2018-2019学年湖南师大附中高三（上）月考数学试卷（文科）及参考答案（四）

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2018-2019学年湖南师大附中高三（上）月考数学试卷（文科）（四）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x|2x＜1}，集合N＝{x|log2x＞1}，则下列结论中成立的是（（　　）
A．M∩N＝M B．M∪N＝N C．M∩（∁UN）＝M D．（∁UM）∩N
【解答】解：M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞2}；
∴M∩N＝∅，
M∪N＝{x|x＜0，或x＞2}≠N，
∁UN＝{x|x≤2}，M∩（∁UN）＝M，
∁UM＝{x|x≥0}，（∁UM）∩N＝N．
故选：C．
2．（5分）已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，下列四个命题中正确的是（　　）
A．若l⊥α，m⊥β，且l∥m，则α∥β
B．若m∥n，n⊂α，则m∥α
C．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，则n⊥α
【解答】解：由三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，知：
在A中，若l⊥α，m⊥β，且l∥m，则由面面垂直的性质定理得α∥β，故A正确；
在B中，∵m与α的位置关系不确定，∴m∥α不一定成立，故B错误；
在C中，由于m与n几何位置关系不确定，∴α∥β的条件不具备，故C错误；
在D中，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，则n与α相交、平行或n⊂α，故D错误．
故选：A．
3．（5分）已知P（1，3）在双曲线＝1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则该双曲线的离心率为（（　　）
A． B．2 C． D．
【解答】解：根据点P（1，3）在双曲线的渐近线上，所以双曲线的一条渐近线方程为y＝3x，
所以有＝3，即b＝3a，根据双曲线中a，b，c的关系，
可以得c＝a，所以有e＝，
故选：A．
4．（5分）已知f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，则y＝f（x）的解析式是（　　）

A．f（x）＝sin（2x﹣） B．f（x）＝sin（2x）
C．f（x）＝sin（2x+） D．f（x）＝sin（x+）
【解答】解：由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象可得：
A＝1，T＝•＝+，解得ω＝2，
再把点（，1）代入函数的解析式，可得：1＝sin（2×+φ），即sin（+φ）＝1．
再由|φ|＜，可得：φ＝，
所以函数f（x）＝sin（2x+）．
故选：B．
5．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图则输出的值为（　　）
（参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）

A．6 B．12 C．24 D．48
【解答】解：模拟执行程序，可得：
n＝6，S＝3sin60°＝，
不满足条件S≥3.10，n＝12，S＝6×sin30°＝3，
不满足条件S≥3.10，n＝24，S＝12×sin15°≈12×0.2588＝3.1056，
满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．
故选：C．
6．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式an＝log2（n∈N*），则满足不等式Sn＜﹣6的n的最小值是（　　）
A．62 B．63 C．126 D．127
【解答】解：an＝log2（n∈N*），
可得前n项和为Sn＝log2+log2+…+log2＝log2（•…）＝log2，
由Sn＜﹣6，可得log2＜﹣6，
可得＜，
解得n＞126，
满足不等式Sn＜﹣6的n的最小值是127．
故选：D．
7．（5分）设A，B，C为圆O上三点，且AB＝3，AC＝5，则•＝（　　）
A．﹣8 B．﹣1 C．1 D．8
【解答】解：如图所示，取BC的中点D，连接AD，OD，
∵O是△ABC外接圆的圆心，
∴＝（+），•＝0；
∴•＝（+）•＝•＝（+）•（﹣）＝（﹣）
＝×（52﹣32）＝8．
故选：D．

8．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+2），数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an+2，则f（an）＝（　　）
A．0 B．0或1 C．﹣1或0 D．1或﹣1
【解答】解：∵f（x）＝f（x+2），所以f（x）函数周期为2，
∵数列{an}满足Sn＝2an+2，∴a1＝﹣2，Sn﹣1＝2an﹣1+2，
∴an＝2an﹣2an﹣1，即an＝2an﹣1，
∴{an}以﹣2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝﹣2n，
∴f（an）＝f（﹣2n）＝f（0）＝0，
故选：A．
9．（5分）设定义域为R的函数f（x）＝，若b＜0，则关于x的方程f2（x）+bf（x）＝0的不同实根共有（　　）

