2021-2022学年江苏省南京外国语学校高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2021-2022学年江苏省南京外国语学校高一下学期期中数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省南京外国语学校高一下学期期中数学试题一、单选题1．计算的结果是（       ）A．2i B．－2i C．i D．－i【答案】C【分析】根据复数的运算公式，直接计算结果.【详解】.故选：C2．已知，，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由同角的三角函数关系求得，再利用余弦的和角公式求解即可.【详解】因为，，所以，所以，故选：C3．已知，，则（       ）A． B．5 C． D．3【答案】A【分析】先求出，再求.【详解】因为，，所以，所以.故选：A4．在中，已知，，且a，b是方程的两个根，，则（       ）A．3 B．7 C． D．49【答案】B【分析】利用余弦定理即可求解.【详解】因为a，b是方程的两个根，所以.由余弦定理，.即7.故选：B5．已知，为锐角，且，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出的正切值，再求出角.【详解】因为，，所以.因为，为锐角，所以，所以.故选：B6．在中，，，下列说法错误的是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】对于A，利用同角的三角函数关系即可判断；对于B，假设成立，根据，可得，进而判断；对于C，由大边对大角即可判断；对于D，利用求解即可判断.【详解】对于选项A，在中，，所以，所以A正确；对于选项B，若，则为钝角，由A选项可知，则，所以，不符合条件，所以，所以B选项错误；对于选项C，由B选项可知为锐角，且，所以，所以C选项正确；对于选项D，，所以D选项正确；故选：B7．外轮除特许外，不得进入离我国海岸线d n mile以内的区域，如果进入则对其发出警告，其退出此区域．如图，设A，B是相距s n mile的两个观察站，一外轮在P点，测得，，，满足什么关系时就该向外轮发出警告（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】作PD垂直于AB于D.在直角三角形中，表示出，进而表示出，只需时,就该向外轮发出警告【详解】作PD垂直于AB于D,如图示.在Rt△PAD中,.在Rt△PBD中所以,所以故当时,就该向外轮发出警告,今其退出我国海域.故选：C8．在中，若，，则外接圆面积为（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据正弦定理，边角互化，求得三角形外接圆半径，即可求解.【详解】根据正弦定理可知，，得，因为，所以，所以外接圆面积.故选：D 二、多选题9．下列说法正确的是（       ）A．复数的虚部为 B．已知复数z，若，则R C．已知复数z，则R D．已知复数z，若 R，则R 【答案】BC【分析】求得复数的虚部判断选项A；求得复数z判断选项B；求得判断选项C；求得复数z判断选项D.【详解】选项A：复数的虚部为.判断错误；选项B：已知复数z，若，则R.判断正确；选项C：已知复数z，则R. 判断正确；选项D：当复数时，R，但R .判断错误.故选：BC10．已知向量，，它们的夹角为60°，则（       ）A． B．C． D．向量与向量的夹角为90°【答案】ABD【分析】对于A，根据数量积的定义即可判断；对于B，，即可判断；对于C，即可判断；对于D，判断是否为0即可.【详解】对于选项A，，所以A正确；对于选项B，，所以B正确；对于选项C，，所以C错误；对于选项D，，所以，所以D正确，故选：ABD11．在中，下列说法正确的有（       ）A．若，则一定是锐角三角形B．若，则一定是等边三角形C．若，则一定是等腰三角形D．若，，则一定是等边三角形【答案】BD【分析】利用余弦定理即可判断A；利用正弦定理化边为角，从而可判断B；利用正弦定理化边为角结合倍角公式，从而可判断C；利用正弦定理化角为边，结合已知即可判断D.【详解】解：对于A：若，故，所以为锐角，但并不能说明一定是锐角三角形，故A错误；对于B：由于，利用正弦定理：，整理得，因为，所以，所以为等边三角形，故B正确；对于C：因为，所以，又，则，所以，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，因为，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以一定是等边三角形，故D正确.故选：BD.12．已知函数，则（       ）A．时，在上的最小值为－1B．时，的最小正周期为C．时，在R上的最大值为1D．对任意的正整数n，的图像都关于直线对称【答案】ACD【分析】根据辅助角公式、降幂公式，结合正弦型函数的最值、最小正周期公式、对称性逐一判断即可.【详解】A：时，，因为，所以，因此当时，函数有最小值，最小值为，所以本选项正确；B：时，，即，的最小正周期为，因此本选项不正确；C：时，，因为，所以，因此本选项正确；D：，所以对任意的正整数n，的图像都关于直线对称，因此本选项说法正确，故选：ACD【点睛】关键点睛：运用二倍角的正弦公式、辅助角公式、降幂公式化简函数解析式是解题的关键. 