2021-2022学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2021-2022学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期中数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知平面向量，，，则（       ）A．2 B．8 C．6 D．4【答案】B【分析】根据平面向量共线坐标的关系，即可求解.【详解】依题意，，.所以，解得：.故选：B.2．复数满足（i为虚数单位），则的共轭复数的虚部为（       ）A．5i B．5 C．-i D．-1【答案】D【分析】根据复数的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】由题意，复数，则，所以的虛部为-1，故选：D.3．已知，，，则（       ）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】根据数量积的坐标运算，求出，进而根据模长公式求解.【详解】，，解得，.故选：B.4．如图为正八边形，其中为正八边形的中心，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正八边形的几何性质可知，结合向量的减法运算，可得答案.【详解】因为，所以，故选:A.5．设为平面，点，则下列结论正确的是（       ）A．过点有且只有一条直线与平行 B．过点没有直线与平行C．过点有且只有一个平面与平行 D．过点有无数个平面与平行【答案】C【分析】根据点线面位置关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】因为点，故过点有无数条直线与平行，故错误；过点有且只有一个平面与平行，故正确，错误.故选：.6．在△中，，，.则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正弦定理，结合角度关系，带值计算即可.【详解】在△中，由正弦定理：，得，，故.故选：.7．若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据复数的运算法则，化简复数，根据题列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，复数，因为复数在复平面内所对应的点位于第四象限，，解得.故选：D.8．如图，在正四棱台中，，，若半径为的球与该正四棱台的各个面均相切，该球的表面积（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】作正棱台的轴截面.设内切球的半径为，利用勾股定理得到，解得，从而可求出该球的表面积.【详解】如图，作该正棱台的轴截面.其中E，F，M，N分别是AB，CD，，的中点，H，K是MN，EF的中点，G是内切球的球心，H，K是内切球和上、下底面的切点，Q是内切球和侧面的切点，内切球的半径为，由正棱台的结构可以得到，，，，易得，，，，，且，所以，即，解得，从而可知该球的表面积.故选：C. 二、多选题9．已知复数，，则下列结论正确的是（       ）A．若，则 B．若，则C． D．若，则【答案】ABC【分析】对A,由知，实部互为相反数，虚部亦同，即可得解.对BCD，均可根据模长，共轭关系进行求解.【详解】对于A，若，则，故，所以A正确；对于B，若，则，所以B正确；对于C，，，故，所以C正确；对于D，当，时，，但所以D错误.故选：ABC.10．设，为两个平面，则的充分条件可以是（       ）A．内的所有直线都与平行 B．内有三条直线与平行C．和平行于同一条直线 D．和都平行于同一平面【答案】AD【分析】利用面面平行的定义以及面面平行的判定定理逐一判断即可【详解】对于A，当内的所有直线即有两条相交直线都与平行时，则，所以A正确；对于B，与相交时，内的和交线平行的直线都与平面平行，所以B不正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，如果和都平行于同一平面，则.所以D正确.故选：AD.11．青花瓷（blue   and   white   porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（       ）A． B．2 C． D．3【答案】BCD【分析】根据平面向量的数量积运算将问题转化为关于范围的问题，数形结合即可求得结果.【详解】连接如下所示：因为.根据图形可知，当点位于正六边形各边的中点时，有最小值为，此时，当点位于正六边形的顶点时，有最大值为2，此时，故.故选：.【点睛】本题考察平面向量数量积的范围问题，处理问题的关键是转化为，属中档题.12．如图，正方体中，点E，F，G，H，I分别为棱AB，CD，BC，，AD的中点，则下列结论正确的是（       ）A． B．C．平面 D．平面【答案】ACD【分析】连接，即可得到四边形为平行四边形，从而判断A，显然与为相交直线，即可判断B，根据线面平行的判定定理证明C，D；【详解】解：连接FE，因为E，F为AB，CD的中点，故FE平行且等于AD.由题意知AD平行且等于，故FE平行且等于，所以四边形为平行四边形，所以，故A正确；显然与为相交直线，故B错误；因为，同时在平面内，且不在平面内，所以平面，故C正确；因为，同时在平面内，且不在平面内，所以平面，故D正确.故选：ACD. 三、填空题13．在中，，，，则__________.