2019-2020学年湖南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）及参考答案（一）

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2019-2020学年湖南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（一）（9月份）
参考答案与试题解析
一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）设全集为R集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|log3（x+2）＜1}，则A∩（∁RB）＝（　　）
A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}
【解答】解：B＝{x|log3（x+2）＜1}＝{x|0＜x+2＜3}＝{x|﹣2＜x＜1}，
则∁RB＝{x|x≥1或x≤﹣2}，
A∩（∁RB）＝{x|1≤x＜2}，
故选：C．
2．（5分）命题“∃n0∈N*，f（n0）∈N*且f（n0）≤n0”的否定形式是（　　）
A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n
B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n
C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0
D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃n0∈N*，f（n0）∈N*且f（n0）≤n0”的否定形式是：∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n．
故选：B．
3．（5分）设x，y满足约束条件则z＝x﹣y的取值范围是（　　）
A．[﹣3，0] B．[﹣3，2] C．[0，2] D．[0，3]
【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：
目标函数z＝x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，
由解得A（0，3），
由解得B（2，0），
目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，
目标函数的取值范围：[﹣3，2]．
故选：B．

4．（5分）设，b＝log23，c＝2﹣0.3，则（　　）
A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．a＞c＞b
【解答】解：∵，
且2﹣0.2＜20＝1，而b＝log23＞log22＝1．
∴b＞a＞c．
故选：C．
5．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，
从中选2个不同的数有＝45种，
和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，
则对应的概率P＝＝，
故选：C．
6．（5分）函数f（x）＝sinωx（ϖ＞0）的图象向右平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，并且函数g（x）在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减，则实数ω的值为（　　）
A． B． C．2 D．
【解答】解：由函数f（x）＝sinωx（ϖ＞0）的图象向右平移个单位得到g（x）＝sin[ω（x）]＝sin（ωx﹣），
函数g（x）在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减，可得x＝时，g（x）取得最大值，
即（ω×﹣）＝，k∈Z，ϖ＞0．
当k＝0时，解得：ω＝2．
故选：C．
7．（5分）已知函数f（x）＝ln（1+|x|）﹣，则关于x的不等式f（lnx）+f（ln）＜2f（1）的解集为（　　）
A．（0，+∞） B．（0，e） C．（，e） D．（1，e）
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ln（1+|x|）﹣，则f（﹣x）＝ln（1+|x|）﹣＝f（x），即函数f（x）为偶函数，
在[0，+∞）上，f（x）＝ln（1+x）﹣，则f（x）在[0，+∞）上为增函数，
f（lnx）+f（ln）＜2f（1）⇒2f（lnx）＜2f（1）⇒f（lnx）＜f（1），
即|lnx|＜1，解可得＜x＜e，即不等式的解集为（，e）；
故选：C．
8．（5分）在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠A＝，M为DC的中点，N为平面ABCD内一点，若|﹣|＝|﹣|，则•＝（　　）
A．16 B．12 C．8 D．6
【解答】解：由|﹣|＝|﹣|，可得||＝||，
取AM的中点为O，连接ON，则ON⊥AM，
又＝+，
所以•＝＝（+）2＝（++•）＝（4+×16+2×4×）＝6，
故选：D．

9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（　　）
A．不存在 B．有且只有两条
C．有且只有三条 D．有无数条
【解答】解：在EF上任意取一点M，
直线A1D1与M确定一个平面，
这个平面与CD有且仅有1个交点N，
当M取不同的位置就确定不同的平面，
从而与CD有不同的交点N，
而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图：
故选：D．

10．（5分）如图，已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q．若∠PAQ＝60°且＝3，则双曲线C的离心率为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程
为y＝x，A（a，0），
P（m，），（m＞0），
由＝3，可得Q（3m，），
圆的半径为r＝|PQ|＝＝2m•，
PQ的中点为H（2m，），
由AH⊥PQ，可得＝﹣，
解得m＝，r＝．
A到渐近线的距离为d＝＝，
则|PQ|＝2＝r，
即为d＝r，即有＝•．
可得＝，
e＝＝＝＝．
另解：可得△PAQ为等边三角形，
设OP＝x，可得OQ＝3x，PQ＝2x，
设M为PQ的中点，可得PM＝x，AM＝＝x，
tan∠MOA＝＝＝，
则e＝＝．
故选：B．

