2022年江苏省无锡市惠山区、梁溪区中考数学一模试卷（含解析）

2022年江苏省无锡市惠山区、梁溪区中考数学一模试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 的绝对值是

A.  B.  C.  D.

2. 函数中，自变量的取值范围是

A.  B.  C.  D.

3. 一组数据，，，，，中，则这组数据的中位数和众数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

4. 下列运算中，结果正确的

A.  B.
C.  D.

5. 月日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础．为了解某校名初三学生的睡眠时间，从个班级中随机抽取名学生进行调查，下列说法正确的是

A. 名学生是总体 B. 个班级是抽取的一个样本
C. 是样本容量 D. 每名学生是个体

6. 下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

8. 下列性质中，菱形具有矩形不一定具有的是

A. 对角线相等 B. 对角线互相平分
C. 邻边互相垂直 D. 对角线互相垂直

9. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限交于点，连接若，则的值为   

A.
B.
C.
D.

10. 我们定义：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做奇异三角形．根据定义：
    等边三角形一定是奇异三角形；在中，，，，，且，若是奇异三角形，则：：：：；如图，是的直径，是上一点不与点、重合，是半圆的中点，、在直径的两侧，若在内存在点，使，则是奇异三角形；在的条件下，当是直角三角形时，其中，说法正确的有

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共24分）

11. 分解因式： ______ ．
12. ______．
13. “学中共党史，庆建党百年”，截至月日，某市党员群众参与答题次数达次，掀起了党史学习竞赛的热潮．数据“”用科学记数法可表示为______．
14. 某圆锥的母线长是，底面半径是，则该圆锥的侧面积是______．
15. 请写出一个函数表达式，使其图象关于轴对称：______．
16. 如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点，，是网格线的交点，则______
17. 如图，线段，点是线段上的一个动点不与点重合，在上方作以为腰的等腰，且，过点作射线，过上一动点不与重合作矩形，其对角线交点为，连接，则线段的最小值为______．

18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，则点的坐标为______用含的代数式表示；若作，且、在的两侧，设点的坐标为，则关于的函数关系式为______．

三．解答题（本题共10小题，共98分）

19. 计算：；
    化简：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 解方程：；
    解不等式组：．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，在四边形中，，，点在上，．
    求证：≌；
    若，，求的长．
     

22. 小明参加某网店的“翻牌抽奖”活动，如图，张牌分别对应价值，，，单位：元的件奖品．
    如果随机翻张牌，那么抽中元奖品的概率为______；
    如果随机翻张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，则所获奖品总值不低于元的概率为多少？
    
    
    
    
    
    
     
23. 在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩单位：，绘制出如下两幅统计图请根据相关信息，解答下列问题：
    
    扇形统计图中，初赛成绩为所在扇形图形的圆心角为______ ；
    补全条形统计图；
    这组初赛成绩的中位数是______ ；
    根据这组初赛成绩确定人进入复赛，那么初赛成绩为的运动员杨强能否进入复赛？为什么？
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，矩形中，．
    请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：不写作法，保留作图痕迹
    在边上取一点，使；
    在上作一点，使点到点和点的距离相等．
    在中，若，，则的面积______如需画草图，请使用备用图

25. 如图，为的直径，为延长线上一点，与相切于点．
    求证：∽；
    若，，求的半径．

26. 据环保中心观察和预测：发生于甲地的河流污染一直向下游方向移动，其移动速度千米小时与时间小时的函数图象如图所示，过线段上一点作横轴的垂线，根据物理知识：梯形在直线左侧部分的面积表示的实际意义为小时内污染所经过的路程千米，其中．
    当时，则的值为______；
    求与的函数表达式；
    若乙城位于甲地的下游，且距甲地，试判断这河流污染是否会侵袭到乙城？若会，求河流污染发生后多长时间它将侵袭到乙城；若不会，请说明理由．

27. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、与轴交于点和点．
    
    求抛物线的函数表达式；
    若点为第一象限的抛物线上一点．
    过点作，垂足为点，求线段长的取值范围；
    若点、分别为线段、上一点，且四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，求此时点的坐标．
    
    
    
    
    
    
     
28. 【操作发现】如图，四边形、都是矩形，，，，小明将矩形绕点顺时针转，如图所示．
    若的值不变，请求出的值，若变化，请说明理由．
    在旋转过程中，当点、、在同一条直线上时，画出图形并求出的长度．
    【类比探究】如图，中，，，，为中点，为平面内一个动点，且，将线段绕点逆时针旋转得到，则四边形面积的最大值为
    ______直接写出结果

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得。
故选：。
根据绝对值的性质求解。
此题主要考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。
 

2.【答案】
 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故选：．
根据二次根式有意义的条件是：被开方数是非负数，以及分母不等于，据此即可求解．
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

