2022长春普通高中高三质量监测（五）理数试卷（含答案）

长春市普通高中2022届高三质量监测（五）

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则子集的个数为（    ）

A．3 B．4 C．7 D．8

2．若，则（    ）

A．1 B． C．2 D．4

3．己知，，则（    ）

A． B． C． D．

4．2022年北京冬奥会开幕式倒计时环节把二十四节气与古诗词、古谚语融为一体，巧妙地呼应了今年是第二十四届冬奥会，更是把中国传统文化和现代美学完美地结合起来，彰显了中华五千年的文化自信．地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的．当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点．从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等等．待运行一周后就又回到春分点，此为一回归年，共360度，因此分为24个节气，则今年高考前一天芒种为黄经（    ）

A．60度 B．75度 C．270度 D．285度

5．当圆截直线所得的弦长最短时，m的值为（    ）

A． B． C．-1 D．1

6．已知等差数列的前n项和为且，若，则n的值为（    ）

A．8 B．9 C．16 D．18

7．甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的得分用茎叶图表示，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好，则下列结论正确的是（    ）

A．甲得分的极差是11  B．甲的单场平均得分比乙低

C．甲有3场比赛的单场得分超过20 D．乙得分的中位数是16.5

8．对任意不相等的两个正实数，，满足的函数是（    ）

A． B． C． D．

9．已知中，，，，点P为边AB上的动点，则的最小值为（    ）

A．-4 B．-2 C．2 D．4

10．在矩形ABCD中，O为BD中点且，将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角为90°，则直线AO与CD所成角余弦值为（    ）

A． B． C． D．

11．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记，则在x轴正方向和y轴正方向的夹角为的斜坐标系中，下列选项错误的是（    ）

A．当时与距离为

B．点关于原点的对称点为

C．向量与平行的充要条件是

D．点到直线的距离为

12．已知函数，若函数与的图像恰有6个不同的公共点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．展开式中的常数项是______．

14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的S为，则判断框中实数x的取值范围是______．

15．防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染，某家庭预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径为12cm的碗（防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计）完全罩住，则所选防蝇罩的半径至少为______cm．（结果取整数）

16．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线的离心率为______．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必：题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面ABCD，E为PD的中点．

（1）证明：平面AEC；

（2）设，，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．

18．（12分）

某学校组织教职工运动会，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目．比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球（机会均等），此后均由每个球的赢球者发下一个球．对于每一个球，若发球者赢此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分；有一人得6分及以上或是两人分差达3分时比赛均结束，得分高者获胜．已知在选手甲和乙的对垒中，甲发球时甲赢得此球的概率是0.6，乙发球时甲赢得此球的概率是0.5，各球结果相互独立．

（1）假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求三次发球后比赛结束的概率；

（2）在某局3：3平后，接下来由甲发球，两人又打了X个球后比赛结束，求X的分布列及数学期望．

19．（12分）

已知数列和满足，，，．

（1）证明：是等比数列；

（2）求数列的前n项和．

20．（12分）

已知函数．

（1）当且时，试判断函数的单调性；

（2）若在R上是单调函数，求ab的最小值．

21．（12分）

如图，曲线是以原点O为中心，、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分，A是曲线和的一个交点，且为钝角，若，．

（1）求曲线和所在椭圆和抛物线的方程；

（2）过作一条与x轴不垂直的直线，分别于曲线和交于B、E、C、D四点，若G为CD中点，H为BE中点，问是否为定值．若是，请求出此定值；否则请说明理由．

（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

已知曲线经过变换得到曲线，曲线的参数方程为．

（1）写出曲线的极坐标方程，曲线的普通方程；

（2）已知直线分别与曲线、交于A、B两点，直线分别与曲线、交于C、D两点，求四边形ABCD的面积．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数，M为不等式的解集．

（1）求M；

（2）若a，，且，证明：．