高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算教学设计

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教 案教学基本信息课题向量的数乘运算的应用学科数学学段：高中 年级高一教材书名：  普通高中教科书数学必修第二册  出版社：人教社A版            出版日期：    2019年  6月  教学目标及教学重点、难点本节课由向量数乘运算的定义出发，探究非零向量a与向量b共线的充要条件，即向量共线定理，并对该定理的应用进行探究和练习。在这个过程中，体会数学逻辑的严谨性，以及向量在解决几何问题中的工具性，提升直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学素养。 教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入    上节课，我们学习了向量的数乘运算，这节课我们继续学习向量数乘运算的应用，在学习之前，我们先复习一下向量的数乘的定义：    一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ倍向量a，它的长度与方向规定如下：  (1)  | λa | ＝ | λ | | a | ；            (2)  当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；                  当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反.特别地，当 λ ＝ 0 时，λa ＝ 0. 承上启下，为本节.课的学习做好铺垫。新课探究1若 b ＝ λa，那么 b 与 a 有怎样的位置关系？当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；   当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反.当 λ ＝ 0 时，λa ＝ 0.       方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.       规定零向量与任意向量平行.       平行向量也叫共线向量.结论： b = λa        b // a .a λa 探究2若b//a ，是否存在实数λ，使得b=λa？(1)当a≠0， b≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(2)当a≠0， b=0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(3)当a=0， b≠0时，不存在这样的实数λ，使得b=λa.(4)当a=0， b=0时，λ取任意实数，都使得b=λa. 结论：所以当b//a ，a≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa. 问题：若存在唯一一个实数λ，使得b=λa能推出 b//a ，a≠0吗？分析：若a=0，则b=λa=0，此时，λ可以取任意实数，不唯一.定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa.   判断：(1)  向量a(a≠0)与b共线，则存在实数λ，使得a=λb；   (         )(2) b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得λa=μb； (         )(3)若向量a与b不共线，且λa=μb，则实数λ=μ=0.(         ) 应用1若存在实数λ，使b=λa，则向量a与b共线。1．证明向量共线例如：已知，试证向量a，b共线。2．证明两直线平行   ，且直线AB与CD不重合       直线 AB//CD  3．证明三点共线A,B,C三点共线或 或 ……   引导学生发现向量的数乘运算中其实就蕴含了向量的平行，并从几何角度进行了适当的阐述，希望学生能直观地角度加以理解。进而得出要推证的定理。       提出探究问题通过对不同情形的分析，培养学生思考问题的严密性，逻辑推理的严谨性 推理得出结论是正确的 进一步提出要探究的问题引发学生的思考 学生体会反证法在证明中的作用 师生一起归纳得出定理的内容，培养学生的归纳能力，语言表达能力  通过辨析题，让学生加深对定理的理解与认识     引导学生从多方面发现定理的运用必要性解决问题的常见类型： （1）证明向量共线，并举例说明，(2) 证明两直线平行,(3) 证明三点共线培养学生善于思考，勇于探究的学习习惯    例题例1   已知任意两个非零向量a，b，试作  ，．猜想 A，B，C三点之         间的位置关系，并证明你的猜想．猜想：A，B，C三点共线.证明：∴ A，B，C三点共线.  通过学生操作、观察，掌握利用向量共线判断三点共线的方法，培养学生综合运用向量知识解决问题的能力，发展直观相象和逻辑推理素养。新课应用2若向量a(a≠0)与b共线，则 存在唯一一个实数λ，使b=λa.与非零向量a同向的单位向量为_______ .与非零向量a共线的单位向量为_____. 进一步提出定理的用法，加深对定理的理解例题例2   已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，共线，求实数t的值．解：∵  a，b不共线，，∵  a，b不共线，∴a // b .与已知矛盾.  让学生熟练运用向量共线定理，体会知识之间的联系。总结本节课从复习向量数乘运算的定义出发，探究了非零向量a与向量b共线的充要条件（定理），并对该定理的应用进行了探究和练习。在这个过程中，充分体现了数学逻辑的严谨性，向量在解决几何问题中的工具性，让我们的直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学素养得以提升。  总结概况所学内容，方法，让学生形成反思的习惯，提升分析问题解决问题的能力。业1．已知a，b是不共线的向量，且 ，，    ，则(           )．(A)  A，B，D三点共线(B)  A，B，C三点共线(C)  B，C，D三点共线(D)  A，C，D三点共线2．已知若 ，  是不共线的向量，且， ，若a与b是共线向量，求实数k的值． 巩固所学内容