3.【答案】
 

【解析】解：把这组数据从小到大排列：、、、、、，
最中间的数是和，
则这组数据的中位数是；
出现了次，出现的次数最多，则众数是；
故选：．
根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，故此选项正确；
B.无法合并，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用乘法公式以及二次根式的加减、同底数幂的除法运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了乘法公式以及二次根式的加减、同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：名学生的睡眠状况是总体，原说法错误，故本选项不合题意；
B.名学生的睡眠状况是抽取的一个样本，原说法错误，故本选项不合题意；
C.是样本容量，说法正确，故本选项符合题意；
D.每名学生的睡眠状况是个体，原说法错误，故本选项不合题意；
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

6.【答案】
 

【解析】解：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后和原图形重合．
 

7.【答案】
 

【解析】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
故选：．
根据圆内接四边形的性质得出，代入求出即可．
本题考查了圆内接四边形的性质的应用，能根据性质得出是解此题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：菱形的对角线互相平分且垂直，矩形的对角线相等且互相平分，
菱形具有而矩形不一定具有的是两条对角线互相垂直．
故选：．
根据菱形的性质与矩形的性质，可求得答案．
此题考查了菱形的性质与矩形的性质．此题难度不大，注意熟练掌握菱形与矩形的性质定理．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求反比例函数解析式，求出点坐标是解题的关键．先由直线与轴交于点，与轴交于点，求出，，那么，根据：：，得出，求出，再把代入，解得的值，得到点坐标，然后将点坐标代入，即可求出的值．
【解答】
解：直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
，
：：，
，
，
，
把代入，
得，解得，
．
反比例函数的图象过点，
．
故选B．  

10.【答案】
 

【解析】解：设等边三角形的边长为，
则，符合“奇异三角形”的定义，故正确；
，
，
是奇异三角形，且，
，
由得：，，
：：：：，故错误；
，
，，
是半圆的中点，
，
，
，，
，
是奇异三角形，故正确；
由得：是奇异三角形，
，
当是直角三角形时，
由得：：：：：，或：：：：，
当：：：：时，
：：，即：：，
，
，
，，
，
；
当：：：：时，
：：，即：：，
，
，
，，
；
综上所述，的度数为或，故错误；
故选：．
设等边三角形的边长为，则，即可判断；
由勾股定理得出，由是奇异三角形，且，得出，由得出，，即可判断；
由勾股定理得出，，由已知得出，，即可得出是奇异三角形，即可判断；
由是奇异三角形，得出，分两种情况，由直角三角形和奇异三角形的性质即可得判断．
本题是四边形综合题目，考查了奇异三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握奇异三角形的定义、等边三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：
--提取公因式
--完全平方公式
故答案为：．
先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式的化简求值，正确开平方是解题关键．将分解为，进而开平方得出即可．
【解答】
解：．  

13.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：圆锥的侧面积，
故答案为：．
由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可得圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

15.【答案】答案不唯一
 

【解析】解：图象的对称轴是轴，
函数表达式答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．
根据形如或二次函数的性质直接写出即可．
本题考查了二次函数的性质，牢记形如的二次函数的性质是解答本题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：延长交格点于，连接，

则，，
，
，
．
故答案为：．
延长交格点于，连接，根据勾股定理和逆定理证明，根据三角形外角的性质即可得到结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：连接，如图所示：

是等腰三角形，
，
在矩形中，，
又，
≌，
，
，
，
当时，的值最小，
，
最小值，
故答案为：．
连接，易证≌，可得，根据垂线段最短，即可求出的最小值．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，垂线段最短等，本题综合性较强，证明是解题的关键．
 

18.【答案】 
 

【解析】解：延长，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，作于，如图，

在和中，
，
≌，
，
同理可得：≌，
，．
抛物线的顶点为，与轴交于点，
点，点，
，，，
．
，，
∽，
，
即：，
，
点的坐标为，
，，
，
，
所求函数的解析式为：．
故答案为．
延长，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，作于利用证明≌，得出，利用证明≌，得出，根据函数解析式求出点和点的坐标，再证明∽，求出，那么点的坐标为，即，，将代入，即可求出关于的函数关系式．
本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，正确作出辅助线，求出点的坐标是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
原式
．
 

【解析】利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义和零指数幂的意义解答即可；
利用多项式乘单项式和平方差公式运算，最后合并同类项即可．
本题主要考查了实数的运算，殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义和零指数幂的意义，平方差公式，单项式乘多项式，正确利用上述法则进行运算是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
，
，
，
所以，；
解得，
解得，
所以不等式组的解集为．
 

【解析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
分别解两个方程得到和，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．也考查了解不等式组．
 

21.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌；
≌，
，
，，
根据勾股定理，得，
，
，
在中，根据勾股定理，
得．
 

