2021-2022学年山东省烟台市烟台第二中学高二下学期4月月考数学试题含解析

这是一份2021-2022学年山东省烟台市烟台第二中学高二下学期4月月考数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年山东省烟台市烟台第二中学高二下学期4月月考数学试题
一、单选题
1．的展开式中的常数项为（　　）
A．240 B．﹣240 C．480 D．﹣480
【答案】A
【分析】求出通项公式，运用指数幂的运算性质，令指数为0，解方程可得，即可得到所求常数项．
【详解】解：的通项公式为
，
令，可得，
则展开式的常数项为．
故选：．
【点睛】本题考查二项式定理的运用，主要是通项公式的运用和指数幂的运算性质，考查运算能力，属于基础题．
2．已知随机变量服从正态分布N（10，0.2），且P（>3a-2）=P（<2a+7），则a=（       ）
A．－1 B．0 C．1 D．3
【答案】D
【分析】根据随机变量服从正态分布N（10，0.2），且P（>3a-2）=P（<2a+7），利用其对称性求解.
【详解】因为随机变量服从正态分布N（10，0.2），且P（>3a-2）=P（<2a+7），
所以，
解得，
故选：D
【点睛】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.
3．下列说法中正确的是（       ）
①设随机变量X服从二项分布，则
②已知随机变量X服从正态分布且，则
③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；
④；.
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①③
【答案】A
【解析】根据题意条件，利用二项分布、正态分布、条件概率、期望与方程的定义与性质等对每一项进行逐项分析.
【详解】解：命题①：设随机变量X服从二项分布，
则，正确；
命题②：∵服从正态分布，
∴正态曲线的对称轴是，
，
，正确；
命题③：设事件“4个人去的景点不相同”，
事件“小赵独自去一个景点”，
则，
所以，正确；
命题④：正确，错误，应该为，故不正确.
故选：A
【点睛】本题考查了二项分布、正态分布、条件概率、期望与方程的定义与性质等；若命题正确，则应能给出证明；若错误，则应能给出反例.
4．为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种.该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有（       ）
A．2940种 B．3000种 C．3600种 D．5880种
【答案】A
【分析】分组分配问题需要考虑重复；依题意要先分类，因为8个人分成3组人数上有不同的分法，再分配.
【详解】根据题意，这8名志愿者人数分配方案共有两类：第一类是2，2，4，第二类是3，3，2，
故不同的安排方法共有 种；
故选：A.
5．已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则下列方差值中最大的是（       ）

－1
0
2
P
a

b

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意根据分布列的性质及期望公式求出、，即可求出，再根据方差的性质得到，再求出分布列，即可求出与；
【详解】解：依题意，解得，
所以的分布列为：

－1
0
2
P




则，则；
所以的分布列为：


0
2
P




则，，所以；
故选：D
6．中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（   ）
A．408种 B．240种 C．1092种. D．120种
【答案】A
【分析】根据给定条件先求出“射”不在第一次的“六艺”讲座不同的次序数，去掉“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的“六艺”讲座不同的次序数即可得解.
【详解】每周安排一次，共讲六次的“六艺”讲座活动，“射”不在第一次的不同次序数为，
其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为，
于是得，
所以“六艺”讲座不同的次序共有408种.
故选：A
【点睛】思路点睛：含有两个限制条件的排列问题，利用排除法，先让一个条件被满足，再去掉这个条件满足时另一个条件不满足的所有可能即可解决问题.
7．某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花.现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有（ ）

A．400种 B．396种 C．380种 D．324种
【答案】B
【分析】分两步进行，圆环的3个区域和中间的6个区域，其中中间的6个区域种植鲜花可分为3类.
【详解】圆环的3个区域种植绿色植物共有种.如图.中间的6个区域种植鲜花可分为3类：

第一类，均种相同植物，有种；
第二类，种2种不同植物，有种；
第三类，种的植物各不相同，有种.
故由乘法原理和加法原理得到不同的栽种方案共有种.
故选：B
8．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（       ）
A．增加，增加 B．增加，减小
C．减小，增加 D．减小，减小
【答案】C
【解析】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性.
【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，.
故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为.
故，
随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小；
，随着的增大，增大.
故选：C.
【点睛】本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题.

