河南省百所名校2022届普通高校招生全国统一考试猜题压轴卷 文数 含答案

2022年普通高校招生全国统一考试猜题压轴卷（A）

文科数学

本试卷满分150分，考试用时120分钟．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知条件p：直线2x＋y－4＝0与直线平行，条件q：a＝1，则p是q的（    ）

A．充要条件  B．充分不必要条件

C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

4．笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即文房四宝．“笔、墨、纸、砚”之名，起源于南北朝时期．历史上，“笔、墨、纸、砚”所指之物屡有变化．在宋朝时，“笔、墨、纸、砚”特指宣笔（安徽宣城）、徽墨（安徽徽州歙县）、宣纸（安徽宣城泾县）、歙砚（安徽徽州歙县）、洮砚（甘肃卓尼县）、端砚（广东肇庆，古称端州）．若从宋朝特指的六种文书工具中任取两种，则这两种恰好都是产自安徽的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（    ）

A．32 B．16 C．8 D．4

6．如图，在长方体中，M，N分别为棱，的中点，有下列三个判断：

①直线与BN是异面直线；

②AD⊥平面；

③BN∥平面ADM．

则上述判断中正确的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

7．若关于x的不等式有实数解，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．在矩形ABCD中，AB＝2AD＝12，点E，F分别是AB，CD的中点，沿EF将四边形AEFD折起，使∠AEB＝60°，若折起后点A，B，C，D，E，F都在球O的表面上，则球O的表面积为（    ）

A． B． C． D．

9．已知抛物线C：的焦点为F，点为抛物线C上的一点，且，点B是抛物线C上异于点A的一点，且A，F，B三点共线，则（    ）

A． B． C． D．

10．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形ABCD，若四边形ABEF的面积为7，则（    ）

A． B．－4 C． D．－2

11．已知函数，若存在，，…，满足，且，则m的最小值为（    ）

A．10 B．8 C．6 D．5

12．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，且，则双曲线C的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某快递驿站统计了近期每天代收快件的数量，并制成如下图所示的频率分布直方图．

则该快递驿站每天代收包裹数量的中位数为______．

14．已知不等式组表示的平面区域为，则直线被截得的线段长度的最大值为______．

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，，则角B的大小为______．

16．已知函数为奇函数，且对定义域内的任意x都有．当时，．给出以下4个结论：

①函数的图象关于点成中心对称；

②函数是以2为周期的周期函数；

③当时，；

④函数在上单调递减．

其中所有正确结论的序号为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答，公众号拾穗者的杂货铺．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

在数列中，，数列的前n项和满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

18．（12分）

如图，四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，，E是SD上的点，且．

（1）求证：AC⊥BE；

（2）若点B到平面ACE的距离为，求实数的值．

19．（12分）

某校体育教研组研发了一项新的课外活动项目，为了解该项目受欢迎程度，在某班男生女生中各随机抽取20名学生进行调研，统计得到如下列联表：

（1）根据题目要求，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“喜欢该活动项目与性别有关”；

（2）为了了解喜欢该活动与年级的关系，已知该校高一、高二、高三的学生分别为3600人，2400人，1200人，按分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从6人中随机抽取2人进行调查结果对比，求这2人中至少1人是高一学生的概率．

附：

参考公式：，n＝a＋b＋c＋d．

临界值表：

20．（12分）

已知函数．

（1）当时，证明：；

（2）若函数的图象恒在直线y＝1的下方，求实数a的取值范围．

21．（12分）

已知椭圆C：的离心率为，长轴右端点到左焦点的距离为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P是圆O：上的一点，过P作圆O的切线l，且切线l与椭圆C交于A，B两点，证明：OA⊥OB．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，公众号拾穗者的杂货铺．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

已知曲线C的极坐标方程为，直线：，直线：．以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．

（1）求直线，的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；

（2）已知直线与曲线C交于O，A两点，直线与曲线C交于O，B两点，求△AOB的周长．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若直线y＝kx－2与函数的图象有公共点，求实数k的取值范围．

参考答案

1．B  易知，故．

2．D  由题意知复数z＝－1＋2i，则．

3．A  若直线2x＋y－4＝0与直线平行，则，故a＝1或．

当a＝1时，即为2x＋y－1＝0，此时直线2x＋y－4＝0与直线平行；当时，为，即2x＋y－4＝0，此时直线2x＋y－4＝0与直线重合．故p是q的充要条件．故选A．

4．D  由题意可知宋朝“笔、墨、纸、砚”有6种，其中4种产自安徽，从6种当中选2种，共有15种情况，且每种情况发生的概率相同，其中两种全部来自安徽的情况共有6种，所以所求概率为．