【解析】根据，可得，进一步根据证明全等即可；
根据全等三角形的性质，可得，根据勾股定理，可得，进一步在中根据勾股定理，即可求出的长．
本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

22.【答案】解：；

所获奖品总值不低于元有种情况：元、元、元、元，
所获奖品总值不低于元的概率为：．
 

【解析】

解：，
抽中元奖品的概率为．
故答案为：．
见答案．
【分析】
随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数，据此用除以，求出抽中元奖品的概率为多少即可；
首先应用树状图法，列举出随机翻张牌，所获奖品的总值一共有多少种情况；然后用所获奖品总值不低于元的情况的数量除以所有情况的数量，求出所获奖品总值不低于元的概率为多少即可．
此题主要考查了概率公式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数；还考查了列举法与树状图法求概率问题，解答此类问题的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图．  

23.【答案】解：；
根据题意得：，即的柱高为，
如图所示：
；
；
初赛成绩为的运动员杨强不一定进入决赛，理由为：
由高到低的初赛成绩中有人是，有人是，第人的成绩为，但是成绩为的有人，
杨强不一定进入复赛．
 

【解析】解：，
；
则扇形统计图中，初赛成绩为所在扇形图形的圆心角为；    
故答案为：；
见答案；
这次初赛成绩为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
这组初赛成绩的中位数为；
故答案为：；
见答案．
由的人数除以占的百分比求出总人数，进而确定出初赛成绩为所在扇形图形的圆心角即可；
求出的人数，补全条形统计图即可；
将这组初赛成绩按照从小到大顺序排列，确定出中位数即可；
初赛成绩为的运动员杨强不一定能进入复赛，从中位数角度考虑分析即可．
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
 

24.【答案】
 

【解析】解：如图，点，点即为所求；


连接．

四边形是矩形，
，，，
，
，
，
设，则有，
，
在和中，
，
≌，
，
．
以为圆心，为半径作弧交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，点，点即为所求；
利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理求出即可．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

25.【答案】证明：连接，如图，
为的直径，
，
即，
与相切于点，
，
，
即，
，
，
，
，
，
∽；
解：在中，，
设，，
，
∽；
：：，
即：：，
解得，
在中，，
的半径为．
 

【解析】连接，如图，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得，再证明，则可判断∽；
在中利用正弦的定义得到，则可设，，所以，接着利用∽，根据相似比可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的半径．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了圆周角定理、切线的性质和解直角三角形．
 

26.【答案】
 

【解析】解：由图象可知：直线的解析式为，
当时，，
；
当时，；
当时，；
当时，．
综上所述，；
河流污染发生后将侵袭到乙城，理由如下：
当时，，
当时，，
当时，令，
解得，，
，
，
河流污染发生后将侵袭到乙城．
求出直线的解析式即可解决问题；
分三个时间段分别求解即可；
分三个时间段分别求解即可解决问题．
本题考查一次函数的应用、待定系数法等知识，分段函数等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

27.【答案】解：抛物线与轴交于点，，
设，将点代入，
得：，
解得：，
；
该抛物线的函数表达式为；
如图，过点作轴于点，交于点，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设点，则点，
，
在中，，
，轴，
，
，
，
又，
∽，
，即，
，
当时，取得最大值为，
；
存在两种情况：
如图，四边形是菱形时，满足四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，

设，，
，
四边形是菱形，
，
，
解得：，，
；
如图，四边形是矩形时，满足四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，

由对称得：；
综上，点的坐标为或．
 

【解析】利用待定系数法即可求解；
如图，过点作轴于点，交于点，运用待定系数法求出直线的解析式为，设点，则点，利用∽，即可求得的长，运用二次函数性质即可求得答案；
如图，存在两种情况：四边形是矩形和菱形时满足既是中心对称图形，又是轴对称图形，根据各自的性质可得点的坐标．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，轴对称和中心对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质相关知识．
 

28.【答案】
 

【解析】解：的值不变，理由如下：
如图中，

四边形是矩形，
，，，
，
：：，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
．
的值不变．

如图中，当点在线段上时，连接，过点作于．

，
，
，，

，
，
，
∽，
，
．

如图中，当点在的延长线上时，同法可得，

，
综上所述，的长为或．

如图中，连接，，过点作于点．

，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，，
，
∽，
，
，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
当点在的延长线上时，的面积最大，最大值，
的面积的最大值为，
四边形的面积的最大值．
故答案为：．
解直角三角形求出，，，可得结论．
分两种情形：如图中，当点在线段上时，如图中，当点在的延长线上时，分别求出，，可得结论．
如图中，连接，，过点作于点解直角三角形求出，证明∽，推出，由题意，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当点在的延长线上时，的面积最大，最大值，由此可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．