2021-2022学年重庆市第一中学校高一下学期4月月考数学试题含解析

这是一份2021-2022学年重庆市第一中学校高一下学期4月月考数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年重庆市第一中学校高一下学期4月月考数学试题一、单选题1．已知角的终边经过点，那么（       ）A．-2 B． C． D．2【答案】C【分析】根据三角函数终边上点的定义求解即可.【详解】解：因为角的终边经过点，所以，所以.故选：C2．长方体长宽高分别为3，4，12，那么该长方体外接球的表面积为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用长方体的棱长，求出它的体对角线即求出外接球的直径，由此据球的表面积公式即可求出球的表面积．【详解】解：长方体长宽高分别为3，4，12，所以长方体的体对角线为，所以长方体外接球的直径，故外接球的表面积为．故选：A3．已知弧长为的扇形圆心角为，则此扇形的面积为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由扇形弧长公式可得半径，再应用扇形面积公式求面积即可.【详解】若扇形的半径为，则，故，所以扇形的面积为.故选：C4．如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是（       ）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】C【分析】由斜二测画法知识得原图形底和高【详解】原图形中，，边上的高为，故面积为32故选：C5．已知向量，则与的夹角为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由，计算，再根据向量的夹角计算公式进行计算．【详解】由，得，又，则，即，故，因此与的夹角为．故选：B．6．若满足的恰有一个，则实数k的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知结合正弦定理先表示出，然后结合正弦函数的性质可求的范围，进而可求的范围．【详解】解：由正弦定理可得，故，由且恰有一个，故或，所以或，即．故选：B7．已知函数的部分图象如图所示，则的值等于（       ）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的图象求出函数 的解析式和周期，得到，转化为，代入即可求解.【详解】由函数，可得，所以，即，又由图象过点，可得，解得，因为，所以，所以，根据正弦函数的性质和周期，可得，所以.故选：C.8．中，为边上的点（不包括端点、），且，满足则（       ）A．有最大值 B．有最大值C．有最小值 D．有最小值【答案】D【分析】分析可知且，， 利用基本不等式可求得的最小值，即可得出合适的选项.【详解】因为在边上，设，其中，即，则，因为，则且，， ，当且仅当时，即当时，等号成立.所以，有最小值.故选：D. 二、多选题9．已知是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，在下列说法正确的是（       ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则m至少与中一个平行【答案】BD【分析】画出一个正方体，借助正方体的平行，垂直关系，进行验证即可．【详解】A.如图所示： ，可得结果或，故A错误；B.如图所示：，可得结果，故B正确；C.如图所示：，可得，故C错误；D.如图所示：，可得结果或，故D正确．故选：BD．10．已知函数f（x）＝2sin（2x﹣），则如下结论：其中正确的是（       ）A．函数f（x）的最小正周期为π；B．函数f（x）在[，]上的值域为[1，]；C．函数f（x）在上是减函数；D．函数y＝f（x）的图象向左平移个单位得到函数y＝2sin2x的图象，【答案】AC【分析】根据三角函数的周期公式求得周期，判断A;根据三角函数的单调性和最值判断B;根据函数的单调性判断C;根据三角函数图象的平移规律，可得到平移后的函数解析式，判断D．【详解】A.函数的最小正周期为，故A正确;B.当时，，则，即，故在，上的值域为 ，故B错误；C.当时，，此时函数单调递减，故C正确；D.的图象向左平移个单位可以得到，则不能得到的图象，故D错误．故选：AC11．在中，内角所对的边分别为，的面积为．下列与有关的结论，正确的是（       ）A．若，，，则或B．若为锐角三角形，则C．若为的外接圆半径，则D．若，，则是直角三角形【答案】BD【分析】根据解三角形知识，对选项逐一判断【详解】对于A，由正弦定理得，解得，又，故，故A错误对于B，为锐角三角形，可知，则，故，故B正确对于C，由正弦定理得，故C错误对于D，，，由余弦定理得化简后得又由正弦定理化简得化简后得，可得，故D正确故选：BD12．定义：两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（       ）A．若平行四边形的面积为4，则B．在正中，若，则C．若，则的最小值为D．若，且为单位向量，则的值可能为【答案】ACD【分析】根据两个向量叉乘的模的定义及向量的数量积的运算逐个分析判断【详解】对于A，因为平行四边形的面积为4，所以，所以，所以A正确，对于B，设正的边边上的中点为，则，因为，所以，所以，所以B错误，对于C，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为，所以C正确，对于D，若，且为单位向量，则当时，可以等于，此时，所以D正确，故选：ACD 三、填空题13．已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_________.【答案】1【分析】设出圆锥底面半径和母线长，利用侧面展开后，扇形弧长公式和面积公式进行求解.【详解】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，则，解得：，又，解得：.