A．4个 B．5个 C．7个 D．8个
【解答】解：y＝|lg|x﹣2||的大致图象如图所示，
而方程f2（x）+bf（x）＝0，即f（x）[f（x）+b]＝0，
则化成f（x）＝0或f（x）＝﹣b＞0（b＜0）两个方程
如图，f（x）＝0有2个根，f（x）＝﹣b有4个根，
再加上x＝2时，f（x）＝0一个根，综合共有7个根，
故选：C．
10．（5分）一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（　　）

A．+ B．+ C．+ D．+
【解答】解：由已知中的三视图，圆锥母线l＝＝2，
圆锥的高h＝＝2，
圆锥底面半径为r＝＝2，
截去的底面弧的圆心角为120°，
底面剩余部分为S＝πr2+r2sin120°＝π+，
故几何体的体积为：V＝Sh＝×（π+）×2＝+，
故选：D．
11．（5分）本周星期日下午1点至6点学校图书馆照常开放，甲、乙两人计划前去自习，其中甲连续自习2小时，乙连续自习3小时．假设这两人各自随机到达图书馆，则下午5点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：据题意，甲、乙应分别在下午4点、3点之前到达图书馆，设甲、乙到达图书馆的时间分别为x，y，则，所对应的矩形区域的面积为6．若下午5钟点时甲、乙两人都在自习，则所对应的正方形区域的面积为1，所以P＝．
故选：B．
12．（5分）设函数d（x）与函数y＝log2x关于直线y＝x对称．已知f（x）＝，若函数f（x）恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）
A．[）∪[2，+∞） B．[）∪[）
C．[） D．（]
【解答】解：因为函数d（x）与函数y＝log2x关于直线y＝x对称，所以d（x）＝2x；
设g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a），x≥1，
h（x）＝2x﹣a，x＜1，
因为f（x）恰有2个不同的零点，又因为h（x）至多有一个零点，
故：①若g（x）有两个零点，h（x）没有零点，则得a≥2
②若g（x）和h（x）各有1个零点，则且得≤a＜1．
综上，a∈[，1）∪[2，+∞）．
故选：A．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．
13．（5分）已知圆C1：（x﹣a）2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣6x+5＝0外切，则a的值为　6或0　．
【解答】解：由圆的方程得 C1（a，0），C2（3，0），半径分别为1和2，两圆相外切，
∴|a﹣3|＝1+2，∴a＝6或0，
故答案为：6或0．
14．（5分）如果复数z满足关系式z+||＝2+i，那么z等于　　．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），代入z+||＝2+i，得
a+bi+＝2+i，
∴，解得：a＝，b＝1．∴z＝．
故答案为：．
15．（5分）若2a＝5b＝10，则等于　1　．
【解答】解：2a＝5b＝10，
∴a＝log210，b＝log510，∴＝lg2，＝lg5，∴＝+＝lg2+lg5＝1，
故答案为：1．
16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数a、b都有f（a+b）＝f（a）+f（b）﹣1，且当x＞0时f（x）＞1．若f（4）＝5，则不等式f（3x2﹣x﹣2）＜3的解集为　（﹣1，）　．
【解答】解：设x1＞x2，则x1﹣x2＞0，
f（x1﹣x2）＞1．
所以f（x1）﹣f（x2）＝f[（x1﹣x2）+x2]﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）﹣1＞0，
即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）是增函数．
因为f（4）＝5，即f（2）+f（2）﹣1＝5，所以f（2）＝3．
所以原不等式化为f（3x2﹣x﹣2）＜3等价为f（3x2﹣x﹣2）＜f（2），
则3x2﹣x﹣2＜2，即3x2﹣x﹣4＜0，即（x+1）（3x﹣4）＜0，得﹣1＜x＜，
故不等式的解集是（﹣1，）
故答案为：（﹣1，）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知函数f（x）＝asinx+bcosx，a≠0，x∈R，f（x）的最大值是2，且在x＝处的切线与直线x﹣y＝0平行．
（1）求a、b的值；
（2）先将f（x）的图象上每点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位得到函数g（x）的图象，已知g（）＝，α∈（），求cos2α的值．
【解答】解：（1）f′（x）＝acosx﹣bsinx，由已知有，解之得：
（2）由（1）有f（x）＝sinx+cosx＝2sin（x+）
因为将f（x）的图象上每点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位得到函数g（x）的图象，
则g（x）＝2sin（2x﹣），
由g（）＝，α∈（），得sin（2α+）＝，且2α+∈（，π），
则cos（2α+）＝﹣，
cos2α＝cos[（2α+）﹣]＝cos（2α+）cos+sin（2α+）sin＝﹣＝．
18．（12分）如图，已知三棱柱ABC﹣ABC侧棱柱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
（1）证明：MN∥平面AA′C′C；
（2）设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．

