2021-2022学年辽宁省大连市第八中学高一下学期4月阶段性测试数学试题含解析
展开2021-2022学年辽宁省大连市第八中学高一下学期4月阶段性测试数学试题
一、单选题
1.( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据三角函数的诱导公式,即可求出结果.
【详解】.
故选:A.
2.点从出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点,则点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】点从出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点,,,,故选C.
3.已知tanα>0,且sinα+cosα>0,那么角α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
【答案】A
【详解】则角为第一或第三象限,而,故角为第一象限角.
4.单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离S(厘米)和时间t(秒)的函数关系为,那么单摆来回摆动的振幅(厘米)和一次所需的时间(秒)为( )
A.3,4 B.,4 C.3,2 D.,2
【答案】A
【分析】根据求解.
【详解】解:因为距离S(厘米)和时间t(秒)的函数关系为,
所以单摆来回摆动的振幅为3和一次所需的时间为,
故选:A
5.函数,x∈R在( )
A.上是增函数
B.上是减函数
C.上是减函数
D.上是减函数
【答案】B
【分析】化简,根据余弦函数的知识确定正确选项.
【详解】,
所以在上递增,在上递减.B正确,ACD选项错误.
故选:B
6.已知某扇形的面积为3,则该扇形的周长最小值为( )
A.2 B.4 C. D.
【答案】D
【分析】设扇形的弧长为,半径为,由题意可知,再利用基本不等式,即可求出扇形的周长最小值.
【详解】设扇形的弧长为,半径为,
所以扇形的面积为,所以,
又扇形的周长为,所以,当且仅当,即时,取等号.
故选:D.
7.设,则a,b,c的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】利用三角函数的图象与性质即可得到结果.
【详解】∵,
∴,
∴,
故选:C.
8.函数的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】通过解得到答案.
【详解】令,解得,
所以函数的单调递增区间为.
故选:B.
二、多选题
9.已知,则可能为( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
【答案】AB
【分析】根据三角函数的符号判定角是第几象限角即可.
【详解】因为,所以或,
所以可能为第一象限角或第二象限角.
故选:AB.
10.函数f(x)=cos(2x)的图象的一条对称轴方程为( )
A.x B.x C.xπ D.x
【答案】BC
【分析】由余弦函数的性质,令2xkπ,k∈Z,解得:x,k∈Z,讨论即可求解.
【详解】令2xkπ,k∈Z,则解得:x,k∈Z,
当k=1时,x,当k=2时,x.
故选:BC.
【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质,还考查了函数思想和运算求解的能力,属于基础题.
11.已知函数,则下列说法正确的是( )
A.在定义域内是增函数 B.是奇函数
C.的最小正周期是 D.图像的对称中心是
【答案】BD
【解析】在定义域内的每一个区间上都是单调递增函数,但在整个定义域上没有单调性;是奇函数;的最小正周期为;对称中心是.
【详解】A错误,∵的定义域是,其在定义域内的每一个区间上都是单调递增函数,但在整个定义域上没有单调性;
B正确,,易知其是奇函数;
C错误,函数的最小正周期为;
D正确,令,解得,所以图像的对称中心是.
故选:BD.
【点睛】此题考查正切型函数单调性,周期性,奇偶性和对称性的辨析,关键在于熟练掌握正切函数的相关性质.
12.[多项选择题]函数,的图像与直线(t为常数)的交点可能有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】ABC
【解析】作出函数,的图像和直线,观察交点即可.
【详解】解析:在同一平面直角坐标系中,作出函数,的图像和直线,如图所示.
由图可知,当或时,交点个数为0;当或时,交点个数为2;当或或时,交点个数为1.
综上,交点个数可能为0,1,2.
故选:ABC.
【点睛】本题考查正弦函数的图像,是基础题.
三、填空题
13.已知,,则___________.
【答案】
【分析】先利用平方关系和角的范围求出,再利用商数关系进行求解.
【详解】因为,所以,
又因为,所以,则.
故答案为:.
14.的最大值为______.
【答案】3
【分析】由余弦型函数的值域可求得整个函数的值域,进而得到最大值.
【详解】 ,即
故答案为:
【点睛】本题考查含余弦型函数的值域的求解问题,关键是明确在自变量无范围限制时,余弦型函数的值域为.