11．（5分）对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：23，33，43，…，仿此，若M3的“分裂数”中有一个是73，则m的值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：由题意可得m3的“分裂”数为m个连续奇数，设m3的“分裂”数中第一个数为am，则由题意可得a3﹣a2＝7﹣3＝4＝2×2，
a4﹣a3＝13﹣7＝6＝2×3，…am﹣am﹣1＝2（m﹣1），
以上m﹣2个式子相加可得am﹣a2＝＝（m+1）（m﹣2），
∴am＝a2+（m+1）（m﹣2）＝m2﹣m+1，
∴当m＝9时，am＝73，即73是93的“分裂”数中的第一个，
故选：B．
12．（5分）设f（x）＝，g（x）＝kx﹣1（x∈R），若函数y＝f（x）﹣g（x）在x∈[﹣2，3]内有4个零点，则实数k的取值范围是（　　）
A．（2，） B．（2，] C．（2，4） D．（2，4]
【解答】解：∵f（x）＝，g（x）＝kx﹣1（x∈R），
令函数y＝f（x）﹣g（x）＝0，则x≠0，
则k＝，
令h（x）＝，
则函数h（x）的图象与y＝k在x∈[﹣2，3]内有4个交点，
函数h（x）的图象如下图所示：

由图可得：k∈（2，]，
故选：B．
二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）曲线y＝x+cosx在点（0，1）处的切线方程为　y＝x+1　．
【解答】解：∵点（0，2）在曲线上，∴斜率k＝y′（0）＝1﹣sin0＝1，
∴所求方程为：y＝x+1．
故答案为：y＝x+1．
14．（5分）已知数列{an}，若an═﹣n2+kn+4，且对于任意n∈N*，都有an+1＜an，则实数k的取值范围是　k＜3　．
【解答】解：数列{an}，若an═﹣n2+kn+4，则：数列{an}，若an+1═﹣（n+1）2+k（n+1）+4，
所以an+1＜an，整理得﹣（n+1）2+k（n+1）+4﹣（﹣n2+kn+4）＜0，
化简得：k＜2n+1，
由于对于任意n∈N*，都有an+1＜an恒成立，
所以k＜（2n+1）min，
即当n＝1时，k＜3．
故答案为：k＜3．
15．（5分）已知圆O：x2+y2＝1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+3）2＝1，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则a的取值范围是　[0，3]　．
【解答】解：如图：
圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，
则∠APO＝30°，在Rt△PAO中，PO＝2，
又圆M的半径等于1，圆心坐标M（a，a﹣3），
∴|PO|min＝|MO|﹣1，|PO|max＝|MO|+1，
∵|MO|＝，
∴由﹣1≤2≤+1，
解得：0≤a≤3．
故答案为：[0，3]．

16．（5分）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，△ABC的面积S＝2，且满足acosB＝b（1+cosA），则（c+a﹣b）（c+b﹣a）的取值范围是　　．
【解答】解：∵在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，满足acosB＝b（1+cosA），
∴sinAcosB＝sinB+sinBcosA，sin（A﹣B）＝sinB，
∴A﹣B＝B，即A＝2B＜，可得：B∈（0，），可得：A+B＝3B∈（，），
故C∈（，），
∴∈（，），
∴tanC＝＞1，可得：1＞tan＞﹣1+．
∵△ABC的面积S＝ab•sinC＝2，
∴ab＝，
则（c+a﹣b）（c+b﹣a）＝c2﹣（a﹣b）2＝c2﹣a2﹣b2+2ab＝﹣2ab•cosC+2ab＝2ab（1﹣cosC）＝（1﹣cosC）
＝8＝8tan∈（8﹣8，8）．
故答案为：．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题每个试题考生都必须作答第2，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A，B，C依次成等差数列．
（1）若sin2B＝sinAsinC，试判断△ABC的形状；
（2）若△ABC为钝角三角形，且a＞c，试求的取值范围．
【解答】解：（1）∵sin2B＝sinAsinC，∴b2＝ac．
∵A，B，C依次成等差数列，∴2B＝A+C＝π﹣B，．
由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，a2+c2﹣ac＝ac，∴a＝c．
∴△ABC为正三角形．
（2）要求的式子 ＝
＝＝
＝＝．
∵，∴，
∴，故 ．
∴代数式的取值范围是（，）．
18．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，四边形ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB＝60°，AD＝2，AM＝1，E为AB的中点，P为线段CM上的一点
（1）求证：DE⊥CN；
（2）若二面角P﹣DE﹣C的大小为30°，求的值．