【答案】【分析】利用同角公式求出，再用余弦定理计算作答.【详解】在中，，为锐角，由得，而，解得，由余弦定理得：，解得，所以.故答案为：14．长方体的外接球的表面积为，，，则长方体的体积为__________.【答案】【分析】由球的表面积公式得出，进而由外接球的直径求出，再根据勾股定理得出，进而由体积公式求解即可.【详解】因为长方体的外接球的表面积为，设球的半径为，由题意，，，长方体的外接球的一条直径为.因为，，所以，，则长方体的体积为.故答案为：15．已知平行四边形中，，点为边的中点，则的值为__________.【答案】9【分析】根据四边形是菱形,可得,作于,是的四等分靠端,将代入即可求解.【详解】因为平行四边形中，，所以四边形为边长为2的菱形，且，，，如图所示，作于，，，.故答案为:9四、双空题16．如图，正四面体的体积为，E、F、G、H分别是棱AD、BD、BC、AC的中点，则_________，多面体的外接球的体积为__________.【答案】     1     【分析】将正四面体放入正方体，利用正方体的性质即得，设AB的中点为O，进而可得多面体的外接球的球心为，然后利用体积公式即得.【详解】如图，将正四面体嵌入到正方体中，则正四面体的体积为正方体体积的，设正方体的边长为，则，，所以，是的中位线，所以.设AB的中点为O，连接OE，OF，OG，OH，因为，所以多面体的外接球的球心为，半径为1，外接球的体积为.故答案为：1；. 五、解答题17．如图，四边形中，，，，，，A为锐角.(1)求；(2)求四边形的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可求得，利用余弦定理求得答案;（2）证明，求得三角形和的面积，即得答案.【详解】(1)连接，因为，A为锐角，所以，在中，由余弦定理得，，所以.(2)在中，因为，所以为直角三角形，，的面积为，的面积为，所以四边形的面积.18．已知向量，满足，，.(1)求与的夹角；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）对两边平方，利用数量积的运算法则进行计算，求出与的夹角；（2）根据垂直关系得到方程，求出m的值.【详解】(1)，两边平方得：，因为，，所以，即，因为，所以；所以与的夹角为.(2)∵，∴，，，解得：.19．已知复数，满足.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据复数相等可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解；（2）利用复数的四则运算化简可得结果.【详解】(1)解：因为复数，又因为，所以，可得，解得，因此，.(2)解：.20．如图，在三棱柱中，点是棱的中点，，，分别是CP，AC，的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)作辅助线,证明,根据线面平行的判定定理即可证明结论;(2)证明,,继而说明线面平行,根据面面平行的判定定理证明结论.【详解】(1)证明：如图，连接AP，在中，∵R，Q分别是AC，PC的中点，∴.又平面，平面，∴平面.(2)如图，在中，∵E，P分别是，的中点，∴.又平面，平面,∴平面.在平行四边形中，∵，分别是，的中点，∴.又平面，平面，∴平面.又，∴平面平面.21．（1）如图，，不共线，是直线上的动点，证明：存在实数，，使得，并且. （2）用向量法证明下列结论：三角形的三条中线交于一点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）设，利用向量的减法可得，继而可得，由此可得结论；（2）利用（1）的结论，先设设BE、CF交于一点G，只需要证明AD过点G，利用向量证明证明，说明A、G、D三点共线，即可证明结论.【详解】（1）证明：因为是直线上的动点，所以不妨设（为实数），则，，令，，则有，并且,所以存在实数，，使得，并且.（2）如图，中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，求证：AD、BE、CF交于一点.证明：不妨设BE、CF交于一点G，连接AG，因为D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，所以，，，根据（1）的结论得，在中，，，，为实数.在中，，，，为实数.所以 ， ，解得 ，所以，即，，A、G、D三点共线，所以AD、BE、CF交于一点.22．如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，点B、C、D在底面圆周上，∥，，，M为线段OD上一点，，A为PC的中点.(1)证明：∥平面POB；(2)求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取BP的中点T，连接OT，TA，利用三角形中位线定理结合已知条件可得四边形为平行四边形，从而得∥，进而利用线面平行的判定理可得结论，（2）取BC的中点E，连接OE，OC，由可得，，则可求出梯形的面积，从而可求出四棱锥的体积【详解】(1)如图，由已知得. 取BP的中点T，连接OT，TA，因 为A为PC中点，所以∥，.因为∥，所以∥，，所以四边形为平行四边形，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面.(2)因为A为PC的中点，所以A到平面OBCM的距离为.取BC的中点E，连接OE，OC.由得，.由∥得四边形为梯形，故.所以四棱锥的体积.