15.要得到函数的图象,只需将的图象向左平移____个单位;
【答案】
【分析】由条件利用诱导公式,函数的图像变化规律,可得结论.
【详解】将函数的图像上所有点向左平移个单位纵坐标不变,可得函数的图像.
故答案为
【点睛】本题主要考查诱导公式的应用、函数的图像变化规律,属于基础题.
四、双空题
16.设,若函数在上单调递增,则的取值范围是____________;若函数在区间上的最小值是,则的最小值为___________.
【答案】
【分析】考虑的图像与轴最近的两条对称轴的方程,根据函数在区间的单调性可得前者与后者端点的大小关系,从而得到的取值范围是.再根据在给定区间上的最小值可得区间的左端点的绝对值与的大小关系后可得的最小值为.
【详解】令,得,
则是函数关于原点对称的递增区间中范围最大的,
∴,则解得,
∴的取值范围是.
要使函数在区间上的最小值是,
则即,解得,∴的最小值为.
【点睛】已知三角函数在给定范围上的单调性,求参数的取值范围时可根据图像把问题转化为对称轴的位置关系问题,也可以求出函数单调区间的一般形式,利用给定范围是单调区间的子集求参数的取值范围,给定范围上的最值问题也可以转化为对称轴或对称中心与给定的范围的位置关系问题(或周期与区间的端点的关系)来处理.
五、解答题
17.已知角以x轴的非负半轴为始边,为终边上一点.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据三角函数的定义计算可得;
(2)利用诱导公式化简,再将(1)中的结论代入计算可得;
【详解】(1)解:因为角的终边上点,又,
所以,,所以;
(2)解:
18.求函数的定义域、值域,并判断它的奇偶性和单调性.
【答案】定义域为,值域为,非奇非偶函数,递增区间为
【分析】利用正切函数的定义域,值域,奇偶性和单调性即可得到答案.
【详解】的定义域为,
单调增区间为.
又看成,的复合函数,
由得,
所以所求函数的定义域为,值域为;
函数的定义域不关于原点对称,因此该函数是非奇非偶函数;
令,解得:,
即函数的单调递增区间为.
【点睛】本题主要考查正切函数的性质,同时考查学生的计算能力,属于简单题.
19.已知函数f(x)=2asin+b的定义域为,函数最大值为1,最小值为-5,求a和b的值.
【答案】a=12-6,b=-23+12,或a=-12+6,b=19-12.
【详解】∵0≤x≤,∴-≤2x-≤.
∴-≤sin≤1.
若a>0,则,
解得,
若a<0,则,
解得,
综上可知,a=12-6,b=-23+12,或a=-12+6,b=19-12.
20.设函数.
(1)求函数f(x)的最小正周期,对称中心;
(2)作出函数在一个周期内的简图.
【答案】(1),;(2)图象见解析
【分析】(1)首先根据正切函数的周期公式即可得到函数的周期,再根据正切函数的对称中心即可得到函数的对称中心.
(2)首先根据函数的解析式得到数的图象与轴的一个交点坐标为,在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为和,再画出函数的图象即可.
【详解】(1),.
令,,解得,,
故对称中心为.
(2)令,解得,令,解得,
令,解得,令,解得,
令,解得,
所以函数的图象与轴的一个交点坐标为,
在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为和.
故函数在一个周期内的函数图象为:
【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心,同时考查了正切函数的图象,属于中档题.
21.已知
(1)若时,的最大值为,求的值;
(2)求函数的单调递增区间.
【答案】(1);(2),,.
【分析】(1)由题意利用正弦函数的定义域和值域,求得在R上的最大值,再根据最大值为4,求得的值;(2)由题意利用正弦函数的单调性,求得的单调递增区间.
【详解】(1)由题得函数的最大值为,.
(2)对于,令,求得,可得的单调递增区间为,,.
【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性、值域,属于基础题.
22.已知函数,, .
(1)求的解析式和最小正周期;
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1),;(2)最大值2,最小值
【解析】(1)先将代入,结合求出函数解析式,再用公式求出最小正周期.
(2)根据,求出的范围,再求出的范围,即可得出在区间上的最大值和最小值.
【详解】解:(1)因为, ,
所以,所以,
又因为,所以,
故的解析式为,
所以的最小正周期为.
(2)因为,所以,
所以,则,
故在区间上的最大值2,最小值.
【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用,三角函数的性质,注重对基础知识的考查.
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