【解答】（1）证明：连接DB，
∵AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，
又∵E为AB中点，∴DE⊥AB，又∵AB∥CD，∴DE⊥DC，
∵ADNM为矩形，∴DN⊥AD，
又∵平面ADNM⊥平面ABCD，平面ADNM∩平面ABCD＝AD，DN⊂平面ADNM，∴DN⊥平面ABCD，
又∵DE⊂平面ABCD，∴DN⊥DE，
又∵ED⊥DC，DC∩DN＝D，∴DE⊥平面DCN，
∵NC⊂平面DCN，∴DE⊥CN；
（2）解：在线段CM上存在点P，
使二面角P﹣DE﹣C的大小为300，的值为1﹣．证明如下：由（1）知DN⊥平面ABCD，
∵DB、DC⊂平面ABCD，∴DN⊥DE，DN⊥DC，
又∵DE⊥DC，以D为坐标原点，DE、DC、DN分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），C（0，2，0），A（，﹣1，0），E（，0，0），M（，﹣1，1），
设，λ∈[0，1]，，＝（，2﹣3λ，λ），，
设平面PDE的一个法向量为＝（x，y，z），⇒
⇒＝（0，λ，3λ﹣2），
由图形知，平面DEC的一个法向量＝（0，0，1），
由题意知cos＝|cos|⇒＝||⇒3λ2﹣6λ+2＝0，
∵λ∈[0，1]，解得λ＝1﹣．
∴在线段CM上存在点P，使二面角P﹣DE﹣C的大小为30°，的值为1﹣．

19．（12分）已知椭圆C的中心是坐标原点O，它的短轴长2，焦点F（c，0），点A（﹣c，0），且＝2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在过点A的直线与椭圆C相较于P、Q两点，且以线段PQ为直径的圆过坐标原点O，若存在，求出直线PQ的方程；不存在，说明理由．
【解答】解：（1）由题意知，b＝，F（c，0），A（﹣c，0），
则，，
由＝2，得c＝，解得：c＝2．
∴a2＝b2+c2＝6，
∴椭圆的方程为，
离心率为；
（2）A（3，0），设直线PQ的方程为y＝k（x﹣3），
联立，得（1+3k2）x2﹣18k2x+27k2﹣6＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则，．
∴＝k2（）＝．
由已知得OP⊥OQ，得x1x2+y1y2＝0，
即，
解得：k＝，符合△＞0，
∴直线PQ的方程为y＝．
20．（12分）新能源汽车的春天来了！2018年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税．某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如表：
月份
2017.12
2018.01
2018.02
2018.03
2018.04
月份编号t
1
2
3
4
5
销量（万辆）
0.5
0.6
1
1.4
1.7
（1）经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量y（万辆）与月份编号t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程，并预测2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量；
（2）2018年6月12日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程（新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程）对购车补贴进行新一轮调整．已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
补贴金额预期值区间（万元）
[1，2）
[2，3）
[3，4）
[4，5）
[5，6）
[6，7）
频数
20
60
60
30
20
10
（i）求这200位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值X的样本方差s2及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）；
（ii）将频率视为概率，现用随机抽样方法从该地区拟购买新能源汽车的所有消费者中随机抽取3人，记被抽取3人中对补贴金额的心理预期值不低于3万元的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．
参考公式及数据：①回归方程，其中，；②．
【解答】解：（1）由题意知＝＝3，＝＝1.04，
＝12+22+32+42+52＝55，
＝＝＝0.32，
＝﹣＝1.04﹣0.32×3＝0.08，
∴y关于t的线性回归方程为＝0.32t+0.08．
当t＝6时，＝2.00，即2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量约为2万辆．
（2）（i）根据题意，这200位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金的心理预期X的平均值为：
＝1.5×0.1+2.5×0.3+3.5×0.3+4.5×0.15+5.5×0.1+6.5×0.05＝3.5，
样本方差为：S2＝（1.5﹣3.5）2×0.1+（2.5﹣3.5）2×0.3+（3.5﹣3.5）2×0.3+（4.5﹣3.5）2×0.15+（5.5﹣3.5）2×0.1+（6.5﹣3.5）2×0.05＝1.7．
中位数的估计值为：3+1×≈3.3．
（水）根据给定的频数表知：
任意抽取1名拟购买新能源汽车的消费者，
对补贴金额的心理预期不低于3万元的频率为，
由题意得ξ～B（3，），
，
，
，
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P