【解答】解：（1）证明：设A′B′的中点为E，连接EM，EN，
∵点M，N分别为A′B和B′C′的中点，∴NE∥A′C′，ME∥AA′，
又∵A′C′⊂平面ACC′A′，AA′⊂平面ACC′A′，
∴NE∥平面ACC′A′，ME∥平面ACC′A′，
∵NE∩ME＝E，∴面EMN∥面ACC′A′，
∵MN⊂面EMN，∴MN∥面ACC′A′；
（2）连接BN，设AA′＝a，AB＝λAA′＝λa，
由题意知，BC＝，BN＝CN＝＝，
∵三棱柱ABC﹣A′B′C′侧棱垂直于底面，∴面A′B′C′⊥面BB′C′C，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°点N为B′C′的中点，
∴A′N⊥平面BB′C′C，∴CN⊥A′N，
要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，
∴CN2+BN2＝BC2，即，∴，
则时，CN⊥平面A′MN．


19．（12分）某地1～10岁男童年龄xi（岁）与身高的中位数yi（cm）（i＝1，2，…10）如表：
x（岁）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y（cm）
76.5
88.5
96.8
104.1
111.3
117.7
124
130
135.4
140.2

上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

（xi）2
（yi）2
（xi）（yi）
112.45
82.50
3947.71
566.85
（1）求y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；
（2）某同学认为，y＝px2+qx+r更适宜作为y关于x的回归方程类型，他求得的回归方程是＝﹣0.30x2+10.17x+68.07．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？
（3）从6岁～10岁男童中每个年龄阶段各挑选一位男童参加表演（假设该年龄段身高的中位数就是该男童的身高）．再从这5位男童中任挑选两人表演“二重唱”，则“二重唱”男童身高满足|yi﹣yj|≤6，（i，j＝6，7，8，9，10）的概率是多少？
参考公式：＝，＝
【解答】【解析】（1）因为＝＝5.5，＝112.45，（xi）2＝82.50，（xi）（yi）＝566.85，
∴＝＝＝6.87，＝＝112.45﹣6.87×5.5＝74.67，
所以y关于x的线性回归方程为：＝6.87x+74.67．
（2）若y关于x的线性回归方程是＝6.87x+74.67，所以x＝11时，＝150.24；
若回归方程是＝﹣0.30x2+10.17x+68.07，所以x＝11时，＝143.64；
因为|143.64﹣145.3|＝1.66＜|150.24﹣145.3|＝4.94，所以回归方程＝0.30x2+10.17x+68.07拟合效果更好
（3）设6岁～10岁男童挑选的5位男童身高分别为a，b，c，d，e，则从中任挑选两人表演“二重唱”有10种选法：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）；两男童身高的中位数满足|yi﹣yj|≤6，（i，j＝6，7，8，9，10）有3种选法，分别是（124，130），（130，135.4），（135.4，140.2），故概率是P（|yi﹣yj|≤6）＝
20．（12分）如图，已知抛物线C：y2＝x和⊙M：（x﹣4）2+y2＝1，过抛物线C上一点H（x0，y0）（y0≥1）做两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线于E、F两点．
（1）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；
（2）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．

