2020-2021学年陕西省榆林市第十中学高一下学期期末数学试题含答案

2020-2021学年陕西省榆林市第十中学高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．在等差数列中，若，则（       ）

A．9 B．18 C．27 D．36

【答案】A

【分析】根据等差中项，可知，由此即可求出结果.

【详解】因为数列是等差数列，由等差中项可知，

所以.

故选：A.

2．不等式的解集为（       ）

A． B．

C．或 D．

【答案】A

【解析】将不等式变形为，再根据二次不等式求解即可.

【详解】解：原不等式等价于，解得.

故不等式的解集为.

故选：A.

3．若a，b，c为实数，且，则下列不等关系一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的性质，结合特例法逐一判断即可.

【详解】A：当时，显然不成立；

B：当时，显然没有意义；

C：当时，显然不成立；

D：根据不等式的性质，由能推出，

故选：D

4．（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据两角和的正切公式计算可得；

【详解】解：

故选：B

5．若，且，则的最大值为（       ）

A．4 B．2 C． D．

【答案】A

【分析】直接利用基本不等式计算可得；

【详解】解：因为，且，所以，当且仅当时取等号；

故选：A

6．已知数列满足：，，则（       ）

A．16 B．12 C．9 D．4

【答案】C

【分析】根据递推公式求解

【详解】，则，．

故选：C

7．已知等比数列的各项均为正数，且，则（       ）

A．12 B．10 C．8 D．

【答案】B

【分析】由等比数列的性质求解

【详解】为等比数列，则．

故选：B

8．已知二次函数，若对任意实数x，恒有，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】依题意恒成立，且，即可得到不等式组，解得即可；

【详解】解：依题意恒成立，且，所以，解得，即；

故选：C

9．已知函数（，）的部分图象如图所示，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，即可得到函数的解析式；

【详解】解：由图可知，

，解得，

函数，

，可得，，

解得，，

，

，可得，

故选：C

10．设x，y满足约束条件，则z＝2x＋y的最小值是（       ）

A．－15 B．－9 C．1 D．9

【答案】A

【分析】作出可行域，z表示直线的纵截距，数形结合知z在点B(－6，－3)处取得最小值.

【详解】作出不等式组表示的可行域，如图所示，

目标函数，z表示直线的纵截距，

，

数形结合知函数在点B(－6，－3)处纵截距取得最小值，

所以z的最小值为－12－3＝－15.

故选：A

【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.

11．把函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（       ）

A． B．1 C． D．

【答案】D

【分析】由题意逆向利用函数的图像变换规律求出的解析式，再代入计算可得．

【详解】解：依题意，将向左平移个单位长度得到，再将横坐标伸长为到原来的倍，纵坐标不变得到，

即，所以；

故选：D

12．一艘故障渔船在A点处正以15海里/小时的速度向正西方向行驶，救援船从位于A点北偏西方向相距海里的B点出发，需在1小时内（含1小时）接应到故障船，则救援船的速度最小应为（       ）

A．10海里/小时 B．15海里/小时 C．海里/小时 D．20海里/小时

【答案】B

【分析】由题意，当故障船刚好1个小时得到救援时救援船的速度最小，若速度为，应用余弦定理即可求.

【详解】如下图，若为正西方向，为救援船、故障渔船的相遇点，且，

∴要使1小时内（含1小时）接应到故障船，若刚好1个小时得到救援，设救援船的最小速度为，此时，

∴由余弦定理：，则海里/小时.

故选：B

二、填空题

13．若，，，则___________.

【答案】

【分析】本题可根据向量的坐标运算法则得出结果.

【详解】因为，，，

所以，，

则，

故答案为：.

14．若0<a<1，则不等式(a－x) >0的解集是________．

【答案】

【分析】将原不等式化为，再根据的取值范围，得到与的关系，从而得解；

【详解】解:原不等式即，

由，得，所以．

所以不等式的解集为．

故答案为：．

【点睛】本题考查含参的一元二次不等式的解法，属于基础题.

15．如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若，用表示________.

【答案】

【分析】利用平面向量的线性运算求得正确答案.

【详解】

.

故答案为：

16．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．

【答案】

【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.

【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，

数列是以1首项，以3为公差的等差数列，

所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，

所以的前项和为，

故答案为：.

【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.

三、解答题

17．已知.

(1)化简；

(2)若是第四象限角，且，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用诱导公式化简即可；

（2）利用诱导公式化简求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，即可得解；

【详解】(1)解：

.

(2)解：，即，

又是第四象限角，

.

.

18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求；

(2)若，的周长为，求的值.

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；

（2）利用余弦定理得到，再根据三角形的周长得到，代入计算可得；

【详解】(1)解：因为，

由正弦定理得.

.

又，且，，

.

(2)解：由余弦定理，得.

，则.

，，

.

19．等比数列中，．

（1）求的通项公式；

（2）记为的前项和．若，求．

【答案】（1）或 .

（2）.

【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．

详解：（1）设的公比为，由题设得．

由已知得，解得（舍去），或．

故或．

（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．

若，则．由得，解得．

综上，．

点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．

20．已知函数（其中），求：

（1）函数的最小正周期;

（2）函数的单调区间;

【答案】（1）（2）单调增区间为单调减区间为

【详解】试题分析：（Ⅰ）化简函数解析式为，利用周期公式求出f（x）的最小正周期．（Ⅱ）令，解得x的范围，即可得到f（x）的单调增区间，同理可得减区间

试题解析：（1）

．所以的最小正周期为

（2）由

得

所以的单调增区间为

所以的单调减区间为

【解析】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性

21．在平面直角坐标系中，已知向量，，.

(1)若，求的值；

(2)若函数，求函数的最值.

【答案】(1)1

(2)，.

【分析】（1）利用向量的坐标运算，直接计算，即可求出的值

（2）先计算，然后根据的范围，计算的范围，进而利用进行换元法，求解得到的最值

【详解】(1)，，，

，即，

又，所以，

.

(2)，

.

，，

.

令，则，.

，.

综上所述，函数的最值：最小值为，最大值为

22．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＋a13＝26，S9＝81.

（1）求{an}的通项公式；

（2），Tn＝b1＋b2＋＋bn，若30Tn－m≤0对一切n∈N成立，求实数m的最小值.

【答案】（1）an＝2n－1；（2）5.

【分析】（1）根据等差数列的性质求出公差，即可得出其通项公式；

（2）利用裂项相消法求出，再由随着n的增大而增大结合不等式的性质，即可得出实数m的最小值.

【详解】（1）∵等差数列{an}中，a1＋a13＝26，S9＝81

∴解得

∴

∴an＝a5＋(n－5)d＝9＋2(n－5)＝2n－1.

（2）∵

∴

∵随着n的增大而增大，知{Tn}单调递增.

又

∴实数m的最小值为5.

【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算以及利用裂项相消法求数列的和，属于中档题.