故答案为：114．已知D为所在平面内一点，，若，则_________．【答案】【分析】根据，可得在线段上且为靠近点的三等分点，结合，可得值．【详解】由，且，得在线段上且为靠近点的三等分点，故，即．故答案为：．15．《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器一商鞅铜方升，其外形由圆柱和长方体组合而成已知某组合体由圆柱和长方体组成，如图所示，圆柱的底面直径为1寸，长方体的长、宽、高分别为3.8寸，3寸，1寸，该组合体的体积约为12.6立方寸，若取3.14，则圆柱的母线长约为_________．（保留到小数点后两位）【答案】寸【分析】先求出长方体的体积，进而求出圆柱的体积，利用求出的圆柱体体积和圆柱的底面半径为0.5寸，求出圆柱的母线长．【详解】解：由题意得，长方体的体积为（立方寸），故圆柱的体积为（立方寸）．设圆柱的母线长为，则由圆柱的底面半径为0.5寸，得，计算得：（寸．故答案为：寸．16．如图，边长为2的等边三角形中，D是的中点，E、F分别是边上的动点（不包含端点），，则的取值范围为__________．【答案】【分析】设，则，，用正弦定理表示，，转化为三角形函数的最值问题．【详解】设，则，当与重合时，最大为90°，当与重合时，最小为30°由题知，在中，，即；在中，，即；故====由，则，故，故．故答案为：．【点睛】本题考查了利用正弦定理表示边长，进而使用三角函数的性质求解最值得问题，熟练使用以上知识是解题的关键． 四、解答题17．已知向量．(1)若且，求；(2)若与互相垂直，求实数t的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）首先求出的坐标，再根据向量平行的坐标表示得到方程，求出，即可求出，最后根据向量模的坐标公式计算可得；（2）首先求出与的坐标，再根据与垂直得到，根据向量数量积的坐标运算得到方程，解得即可；【详解】(1)解：因为，，所以，又且，所以，解得，所以，所以；(2)解：因为，，所以，，因为与互相垂直，所以，解得或；18．已知、、分别为内角、、的边，.(1)求；(2)若，的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理得，结合余弦定理即可求解；（2）利用面积公式得，再根据余弦定理可得，从而求出周长．【详解】(1)因为由正弦定理得， 则由余弦定理得，又，故；(2)由的面积为，所以由余弦定理，因为，所以所以故的周长为19．如图圆台，在轴截面中，，且．(1)求圆台的体积；(2)求沿着该圆台侧面，从点C到中点的最短距离；【答案】(1)；(2).【分析】（1）过点A作于E，根据圆台的体积公式可求得答案；（2）设AD的中点为F，连接CF，将圆台沿CB展开，由勾股定理可求得答案.【详解】(1)解：过点A作于E，因为，且，则，所以，所以圆台的高为，所以圆台的体积为：；(2)解：设AD的中点为F，连接CF，将圆台沿CB展开如下图所示，则，所以，所以沿着该圆台侧面，从点C到中点的最短距离为．20．已知正方体中，､分别为对角线､上的点，且．（1）求证：平面；（2）若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明．【答案】（1）证明见解析；（2）的值为，证明见解析．【分析】（1）连结并延长与的延长线交于点，证明，，又平面，平面，证明平面；（2）是上的点，当的值为时，能使平面平面，通过证明平面，又，平面．然后证明即可．【详解】（1）连结并延长与的延长线交于点，因为四边形为正方形，所以，故，所以，又因为，所以，所以．又平面，平面，故平面．（2）当的值为时，能使平面平面．证明：因为，即有，故．所以．又平面，平面，所以平面，又，平面．所以平面平面．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，考查空间想象能力逻辑推理能力．21．如图：．(1)P为内一点(如图①)，点P是等腰三角形的顶点，且，求的长；(2)若D，E，F分别是上的点如图②，使得为正三角形，或者如图③，使得平行，且垂直，则两种情况的的面积分别设为，分别求出的最小值及的最大值.【答案】(1)；(2)，.【分析】(1)先在等腰中求出和PB，再在中由余弦定理求出，由此即可得到答案；(2)设等边△DEF边长为a，，利用几何关系用a表示边AF，用α表示∠ADF，在△AFD中利用余弦定理的到a与α的关系，从而可求a的最小值，从而可求的最小值；设BE＝x，用x表示DE、EF，根据即可求的最大值．【详解】(1)(1)∵点是等腰三角形的顶点，且，∴，则.∵，故.在中，.在中，由余弦定理可得，，∴，故；(2)设图②中的正的边长为，，则，，在Rt△ABC中，∵AB＝2BC，故易知∠ABC＝，∠A＝，∵，且在△BDE中，，∴∠BDE＝α，∴，在中，由正弦定理可得，，即，化简得，(其中为锐角，且，∴；图③中，设，，则CE＝1－x，∵，且，∴，，∴，，∴，∴当时，取得最大值.∴的最小值为，的最大值为.22．设正三角形的边长为．为的外心，为边上的等分点，为边上的等分点，为边上的等分点．(1)当时，求的值；(2)当时；（ⅰ）求，的值（用表示）；（ⅱ）求的最大值与最小值；【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）最大值为，最小值为.【分析】（1）利用向量线性运算可将所求式子化为，利用平面向量数量积的定义和运算律可得，进而得到结果；（2）（ⅰ）由，，利用向量数量积的定义可求得结果；（ⅱ）利用向量数量积运算律可得，进而用表示出，同理可得；，将所求式子表示为；分别在和的情况下，根据函数单调性求得最大值和最小值.【详解】(1)当时，，，……，，，又为等边三角形，且边长为，为外接圆的圆心，，且，，则，.(2)（ⅰ）为等边三角形，为外接圆的圆心，，则，，又，分别为，的等分点，又，，；（ⅱ），；同理可得：；；；令，①当时，时，，，时取最大值，则；时，，，时取最小值，则，则当时，；②当时，时，，，时取最大值，则；时，，，时取最小值，则，则当时，；综上所述：的最大值为，最小值为.