浙江省杭州市临安中学2022届高三下学期仿真模拟数学试题

这是一份浙江省杭州市临安中学2022届高三下学期仿真模拟数学试题，共23页。试卷主要包含了已知集合，则，已知复数，其中为虚数单位，则，双曲线的焦点坐标为，展开式中的系数是，函数，已知是三个不同的平面，，下列函数中，在上有零点的函数是等内容，欢迎下载使用。
浙江省杭州市临安中学2022届高三下学期仿真模拟数学试题第I卷（选择题）评卷人得分  一、单选题1．已知集合，则（       ）A． B． C． D．或2．已知复数，其中为虚数单位，则A． B． C． D．23．双曲线的焦点坐标为（        ）A． B． C． D．4．展开式中的系数是（       ）A． B．28 C．16 D．5．已知m为非零实数，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．函数（其中为自然对数的底数）的图象如图所示，则（       ）A．，B．，C．，D．，7．已知是三个不同的平面，．则（        ）A．若，则  B．若，则 C．若，则  D．若，则 8．下列函数中，在上有零点的函数是（ ）A． B．C． D．9．已知数列是公差不为0的等差数列，前n项和为，若对任意的，都有，则的值不可能为　　A．2 B． C． D．10．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，E，F分别是棱AD，BP上的动点，且满足AE=2BF，则线段EF中点的轨迹是A．一条线段 B．一段圆弧C．抛物线的一部分 D．一个平行四边形第II卷（非选择题）评卷人得分  二、双空题11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则此几何体的所有棱中，最长的棱为_____cm，该几何体的体积是_____cm3．12．在中，，，点D在线段AC上，满足，且，则______________，______________.13．已知甲盒中仅有2个黑球，乙盒中有3个黑球和3个白球，先从乙盒中任取2个球放入甲盒中，再从甲盒中任取2个球出来，记为甲盒中取到的黑球的个数，则______，_______．14．如图，在平面内直线EF与线段AB相交于C点， ∠BCF＝， 且AC = CB = 4， 将此平面沿直线EF折成的二面角－EF－， BP⊥平面， 点P为垂足.则△ACP的面积为__________， 求异面直线AB与EF所成角的正切值为___________.评卷人得分  三、填空题15．当实数满足不等式组，（为常数）时，的最大值为，则__________.16．焦点为的抛物线上有三点满足的重心是，且恰成等差数列，则直线的方程是_______．17．已知单位向量，向量，满足，且，其中，当取到最小时，_______．评卷人得分  四、解答题18．已知函数．（1）求图象的对称轴；（2）当时，求的值域．19．如图，已知三棱锥中，平面平面，，，．（1）证明：；（2）求直线和平面所成角的正弦值．20．各项均为正数的数列的前n项和为，，数列为等比数列，且.(1)求数列､的通项公式；(2)记，为数列的前n项和，对任意的.恒成立，求及实数的取值范围.21．设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.22．已知函数，其中.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若，设，（ⅰ）证明：函数在区间内有唯一的一个零点；（ⅱ）记（ⅰ）中的零点为，证明：当时，.
参考答案：1．B【解析】先求出集合B，然后再求两个集合的交集即可【详解】解：由，得，所以，因为，所以故选：B2．C【解析】【详解】试题分析：由题意得，，∴，故选C.考点：复数的运算.3．D【解析】【分析】由题意可知，双曲线的焦点在轴，利用求出，即可求出焦点坐标.【详解】由题意可知，，，所以，即，因为双曲线的焦点在轴，所以焦点坐标为，故选：D.4．B【解析】【分析】利用二项展开式通项公式可求.【详解】解：设展开式中含的项为第项，则，令，则，故含项的系数为28.故选：B.5．A【解析】【分析】解分式不等式，求得的范围，由此判断出正确选项.【详解】由，得，解得，故“”是“”的充分不必要条件.故选A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查分式不等式的解法，属于基础题.6．C【解析】【分析】根据函数的对称轴确定的范围，再根据函数有最大值确定的范围.【详解】函数关于对称，而根据图象可知，，函数可拆成，，根据图象可知，函数有最大值，有最大值，即图象开口向下， .故选C【点睛】本题考查由函数图象确定解析式参数的范围，意在考查识图能力，属于基础题型.7．D【解析】【分析】根据空间垂直关系和平行关系进行判定.【详解】对于A，若，不一定垂直，不正确；对于B，若，还可能平行，不正确；对于C，若，还可能相交，不正确；对于D，若，，所以.故选：D.8．D【解析】【分析】利用导数可求得在区间上的单调性，利用函数值符号、零点存在定理或者特殊值法判断各函数在区间上是否存在零点即可.【详解】对于A，，当时，，在上单调递减，，在上无零点，A错误；对于B，，在上单调递减，又，，，使得，则当时，单调递增；当时，单调递减；在处取得最小值，又，，在上无零点，B错误；对于C，由A选项可知：当时，，，，，在上无零点，C错误；对于D，，在上有零点，D正确.故选：D.9．D【解析】【分析】由等差数数列前n项和公式推导出，由此能求出的值不可能为．【详解】数列是公差不为0的等差数列，前n项和为，对任意的，都有，，， ，当时，成立；当时，成立；当时，成立；当时，不成立．的值不可能为．故选D．【点睛】本题考查等差数列的两项比值的求法，考查等差数列性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．10．A【解析】构造平行四边形，结合线段成比例，根据三角形相似，可得到线线平行，据此将点的轨迹问题进行转化，即可求得.【详解】设的中点为，取中点，作//交与，连接，取中点为，因为//，，且//，，故可得//，故四边形是平行四边形，则//，因为，故可得，又因为//，是确定的角，故，故而点的运动轨迹是在线段上，则点的轨迹也在平行于的一条线段上.故选：A.【点睛】本题考查空间几何体中动点的轨迹问题，本题中，将点的轨迹转化至平面是解决问题的关键.11．     3     2【解析】【分析】由三视图还原几何体，易知面，为直角梯形，求棱长及其体积.【详解】由三视图可得到如下几何体为四棱锥，且面，为直角梯形，所以，，，故最长的棱为3，体积.