所以．
21．（12分）已知函数f（x）＝aln（x+1），g（x）＝x﹣x2，a∈R．
（Ⅰ）若a＝﹣1，求曲线y＝f（x）在x＝3处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x）恒成立，求a的最小值；
（Ⅲ）设p（x）＝f（x﹣1），a＞0，若A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y＝p（x）的两个不同点，满足0＜x1＜x2，且∃x3∈（x1，x2），使得曲线y＝f（x）在x3处的切线与直线AB平行，求证：x3＜．
【解答】解：（I）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣ln（x+1），得出切点（3，﹣ln4）．
∵，∴切线的斜率k＝．
∴曲线y＝f（x）在x＝3处的切线方程为：y+ln4＝﹣（x﹣3），化为x+4y+8ln2﹣3＝0．
（II）对任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x）恒成立⇔aln（x+1）﹣x+．
令h（x）＝aln（x+1）﹣x+（x≥0）．
＝．
①当a≥1时，h′（x）≥0恒成立，
∴函数h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）＝0，∴a≥1时符合条件．
②当a＜1时，由h′（x）＝0，及x≥0，解得．
当x∈时，h′（x）＜0；当x∈时，h′（x）＞0．
∴＝，这与h（x）≥0相矛盾，应舍去．
综上可知：a≥1．∴a的最小值为1．
（III）p（x）＝f（x﹣1）＝alnx，kAB＝．
∵，∴．
∵曲线y＝f（x）在x3处的切线与直线AB平行，
∴．
由，a＞0，可知其在定义域内单调递减．
要证：x3＜．即证明．即证明．
变形可得，
令，则t＞1．要证明的不等式等价于⇔（t+1）lnt＞2（t﹣1）．
构造函数q（t）＝（t+1）lnt﹣2（t﹣1），（t＞1）．
＝（t＞1）．
令u（t）lnt+﹣1，（t＞1）．
则u′（t）＝＞0，∴q′（t）在t＞1时单调递增．
∴q′（t）＞q′（1）＝0，∴函数q（t）在区间（1，+∞）上单调递增，∴q（t）＞q（1）＝0，
∴q（t）＞0在（1，+∞）上恒成立．
∴（t+1）lnt＞2（t﹣1）在（1，+∞）上恒成立，即x3＜成立．
（二）选考题：共10分.请考生在22.23两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由于x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴C1：x＝﹣2 的
极坐标方程为 ρcosθ＝﹣2，
故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1的极坐标方程为：
（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2＝1，
化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4＝0．
（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ＝（ρ∈R）代入
圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，
可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4＝0，
求得ρ1＝2，ρ2＝，
∴|MN|＝|ρ1﹣ρ2|＝，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，
△C2MN的面积为•C2M•C2N＝×1×1＝．

[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
23．已知函数f（x）＝|x+1|．
（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；
（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．
【解答】（1）解：①当x≤﹣1时，原不等式化为﹣x﹣1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1；
②当时，原不等式化为x+1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1，此时不等式无解；
③当时，原不等式化为x+1＜2x，解得：x＞1．
综上，M＝{x|x＜﹣1或x＞1}；
（2）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，
则 f（ab）＝|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）＝|a+1|﹣|﹣b+1|．
∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]＝f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）＝|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1|
＝|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|＝|b（a+1）|﹣|a+1|
＝|b|•|a+1|﹣|a+1|＝|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，
故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．
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日期：2019/12/17 23:30:31；用户：高中数学；邮箱：qgzsx@xyh.com；学号：30100772