5．B  当a＝2时，进入循环，b＝2，a＝3；当a＝3时，再次进入循环，，a＝4；当a＝4时，再次进入循环，，a＝5．所以当a＝5时应跳出循环，故输出b的值为16．

6．C  由图易得，BN是异面直线，AD⊥平面，①②正确；

BN∥平面，BN与AD不平行，显然BN与平面ADM不平行，故③错误．

7．A  由题知，而，所以，且．

因为关于x的不等式有实数解，所以．

8．C  易得△ABE，△DCF都是边长为6的正三角形，设△ABE的中心为，△DCF的中心为，则球心O为线段的中点，易求得，，所以球O的半径，所以球O的表面积为．

9．A  由，解得．则抛物线C：，，，

设，因为A，F，B三点共线，所以，解得（b＝1舍去），

故，．

10．D  设正方形ABCD的边长为a，则阴影部分面积，所以a＝4，．

11．C  ∵对任意，，都有，要使m取得最小值，尽可能让取得最值点，考虑，，按下图取值可满足条件，∴m的最小值为6．

12．B  如图，因为，则取AB中点M，连接，可得，

设，因为，则，

又因为，则，，

则，则．

在中，，在中，，

所以，解得．因为直线l的斜率为，

所以，所以，，

所以离心率．故选B．

13．260  由题意知每天代收快件数量的中位数为．

14．  由约束条件作出不等式组表示的平面区域如图（阴影部分），作出直线l：2x＋y＝0，将直线l平移经过直线x＋y＝2与直线x＝3的交点时，直线被截得的线段长度最大，此时直线l与直线y＝x的交点，所以．

15．  由，得，则由余弦定理有．又，所以．由正弦定理得，解得，又，，所以．

16．①②③  由题设为奇函数，其图象关于原点中心对称，又对定义域内的任意x都有，所以其图象还关于点对称，据此可判断函数为周期函数，2是函数的周期．又当时，，画出函数图象可知①②正确，④错误．

当时，，所以，又因为函数是以2为周期的奇函数，所以，所以，所以③也正确．

17．解：（1）因为，所以．

所以当时，．

两式相减，得，

即．

所以．

相减得，

即．

所以数列是等差数列．

当n＝1时，，解得．

所以公差．

所以．

（2），

当n为奇数时，；

当n为偶数时，．

综上所述，

18．（1）证明：连接BD，由底面ABCD是正方形，可得AC⊥BD．

∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC，又，∴AC⊥平面SBD．

∵平面SBD，∴AC⊥BE．

（2）解：设点B到平面ACE的距离为h．

△ABC的面积，

故三棱锥E－ABC的体积．

，

△AEC的面积，

故三棱锥B－AEC的体积．

由可得，解得，又，

∴，解得．

即实数的值为．

19．解：（1）完成2×2列联表如下：

将a＝15，b＝5，c＝8，d＝12代入，得，故有95%的把握认为“喜欢该活动项目与性别有关”．

（2）从7200人中按照分层抽样的方法随机抽取6人，则高一、高二、高三分别抽取的人数为3，2，1．

记3名高一学生为，，，2名高二学生为，，1名高三学生为，

抽取的全部结果为，，，，，，，，，，，，，，，共15种．

至少1人是高一的有，，，，，，，，，，，，共12种．

所以至少1人是高一学生的概率为．

20．解：（1）当时，．

欲证，即证，

即证．令，

则．当时，，当时，，

所以函数的最大值为，故，

所以．

（2）函数的定义域为，，

令，，当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数的最大值为．由题意知，，，

即实数a的取值范围是．

21．（1）解：由题意知，

解得a＝2，，b＝1

所以椭圆C的方程为．

（2）证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为．

当直线AB的方程为，此时，即OA⊥OB；

当直线AB的方程为，此时，即OA⊥OB．

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，，．

因为直线AB与圆O相切，所以，即．

将直线AB的方程代入椭圆方程，得，

则，

所以，，

所以，

，

即OA⊥OB．

综上所述，OA⊥OB．

22．解：（1）依题意，直线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为．

由，得．

∵，，，

∴，即，

∴曲线C的参数方程为（为参数）．

（2）由得，

由得，

又，由余弦定理可得，∴△AOB的周长．

23．解：（1）不等式即为，

∴或或

解得或或，

综上可得，，

∴不等式的解集为．

（2）由（1）得

作出函数的图象，如图所示：

由于直线y＝kx－2过定点，

当此直线经过点时，可得；当此直线与直线AD平行时，可得k＝－2．

结合图象可知，当直线y＝kx－2与函数的图象有公共点时，或．

故实数k的范围为．