数的切线相同建立关系，解出关于的关系式，换元后构造函数进行求解，对于公切线问题是通法，注意积累掌握.三、解答题17．在中，角，，所对的边分别是，，，且. （1）若，求角的大小；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）先利用正弦定理求出可得，载代入已知条件可得，即可求解；（2）由（1）知，结合已知条件由余弦定理可得的值，再利用三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）在中，因为，由正弦定理可得：，因为，，可得，又，所以，由，可得，即，解得：或，又，得，所以（2）由（1）知，，又，，根据余弦定理得，，可得，即，解得：，，当时，；当时，；所以的面积为或．18．某市从2019年参加高三学业水平考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组，…，后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题:（1）求分数在内的频数;（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如:组区间的中点值为)，作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分;（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取人，求至少有人在分数段内的概率.【答案】（1）24；（2）121；（3）.【分析】（1）根据频率和为得分数在内的频率，进而即可对于的频数；（2）利用频率分布直方图求解平均数即可；（3）结合已知数据，由分层抽样得分数段内抽取人，分数段内抽取人，再根据古典概型公式并结合对立事件的概率计算求解即可.【详解】解: 分数在内的频率为故频数为估计平均分为由题意，分数段的人数为(人).分数段的人数为(人).用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，所以需在分数段内抽取人，分别记为﹔在分数段内抽取人，分别记为;设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件，则样本空间共包含个样本点事件:“从样本中任取人，人都不在在分数段内”，只有个样本点，所以19．如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面平面；（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．【答案】(1)见解析.(2)1.【详解】分析：(1)首先根据题的条件，可以得到=90，即，再结合已知条件BA⊥AD，利用线面垂直的判定定理证得AB⊥平面ACD，又因为AB平面ABC，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD⊥平面ABC；(2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积.详解：（1）由已知可得，=90°，．又BA⊥AD，且，所以AB⊥平面ACD．又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=．又，所以．作QE⊥AC，垂足为E，则 ．由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．因此，三棱锥的体积为．点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可.20．已知点在圆上，，，线段的垂直平分线与相交于点.（1）求动点的轨迹方程;（2）若过点的直线斜率存在，且直线与动点的轨迹相交于，两点.证明：直线与的斜率之积为定值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由圆的方程可得：圆心，半径，，，由椭圆的定义即可求解；（2）设，，，联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系计算，，再计算即可求解.【详解】（1）由得，圆心，半径，点在线段的垂直平分线上，，，由椭圆的定义可得动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆．从而，故所求动点的轨迹方程为．（2）设，，由消去得，显然．，可设直线与的斜率分别为则即直线与的斜率之积为定值．【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程；（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数即可求出所求轨迹的方程.21．【2018年新课标I卷文】已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．【答案】(1) a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.【详解】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a=，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；(2)结合指数函数的值域，可以确定当a≥时，f（x）≥，之后构造新函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，从而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.详解：（1）f（x）的定义域为，f ′（x）=aex–．由题设知，f ′（2）=0，所以a=．从而f（x）=，f ′（x）=．当0<x<2时，f ′（x）<0；当x>2时，f ′（x）>0．所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a≥时，f（x）≥．设g（x）=，则 当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．因此，当时，．点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.22．平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程与的直角坐标方程;（2）求上的动点到距离的取值范围.【答案】（1）的普通方程为．的直角坐标方程为；（2）．【解析】（1）把参数方程化为普通方程，由化极坐标方程为直角坐标方程；（2）设上的动点为，求出点到直线的距离，利用三角函数知识可得取值范围．【详解】（1）∵直线的参数方程为（为参数），∴消去参数，得的普通方程为．∵曲线的极坐标方程为，，的直角坐标方程为，即．（2）曲线的参数方程为（为参数），设上的动点为，则上的动点到距离．∵，则上的动点到距离的最大值是，最小值是，∴上的动点到距离的取值范围是．【点睛】方法点睛：本题参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，涉及到椭圆上的点到定直线的距离的最值问题时可用椭圆的参数方程，设出点的坐标（对可设），由点到直线的距离公式把问题转化为三角函数的最值．23．已知函数f(x)=2|x-1|+|x+2|.（1）求不等式f(x)≥6的解集;（2）若对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）．（2）．【解析】（1）根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号后可解不等式；（2）分类讨论去绝对值符号后求得函数的最小值，然后解关于的不等式，注意按分母的正负分类求解．【详解】（1）由不等式可得：，可化为：或或解得：或，所以原不等式的解集为．（2）因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．要对任意恒成立，只需，即：，所以或，解得：或，所以，实数的取值范围为．【点睛】方法点睛：本题考查解含绝对值的不等式，绝对值不等式恒成立问题．解含绝对值的不等式的常用方法是利用绝对值的定义分类讨论去绝对值符号，然后解不等式．而不等式恒成立，在解关于参数的不等式时注意分式不等式的分类讨论求解．