陕西省西安交通大学附属中学2022届高三下学期全真模拟（三）理科数学试题

陕西省西安交通大学附属中学2022届高三下学期全真模拟（三）

理科数学试题

第I卷（选择题）

1．已知命题，使成立，则为（       ）

A． B．

C． D．

2．已知集合，，则

A． B． C． D．

3．已知数列中，，则（       ）

A． B． C． D．

4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为

A． B．

C． D．

5．若，则（       ）

A． B． C． D．

6．举世瞩目的第届冬奥会于年月日至月日在北京举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊位大学生志愿者前往、、、四个场馆服务，每个场馆至少分配一位志愿者.由于工作需要甲同学不能去场馆，则所有不同的安排方法种数为（       ）

A． B． C． D．

7．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中；5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：

137   966 191   925   271   932   812   458   569   683

431   257 393   027   556   488   730   113   537   989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（   ）

A．0.40 B．0.30

C．0.35 D．0.25

8．已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象关于y轴对称，则的最小值为（       ）

A．1 B．2 C． D．5

9．若复数z满足，其中i为虚数单位，则z对应的点满足方程（       ）

A． B．

C． D．

10．点在抛物线上，则到直线的距离与到直线的距离之和的最小值为（       ）

A． B．

C． D．

11．在三棱锥中，平面，，且，则三棱锥外接球的体积等于（       ）

A． B． C． D．

12．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

13．若随机变量，，则______．

14．设数列的前项和为，，则_____.

15．在区间上随机选取一个实数，则事件“”发生的概率为__________．

16．如图，，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若，且，则与的离心率之积为_____.

17．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求A的大小；

（2）若，且，求a的值.

18．随着数字化信息技术的发展，网络成了人们生活的必需品，它一方面给人们的生活带来了极大的便利，节约了资源和成本，另一方面青少年沉迷网络现象也引起了整个社会的关注和担忧，为了解当前大学生每天上网情况，某调查机构对某高校男生、女生各50名学生进行了调查，其中每天上网的时间超过8小时的被称为“有网瘾”，否则被称为“无网瘾”．调查结果如下：

(1)将上面的2×2列联表补充完整，再判断是否有的把握认为“有网瘾”与性别有关，说明你的理由；

(2)现从被调查的男生中按分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机选取3人参加座谈会，记这3人中“有网瘾”的人数为X，试求X的分布列与数学期望．

参考公式：，其中

参考数据：

19．如图，在四棱锥中，PA平面ABCD，，，AD=2.

(1)求证：平面PCD⊥平面；

(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

20．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距为．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设过点的动直线l与椭圆E交于C，D两点，是否存在定实数t，使得为定值？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．

21．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)若，对任意的恒成立，求m的最大值．

22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)将曲线和直线化为直角坐标方程；

(2)过原点引一条射线，分别交曲线和直线于，两点，射线上另有一点满足，求点的轨迹方程.

23．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

参考答案：

1．D

【解析】

根据全称量词命题与存在量词命题的知识确定正确选项.

【详解】

原命题是存在量词命题，其否定为全称量词命题，注意到要否定结论，所以D选项正确.

故选：D

2．B

【解析】

【详解】

∵集合，，∴，故选B.

3．D

【解析】

【分析】

令，由等差数列的性质及通项可得，即可得解.

【详解】

令，则，，

所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以，

所以.

故选：D.

4．C

【解析】

【详解】

解：由题意可知：该几何体上半部分为半球，下半部分为正方体，且正方体的面内切于半球的截面，且正方体的棱长为2，

， ，

该几何体的体积为： .

本题选择C选项.

5．A

【解析】

【分析】

首先根据同角三角函数关系和正弦二倍角公式得到，再利用诱导公式求解即可.

【详解】

将两边平方可得，则，.

故选：A

6．C

【解析】

【分析】

分两种情况讨论：①场馆安排人；②场馆安排人.再安排其余三个场馆的志愿者，结合分类加法计数原理可得结果.

【详解】

分以下两种情况讨论：

①若场馆安排人，则其余人分为三组，每组人数分别为、、，分为三组后再分配给、、三个场馆，

此时，安排方法种数为；

②若场馆安排人，则其余三个场馆各安排人，此时，安排方法种数为.

综上所述，不同的安排方法种数为种.

故选：C.

7．D

【解析】

【详解】

试题分析：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下组随机数，在组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：137,271,932,812,393共5组随机数，所以所求概率为，故选D．

考点：古典概型及其概率的计算．

8．D

【解析】

【分析】

根据辅助角公式，结合正弦型函数的奇偶性进行求解即可.

【详解】

，

因为该函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，

所以，

因为的图象关于y轴对称，

所以是偶函数，

因此有，

因为，所以当时，有最小值，最小值为5，

故选：D

9．C

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用复数模的意义直接计算作答.

【详解】

在复平面内，复数z对应的点为，则，，

因，于是得，

所以z对应的点满足方程是：.

故选：C

10．B

【解析】

【分析】

由抛物线定义可知最小值就是焦点到直线的距离，由点到直线距离公式得解.

【详解】

由抛物线定义到直线的距离等于到抛物线焦点距离，

所以到直线的距离与到直线的距离之和的最小值，

即焦点到直线的距离：.

故选:B.

11．C

【解析】

【分析】

将三棱锥放入一个长方体中，求出长方体的体对角线即为长方体外接球的直径，利用球的体积公式即可求解.