二、多选题
9．下列说法正确的是（   ）
A．，若，则
B．相关系数的绝对值越接近1，说明两个变量的线性相关性越强
C．若，则
D．在独立性检验中，统计变量越大，说明两个变量的关系就越弱
【答案】ABC
【分析】依据方差的运算规则求得判断选项A；依据相关系数的绝对值的意义判断选项B；求得n的值判断选项C；依据统计变量的意义判断选项D.
【详解】选项A：，则，若，则.判断正确；
选项B：相关系数的绝对值越接近1，说明两个变量的线性相关性越强. 判断正确；
选项C：由，可得，解之得.判断正确；
选项D：在独立性检验中，统计变量越大，说明认为两个变量有关系的把握越大，无法判断关系的强弱. 判断错误.
故选：ABC
10．能被7整除，则整数a的值可以是（　　）
A． B．6 C．11 D．13
【答案】ABD
【分析】，然后利用二项式定理展开可得答案.
【详解】，又能被7整除，
从而得能被7整除，则整数a的值可以是，6或13.
故选：ABD
11．甲罐中有5个红球，2个白球，3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一个球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（   ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据条件概率、全概率计算公式等知识计算出正确答案.
【详解】，
，A选项正确，
，B选项正确，
，C选项错误，
，D选项正确.
故选：ABD
12．下列结论正确的是（       ）
A．
B．多项式展开式中的系数为52
C．若，则
D．
【答案】ACD
【分析】对于A利用二项式定理可证明，对于B分4种情况分别求的系数后可得知答案，对于C，运用赋值法可求解，对于D，分成两类组合式可证明.
【详解】对于A，

，故A正确；
对于B，的展开式的通项为，要求的系数，，
当时，有，其中的系数为；
当时，有，不存在；
当时，有，其中的系数为；
当时，有，不存在.
故多项式展开式中的系数为，故B不正确；
对于C，的展开式的通项为，可知，，
所以，
所以令，有，
因此.
故C正确；
对于D，
，故D正确.
故选：ACD

三、填空题
13．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为，则的值为________.
(参考数据：若，则； ；.)
【答案】0.9772
【分析】由X是服从正态分布知μ=800，σ=50，故，结合正态分布的对称性可知，根据即可求解.
【详解】由于随机变量X服从正态分布，故有μ=800，σ=50，
则.
由正态分布的对称性，
可得.
【点睛】本题主要考查了正态分布，利用正态曲线的对称性解题，属于中档题.
14．设随机变量，若，则p的值为______.
【答案】0.5
【分析】由二项分布的概率公式求，再根据列方程求参数p.
【详解】∵，
∴，
∴，解得.
故答案为：.
15．北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行创作，意喻敦厚、健康、活泼、可爱；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计，表达了世界文明交流互鉴，和谐发展理念．两者一经发布，深受大家喜爱．某校为了加强学生对体育的热情，委派小刘、小陈、小赵、小孙、小王、小航人将这两个吉祥物组装安放至操场，每个吉祥物组装安放至少需要两人，每人都必须前往组装安放，但小陈和小王不能组装安放同一个吉祥物，则不同的方案共有________种．
【答案】28
【分析】先分类成两种情况：四人一组和两人一组以及三人一组和三人一组，然后根据计数原理求解即可．
【详解】由题意可以分为两种情况：第一种：四人一组和两人一组，共有；
第二种：三人一组和三人一组，共有；
所以不同的方案一共有：．
故答案为：28
16．游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为，停在不同区域的概率为，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿色区域的次数为，若开始时指针停在红色区域，则______.
【答案】
【解析】依题意画出数形图，即可求出的分布列，即可求出数学期望；
【详解】解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下：

则的分布列如下：

0
1
2
3






故.
故答案为：
【点睛】本题考查概率的计算，随机变量的分布列和数学期望，解答的关键是画出树形图.