故答案为：3，212．          .【解析】根据题意画出图形，结合图形求出和的值，再求的值；利用正弦定理求出AC和AD的值.【详解】如图所示，中，，，，且，则；所以，；；，，，，.故答案为：；.【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，考查了运算求解能力，属于中档题.13．          ##1.5【解析】【分析】根据试验过程，利用概率的乘法公式即可求解；直接列举X的所有可能取值，分别求出概率，即可求出数学期望.【详解】由题意可得.随机变量X的取值为0,1,2.；；.所以期望.故答案为：，.14．          【解析】【分析】过作，连接，过作，交延长线于，根据二面角定义有二面角－EF－的平面角为且为矩形，进而可得求△ACP的面积，又直线AB与EF所成角为或其补角，应用余弦定理求余弦值，进而求其正切值即可.【详解】过作，连接，过作，交延长线于，由BP⊥平面，平面，故，，则面，由面，则，故二面角－EF－的平面角为，综上，为矩形，又∠BCF＝ 且AC = CB = 4，则，故，且，所以；由上知：直线AB与EF所成角为或其补角，而，则，又，故，所以.故答案为：，15．【解析】【分析】画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界位置，求得直线与直线交点的坐标，将坐标代入目标函数列方程，解方程求得的值.【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线到可行域边界位置，由解得，代入得，解得.故填：.【点睛】本小题主要考查已知线性目标函数的最大值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.16．【解析】【分析】由等差中项及重心的性质可得且，讨论确定中点，根据点在抛物线上求直线的斜率，即可得方程.【详解】由题设成等差数列，所以，则，而为的重心，则，可得且，所以，当，则，故中点为，而，可得，此时直线为，即；当，则，故中点为，同理得直线为；综上，直线的方程.故答案为：17．0【解析】【分析】由平面向量的数量积的运算律、结合基本不等式求解【详解】由题意得，故，又，，故，，同理得，故，显然，故，当且仅当时等号成立，此时取到最小值2，，得，得．故答案为：018．（1）；（2）．【解析】【分析】(1)把函数式化为含一个角的一个函数的一次形式即可得解；(2)由给定区间求出(1)中函数的相位的范围即可得解.【详解】（1），由，得图象对称轴：；（2）由，得，对递增，对递减，所以，，故函数由的值域为．19．（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，的中点，连、、，利用等腰三角形三线合一的性质得出，利用面面垂直的性质可得出平面，进而得出，再证明出，可得出平面，由此可得出；（2）过点作垂足为点，推导出平面，计算出，可得出点到平面的距离为，由此可计算出直线和平面所成角的正弦值为，进而得解.【详解】（1）取的中点，的中点，连、、.，为的中点，，又，为的中点，，，又 ，为的中点，，又 平面平面，交线为，平面，平面，平面，，又，平面，平面，；（2）由（1）知平面，平面，平面平面，过点作垂足为点，平面平面，平面，平面，所以，即是点到平面的距离，平面，平面，，，，，，，又是的中点，点到面的距离，与面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了线面角的正弦值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．(1)，(2)，【解析】【分析】（1）先求出，再当时，由，得，两式相减化简可得，从而可得数列是公差为1，首项为1的等差数列，则可求出，从而可求出，进而可求出，（2）当n为奇数时，利用裂项相消求和法可求出，当n为偶数时，利用等比数列的求和公式求出，从而可求出，进而可求出实数的取值范围(1)∵①，∴，∵，∴当时，②，由①-②得∴，又，∴，∴数列是公差为1，首项为1的等差数列.∴∵，，数列为等比数列，∴(2)n为奇数时，∴n为偶数时，∴∴∵，∴单调递增，∴，∴21．(1) 椭圆方程为;(2) 直线l的斜率的取值范围为.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确a的值，由，得，再利用，可解得a的值；（Ⅱ）先化简条件：，即M再OA的中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系即可求出直线斜率的取值范围.试题解析：（Ⅰ）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.（Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.解得，或，由题意得，从而.由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.所以，直线的斜率的取值范围为.【考点】椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．22．（Ⅰ）答案见解析（Ⅱ）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）求导后，求出的两根，再讨论两根的大小可得的单调性；（Ⅱ）（ⅰ）根据的单调性以及可证结论成立；（ⅱ）构造函数，转化为证明，转化为证明，再构造函数，利用导数可证不等式成立.【详解】（Ⅰ），令，得或，当时，由，得或，由，得，所以在和上单调递增，在上单调递减；当时，由，得，由，得，所以在上单调递增；当时，由，得或，由，得，所以在和上单调递增，在上单调递减，综上所述：当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减，（Ⅱ）（ⅰ）当时，，与的单调性相同，由（Ⅰ）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以函数在区间内有唯一的一个零点；（ⅱ）设，则，由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以要证明当时，，即证，只要证明，即证，即证，因为，即，所以只要证明，即证，因为在上单调递增，所以只需证明，因为，所以只需证明，因为，设，则，所以在上单调递减，所以，所以，所以原不等式得证.【点睛】关键点点睛：构造函数，转化为证明，转化为证明，再构造函数，利用导数证明不等式成立是解题关键.