【详解】

因为三棱锥中，平面，

不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，

因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，

因为，则长方体的长宽高分别为

所以三棱外接球的半径为

.

所以三棱锥外接球的体积为

.

故选：C.

12．A

【解析】

【分析】

令，故，原不等式变为，进而令，利用最值分析法，通过对的导数进行讨论，利用导数的性质，即可得到原不等式恒成立时，的取值范围.

【详解】

由题意得，，令，故，故.令，则.

若，则，则在上单调递增，又，则当时，，不合题意，舍去；

若，则当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增.

因为，所以若，则当，，舍去；若，则当，，舍去；若，则，符合题意，故.

故选：A

13．0.4##

【解析】

【分析】

根据正态分布的对称性进行求解.

【详解】

由正太分布的对称性可知：

故答案为：0.4

14．

【解析】

【分析】

利用求得.

【详解】

当时，，

当时，，

所以，

也符合上式，

所以.

故答案为：

15．

【解析】

【分析】

在区间上，，求出的范围，然后利用几何概型的概率公式求解即可．

【详解】

在区间上，，解得，则.

【点睛】

本题考查了利用几何概型的概率公式求概率，考查了学生的计算能力，属于基础题．

16．2

【解析】

【分析】

根据已知条件结合椭圆的对称性可求出，，再根据椭圆和双曲线的定义以及离心率公式求出离心率即可求解.

【详解】

解：连接，根据椭圆的对称性可知：点是的中点，

所以，四边形为平行四边形，

若，所以，

因为，所以，所以是等边三角形，

所以，，，

所以，四边形为矩形，

所以，在直角三角形中，，

所以，，

在椭圆中，，可得

在双曲线中，，可得

所以离心率之积，

故答案为：.

17．（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）正弦定理边化角得解；（2）由数量积得bc值，结合题目等式和余弦定理求解a

【详解】

（1）由正弦定理得

（2）若，则，故，由余弦定理得=2

18．(1)列联表见解析，有的把握认为“有网瘾”与性别有关

(2)分布列详见解析，

【解析】

【分析】

（1）由题意，完成2×2列联表，然后根据参考公式计算出并结合临界值表即可求解；

（2）根据超几何分布即可求出X的分布列，由期望公式即可求解X的数学期望.

(1)

解：根据题意，列联表如下:

，                                                                                          

所以有的把握认为“有网瘾”与性别有关；

(2)

解：由题意，“有网瘾”中抽取（人） “无网瘾”中抽取（人），                                     

X的所有可能取值为0，1，2，                                                    

，，，

所以随机变量X的分布列为：

故.

19．(1)证明见解析；

(2).

【解析】

【分析】

（1）取的中点，连接，证明，，由线面垂直判定定理知平面，再由面面垂直的判定定理得证；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

(1)

取的中点，连接，如图，

因为AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，所以，∥，

所以四边形为平行四边形，

所以，所以，                    

因为平面，平面，所以，

因为，所以平面，

因为平面，所以平面平面.

(2)

过点作于，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

在等腰梯形中，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，

则，

所以，，

设平面的法向量为，因为 ，

所以，令，则，   

设平面的法向量为，因为，

所以，令，则，        

所以.

20．(1)

(2)存在实数，使得为定值

【解析】

【分析】

（1）根据题目信息得到关于的方程组，求出，得到椭圆方程；

（2）分直线斜率存在和不存在两种情况，进行求解，当直线斜率存在时，得到，求出，再验证斜率不存在的情况是否成立.

(1)

由题意得：，，所以，，

解得：，

所以椭圆E的方程为

(2)

设直线斜率存在时，设为，

与联立得：

设，

则，

因为，

所以

，

当且仅当，即，时，

当直线斜率不存在时，，若，

则，

故存在实数，使得为定值5.

【点睛】

圆锥曲线定点问题，设出直线方程，联立圆锥曲线，得到两根之和，两根之积，利用题干条件得到等量关系，进而求解出定点，注意直线斜率不存在的情况.

21．(1)递增区间为，递减区间为

(2)3

【解析】

【分析】

（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调区间；

（2）首先参变分离为，设函数，利用导数转化为求函数的最小值，即可求得的最大值.

(1)

函数的定义域为，

由，令可得，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

∴函数的递增区间为，递减区间为．

(2)

当时，不等式可化为，

设，由已知可得，

又，

令，则，

∴在上为增函数，

又，，

∴存在，使得，即．

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

∴，∴，

∴m的最大值为3．

22．(1)，

(2)（去掉）

【解析】

【分析】

（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换

（2）利用极径的应用建立等量关系，进一步求出直角坐标方程

(1)

由C的参数方程：，

∴C：，

由得∴.

(2)

设，，

则，，即，

由得即，

∴即，

∵∴M的轨迹方程为（去掉）.

23．(1)或

(2)

【解析】

【分析】

（1）当时，写出函数的解析式，再分类讨论分别求出不等式的解集，即可得解；

（2）依题意可得，利用绝对值的三角不等式求出，即可得到关于的一元二次不等式，解得即可；

(1)

解：当时，，

当时，令，解得.

当时，不等式无解.

当时，令，解得.

因此，不等式的解集为或.

(2)

解：因为恒成立，所以.

因为

当且仅当时取等号，

所以，解得或.

所以实数的取值范围是.