四、解答题
17．在的展开式中，求：
(1)展示式中的第3项；
(2)展开式中二项式系数最大的项．
【答案】(1)
(2)和
【分析】（1）结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.
（2）结合二项式系数的知识求得正确答案.
【详解】(1)的展开式的第项为.
(2)对于二项式，由于，
所以第项和第项的二项式系数最大，
其中第项为，
第项为 .
18．有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英，日语都精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单共可开出几张？
【答案】185
【分析】分三类情况讨论，两名英，日语都精通的人员都不选或只选1人或两人都选.
【详解】设两名英，日语都精通的人员为甲，乙，则根据题意可分为三类，
第一类：两名英，日语都精通的人员都不选，则有种；
第二类：两名英，日语都精通的人员只选1人，比如选甲，如果让甲去翻译英语，则有种，如果让甲去翻译日语，则有种，所以总共有种；
第三类：两名英，日语都精通的人员都选，如果两人都去翻译英语，则有种，如果两人都去翻译日语，则有种，如果两人一个翻译英语，一个翻译日语，则有种，所以总共有种，
综上，这样的8人名单共可开出张.
19．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回.为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生.如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）.


关注
没关注
合计
男



女



合计




(1)完成上面的2×2列联表，依据小概率值α=0.005的独立性检验，分析对‘嫦娥五号’关注程度是否与性别有关”？
(2)若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人.记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量，求的分布列及数学期望.
附：，其中.

0.150
0.100
0.050
0.010
0.005

2.072
2.706
3.841
6.635
7.879

【答案】(1)表格见解析，有关
(2)分布列见解析，
【分析】（1）依据题给条件填充列联表，并计算后作出判断；
（2）依据二项分布得到的分布列并计算的数学期望.
【详解】(1)列联表如下：

关注
没关注
合计
男
30
30
60
女
12
28
40
合计
42
58
100

所以所以有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”.
(2)因为随机选一个高三的女生，对此事关注的概率为，
由题意可知随机变量满足二项分布，即，所以有
所以随机变量的分布列为：

0
1
2
3






故.
20．自2018年元月2日开始，中国中东部大部地区出现今年首次大范围雨雪天气，雨雪天气对民众的生活有显著影响.我国科学工作者研究了山东冬季短时间内积雪深度（单位：）和降雪量（单位：）的关系为，当降雪量为5时，积雪深度为3.9.
下表为山东甲地未来24小时内降雪量及其概率：
24小时内降雪量(单位:)






概率
0.20
0.40
0.20
0.1
0.05
0.05

根据以往的经验，甲地某工程施工期间的积雪深度（单位：）对工期的影响如下表：
积雪深度()




工期延误天数
0
2
6
10

（1）已知24小时内降雪量大于10的降雪过程为暴雪，下表为山东5个城市24小时内的积雪深度测量值.
城市
济南
菏泽
潍坊
青岛
烟台
积雪深度()
2.025
3.9
7.85
15.15
22.65

现从上述5个城市中，随机抽取2个，求抽取的2个城市降雪量均为暴雪的概率；
（2）求甲地在24小时内降雪量至少是5的条件下，工期延误不超过6天的概率；
（3）若甲地此工程每延误一天，损耗10000元，求该工程损耗的数学期望.
【答案】（1）；（2）；（3）20000
【详解】分析：（1）因为，求得样本中心坐标代入可得，，所以，由此得到对应的个城市降雪量，利用古典概型概率公式可得结果；（2）由互斥事件的概率公式，根据条件概率公式可得结果；（3）设该工程损耗为，则，，，，利用互斥事件与对立事件的概率公式求出随机变量对应的概率，可得分布列，利用期望公式可得结果.
详解：（1）因为，代入可得，，
所以.
对应的5个城市降雪量为：
城市
济南
菏泽
潍坊
青岛
烟台
降雪量()
2.5
5
10.27
20
30