三、填空题13．，，若，则______．【答案】0.5【分析】根据向量平行的坐标表示，即可求得的值.【详解】，，因为，所以，解得：.故答案为：14．若是关于x的实系数方程的一个根，则______．【答案】3【分析】将代入方程，进行求解.【详解】将代入得：，化简得：，即，解得：故答案为：315．如图，在中，已知，D是边BC上一点，，，，则______．【答案】【分析】在中，利用余弦定理求得，再在，利用正弦定理求解.【详解】由题，在中，，所以，在中，，即，所以.故答案为：四、双空题16．如图，在矩形ABCD中，，，，，则______；G是矩形ABCD所在平面上一点，且，若，则的最小值为______．【答案】     44；     .【分析】空一：运用平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质进行运算即可；空二：建立平面直角坐标系，利用平面数量积的坐标表示公式、平面向量线性运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.【详解】空一：因为ABCD是矩形，所以，因为，，所以；空二：建立如图所示的直角坐标系，，，因为，所以，即， 因此，因为，所以，因为G是矩形ABCD所在平面上一点，所以有，且，因此，当时，即时，有最小值，最小值为，故答案为：；. 五、解答题17．已知复平面内复数，，所对应的点分别为，，．(1)求，的值；(2)求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）首先根据复数在复平面内的坐标得到复数，，，再根据复数代数形式的运算法则计算可得；（2）首先求出，，再根据向量的夹角公式计算可得；【详解】(1)解：因为复平面内复数，，所对应的点分别为，，，所以，，，所以，(2)解：因为，，，所以，，所以，，所以18．在中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，．(1)若，求，的值；(2)求的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先利用二倍角公式求出，再用和差角公式和诱导公式求出；（2）先求出，利用正弦定理即可求出的取值范围.【详解】(1)在中，，所以B为锐角.因为，所以.所以.所以..(2)在中，，所以.因为，所以，所以，所以.由正弦定理得：.即的取值范围为.19．已知向量，，函数．(1)求的周期；(2)设，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用数量积的运算，结合三角恒等变换，得到，再利用正弦函数的性质求解；（2）由，得到，然后由求解.【详解】(1)解：因为向量，，所以函数，，，，所以的周期是；(2)因为，所以，因为，所以，，所以，，，.20．在中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，．(1)若，BC边上的中线AD的长为，求c的值；(2)若，，求．【答案】(1)2；(2)或.【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简等式，再结合中线性质、余弦定理进行求解即可；（2）根据两角和的正弦公式化简等式，再结合三角形面积公式、余弦定理进行求解即可【详解】(1)因为，所以，由正弦定理和余弦定理化简，得，由余弦定理可知：因为BC边上的中线AD的长为，所以由余弦定理可知：，，（舍去），即；(2)，，或，当时，，当时，由正弦定理可知：，，当时，，因为，所以，所以；当时，则有，所以，即，因此，所以的值为或.21．如图，在边长为1的正三角形中，O为中心，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N．(1)用，表示；(2)若，求AN的值；(3)求的最大值与最小值．【答案】(1)；(2)；(3)最大值，最小值【分析】（1）根据平面向量基本定理和等边三角形的性质求解，（2）设，则，由已知可得，代入（1）中的式子，再由三点共线可求得结果，（3）设，分别在和中利用正弦定理可将用含的式子表示，从而可得，化简后利用换元法可求出其最值【详解】(1)延长交于，因为O为正三角形的中心，所以为的中点，所以,因为,所以，(2)设，因为，所以，因为，,所以,由（1）可知，所以，因为三点共线，所以，解得，即AN的值为(3)因为正三角形的边长为1，O为正三角形的中心，所以，，设，则，在中，由正弦定理可得，所以，在中，同理可得,所以令，则所以，因为，所以，，所以，即，令，则 在上单调递增，所以，即，即，所以，所以，所以，即，所以，即最大值，最小值【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量基本定理的应用，考查正弦定理的应用，考查三角函数恒等变换的综合应用，第（3）问解题的关键是设，然后分别在和中利用正弦定理可将用含的式子表示，从而可表示出，然后对其化简变形后可求出其最值，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题