2021-2022学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期中考试数学试卷含答案

这是一份2021-2022学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期中考试数学试卷含答案，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 长郡中学2021—2022学年度高一第二学期期中考试数学时量：120分钟  满分：100分得分_____________一、选择题（共8道小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知平面向量，，，则A.-2   B.-8   C.6   D.42.复数满足（i为虚数单位），则的共轭复数的虚部为A.5i.   B.5   C.-i   D.-13.已知，，，则A.2   B.   C.1   D.4.如图为正八边形，其中为正八边形的中心，则A.   B.   C.   D.5.设为平面，点，则下列结论正确的是A.过点有且只有一条直线与平行   B.过点没有直线与平行C.过点有且只有一个平面与平行   D.过点有无数个平面与平行6.在中，，，.则A.   B.   C.   D.7.若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是A.   B.   C.   D.8.如图，在正四棱台中，，，若半径为的球与该正四棱台的各个面均相切，该球的表面积A.   B.   C.   D.二、选择题（共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知复数，，则下列结论正确的是A.若，则   B.若，则C.      D.若，则10.设，为两个平面，则的充分条件可以是A.内的所有直线都与平行   B.内有三条直线与平行C.和平行于同一条直线   D.和都平行于同一平面11.青花瓷（blue  and  white  porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是A.   B.2   C.   D.312.如图，正方体中，点E，F，G，H，I分别为棱AB，CD，BC，，AD的中点，则下列结论正确的是A.   B.C.平面  D.平面三、填空题（共4道小题，每小题3分，共12分）13.在中，，，，则__________.14.长方体的外接球的表面积为，，，则长方体的体积为__________.15.已知平行四边形中，，点为边的中点，则的值为__________.16.如图，正四面体的体积为，E、F、G、H分别是棱AD、BD、BC、AC的中点，则_________，多面体的外接球的体积为__________.（注：第1空1分，第2空2分）四、解答题（本题共6小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分8分）如图，四边形中，，，，，，为锐角.（1）求；（2）求四边形的面积.18.（本小题满分8分）已知向量，满足，，.（1）求与的夹角；（2）若，求的值.19.（本小题满分8分）已知复数，满足.（1）求；（2）求.20.（本小题满分8分）如图，在三棱柱中，点是棱的中点，，，分别是CP，AC，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.21.（本小题满分8分）（1）如图，，不共线，是直线上的动点，证明：存在实数，，使得，并且.（2）用向量法证明下列结论：三角形的三条中线交于一点.22.（本小题满分8分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，点B、C、D在底面圆周上，，，，M为线段OD上一点，，A为PC的中点.（1）证明：平面POB；（2）求四棱锥的体积.
长郡中学2021—2022学年度高一第二学期期中考试数学参考答案一、选择题（共8道小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号12345678答案BDBACDDC二、选择题（共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）题号9101112答案ABCADBCDACD三、填空题（共4道小题，每小题3分，共12分）13.14.15.916.1，四、解答题（本题共6小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【解析】（1）连接，因为，为锐角，所以，在中，由余弦定理得，，所以.（2）在中，因为，所以为直角三角形，，的面积为，的面积为，所以四边形的面积.18.【解析】（1）∵，∴，∴，∴.∵，∴，∴与的夹角为.（2）∵，∴，，，解得.19.【解析】（1）因为复数，又因为，所以，解得所以.（2）.20.【解析】（1）证明：如图，连接AP，在中，∵R，Q分别是AC，PC的中点，∴.又平面，平面，（注：表示直线的两个字母都包含在表示平面的几个字母之中，则可以不书写直线在平面内，否则必须书写.但直线不在平面内必须书写，不书写该步骤不给分.）∴平面.（2）如图，在中，∵E，P分别是，的中点，∴.又平面，平面（注：此处“平面”可以不书写），∴平面.在平行四边形中，∵，分别是，的中点，∴.又平面，平面，∴平面.又，∴平面平面.21.【解析】（1）因为是直线上的动点，所以不妨设（为实数），则，，令，，则有，并且.所以存在实数，，使得，并且.（2）如图，中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，求证：AD、BE、CF交于一点.（注：此处对定理的已知和求证必须说明（符号化），不书写该步骤不给分.）证明：不妨设BE、CF交于一点G，连接AG，因为D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，所以，，，根据（1）的结论得，在中，，，，为实数.在中，，，，为实数.所以  解得所以，即，，A、G、D三点共线，所以AD、BE、CF交于一点.22.【解析】（1）如图，由已知得.取BP的中点T，连接OT，TA，由A为PC中点知，.又，故，四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）因为A为PC的中点，所以A到平面OBCM的距离为.取BC的中点E，连接OE，OC.由得，.由得四边形为梯形，故.所以四棱锥的体积.