达到暴雪的城市为3个，所以抽取的2个城市中为暴雪的概率为.
（2）由概率加法公式，得，
又，
由条件概率，得，
故甲地在24小时内降雪量至少是5的条件下，工期延误不超过6天的概率为.
（3）根据题意，，
，，
，
设该工程损耗为，则，，，，所以的分布列为：






0.6
0.2
0.1
0.1

于是，，
故该工程损耗的数学期望为元.
点睛：求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解.
21．国家对电器行业生产要求低碳、环保、节能，有利于回收．冰箱的生产质量用综合质量指标值来衡量，当时，产品为一级品，当时，产品为二级品，当时，产品为三级品．某冰箱生产厂家，为满足国家要求，根据市场需求，研究开发一种新款冰箱，试生产台，并初步测量了每台冰箱的值，得到下面的结果：
综合质量指标值





频数






将样本频率视为总体概率.
(1)若从这批产品中有放回地随机抽取件，记“抽出的产品中恰有一件三级品”为事件，求事件发生的概率；
(2)将这批产品报送主管部门进行质量检测，以取得产品生产许可证．主管部门的检测方案：先从这批产品中任取件，若这件产品都是一级品，再从这批产品中任取件检测，若为一级品，则这批产品通过检测，并颁发生产许可证；若这件产品有件一级品，则再从这批产品中任取件检测，若这件产品都是一级品，则这批产品通过检测，并颁发生产许可证．其他情况下这批产品不能通过检测，且每件产品的检测相互独立．求该冰箱生产厂家取得生产许可证的概率；
(3)若该冰箱生产厂家取得生产许可证，厂家投入生产，且已知生产一台冰箱的成本为元，一件一级品的售价为元，一件二级品的售价为元，一件三级品的售价为元，设一台冰箱的利润为元，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，780元
【分析】（1）先由条件中的数据得出从这批产品中随机抽取一次抽中三级品的概率，然后可得答案；
（2）根据条件得出一级品对应的概率，然后可算出答案；
（3）由题可知的所有可能取值为，，，由条件中的数据可得对应的概率，然后可得答案.
【详解】(1)由题意知，从这批产品中随机抽取一次抽中三级品的概率为，则没有抽中三级品的概率为，
所以
(2)由题中表格可知一级品对应的概率为.
设第一次取出的件产品都是一级品的事件为，
第一次取出的件产品中有件一级品的事件为，第二次取出的件产品都是一级品的事件为，
第二次取出的件产品是一级品的事件为，这批产品通过检测的事件为，
所以 ，
即该冰箱生产厂家取得生产许可证的概率为 
(3)由题可知的所有可能取值为，，.
一级品对应的概率为，二级品对应的概率为，三级品对应的概率为，
则的分布列为









所以元.
22．随着全球经济一体化进程的不断加快，机械零件的加工质量决定了制造工厂的生存，零件加工精度逐渐成为供应商判断制造公司产品的标准.已知某公司生产不同规格的一种产品，根据检测精度的标准，其合格产品的质量y（）与尺寸x（）之间近似满足关系式（b，c为大于0的常数）.现随机从中抽取6件合格产品，测得数据如下：
尺寸x（〕
38
48
58
68
78
88
质量y（〕
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5

根据测得数据作出如下处理：令，得相关统计量的值如下表：




75.3
24.6
18.3
101.4

(1)根据所给统计数据，求y关于x的回归方程；
(2)若从一批该产品中抽取n件进行检测，已知检测结果的误差满足，求至少需要抽取多少件该产品，才能使误差在（-0.1，0.1）的概率不少于0.9545？
附：①对于样本，i）（i=1，2，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.②，则
【答案】(1)
(2)800
【分析】（1）按照公式求出与，写出回归方程；（2）根据正态分布及所给数据得出不等关系，解出答案.
【详解】(1)，，所以，即，整理为：，所以y关于x的回归方程为
(2)因为，，所以，要想使误差在（-0.1，0.1）的概率不少于0.9545，则满足，解得：，即至少需要抽取800件该产品，才能使误差在（-0.1，0.1）的概率不少于0.9545.