【解答】解：（1）法一：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），
∴kHE＝﹣kHF，
设E（x1，y1），F（x2，y2），
∴＝﹣，∴＝﹣，
∴y1+y2＝﹣2yH＝﹣4．（5分）
∴kEF＝＝＝＝﹣．（7分）
法二：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴∠AHB＝60°，可得kHA＝，kHB＝﹣，
∴直线HA的方程为y＝x﹣4+2，联立方程组，
得y2﹣y﹣4+2＝0，∵yE+2＝，∴yE＝﹣2，
xE＝．（5分） 同理可得yF＝﹣﹣2，xF＝，
∴kEF＝﹣．（7分）
（Ⅲ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵kMA＝， ∴kHA＝，
∴直线HA的方程为（4﹣x1）x﹣y1y+4x1﹣15＝0，
同理，直线HB的方程为（4﹣x2）x﹣y2y+4x2﹣15＝0，
∴（4﹣x1）y02﹣y1y0+4x1﹣15＝0，（4﹣x2）y02﹣y2y0+4x2﹣15＝0，（9分）
∴直线AB的方程为（4﹣x）y02﹣yy0+4x﹣15＝0，
令x＝0，可得t＝4y0﹣，（y0≥1）， ∵t′＝4+＞0，
∴t关于y0的函数在[1，+∞）上单调递增， ∴当y0＝1时，tmin＝﹣11．（12分）
法二：设点H（m2，m）（m≥1），HM2＝m4﹣7m2+16，HA2＝m4﹣7m2+15．
以H为圆心，HA为半径的圆方程为（x﹣m2）2+（y﹣m）2＝m4﹣7m2+15，①
⊙M方程：（x﹣4）2+y2＝1．②
①﹣②得：直线AB的方程为（2x﹣m2﹣4）（4﹣m2）﹣（2y﹣m）m＝m4﹣7m2+14．（9分）
当x＝0时，直线AB在y轴上的截距t＝4m﹣（m≥1），
∵t′＝4+＞0， ∴t关于m的函数在[1，+∞）上单调递增，
∴当m＝1时，tmin＝﹣11．（12分）
21．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+1在x＝3处的切线方程为y＝5x﹣8．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）＝kex恰有两个不同的实根，求实数k的值；
（3）数列{an}满足2a1＝f（2），an+1＝f（an），n∈N*，证明：
①an+1＞an＞1
②S＝＜2．
【解答】（1）解：f（x）＝ax2+bx+1，f′（x）＝2ax+b，
依题意，，即，
解得，∴f（x）＝x2﹣x+1；
（2）解：方程f（x）＝kex，即x2﹣x+1＝kex，
得k＝（x2﹣x+1）e﹣x，
记F（x）＝（x2﹣x+1）e﹣x，
则F′（x）＝（2x﹣1）e﹣x﹣（x2﹣x+1）e﹣x＝﹣（x2﹣3x+2）e﹣x
＝﹣（x﹣1）（x﹣2）e﹣x．
令F′（x）＝0，得x1＝1，x2＝2．
∴当x＝﹣1时，F（x）取极小值，当x＝2时，F（x）取极大值．
可知当k＝或k＝时，它们有两个不同交点，因此方程f（x）＝kex恰有两个不同的实根；
（3）证明：①2a1＝f（2）＝3，得＞1，又，
∴＞0，
∴an+1＞an＞1．
②由，得an+1﹣1＝an（an﹣1），
，
即．
∴＝
＝＝＜2．
请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：极坐标与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．
（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．
【解答】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）
所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2＝4．（2分），
x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2＝4，
化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21＝0．（5分）
（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2＝0的距离为（7分）
△ABM的面积
所以△ABM面积的最大值为（10分）
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝k﹣|x﹣4|，x∈R，且f（x+4）≥0的解集为[﹣1，1]．
（1）求k的值；
（2）若a，b，c是正实数，且，求证：．
【解答】（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲
（1）解：因为f（x）＝k﹣|x﹣4|，所以f（x+4）≥0等价于|x|≤k，
由|x|≤k有解，得k≥0，且其解集为{x|﹣k≤x≤k}．
又f（x+4）≥0的解集为[﹣1，1]，故k＝1．…（5分）
（2）证明：由（1）知＝1，又a，b，c是正实数，
由均值不等式得：a+2b+3c＝（a+2b+3c）（）
＝3+≥3+2+2+2＝9，
当且仅当a＝2b＝3c时取等号，
所以≥1．…（10分）
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日期：2019/11/28 18:22:46；用户：高中数学；邮箱：qgzsx@xyh.com；学号：30100772