四川省成都市武侯区西川实验学校2021-2022学年七年级（下）期中数学试卷（含解析）

四川省成都市武侯区西川实验学校2021-2022学年七年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

2. 新冠病毒给世界各国带来了极大的灾难，中国在世界抗击新冠病毒中发挥了重要作用．新冠病毒的整体尺寸一般在，请将大的新冠病毒这个数用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列事件为必然事件的是

A. 打开电视机，正在播放新闻
B. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
C. 买一张电影票，座位号是奇数号
D. 任意画一个三角形，其内角和是

4. 下列算式能用平方差公式计算的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，下列条件中，能判断的是

A.
B.
C.
D.
 

6. 已知三角形的两边长分别为和，则该三角形的第三边的长度可能是

A.  B.  C.  D.

7. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点、重合，过角尺顶点作射线由此作法便可得≌，其依据是

A.  B.  C.  D.

8. 下列说法正确的是

A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C. 经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行

9. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为

A.  B.  C. 或 D. 或

10. 如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接、、若，则的面积为

1. 
    B.  C.  D.

二．填空题（本题共9小题，共36分）

11. 若，，则______．
12. 如果是一个完全平方式，那么______．
13. 一个等腰三角形的两边长分别为和，则周长是______．
14. 如图，直线，将一个含角的三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为______．
    
     
15. 已知，则 ______ ．
16. 的积中不含的二次项，则的值是______．
17. 将两块透明的三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起其中，，，将绕点转动，满足点在直线的上方，且小于，当这两块三角尺有一组边互相平行时，的度数为______．
18. 如图，已知的面积为，分别倍长延长一倍边，，得到，再分别倍长边，，得到按此规律，倍长次后得到的的面积为______．

19. 如图，在边长为的等边中，直线，是上的一个动点连接，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，则点运动过程中，的最小值是______．
     

三．解答题（本题共9小题，共84分）

20. 计算：；
    化简：．
21. 先化简，再求值：，其中．
22. 文具店购进了盒“”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“”铅笔店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了支“”铅笔，具体数据见下表：

用等式写出，所满足的数量关系______ ；
从盒铅笔中任意选取盒：
“盒中没有混入铅笔”是______ 事件填“必然”、“不可能”或“随机”；
若“盒中混入支铅笔”的概率为，求和的值．

23. 如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．
    若的面积为，，求的长；
    若，，求的大小．

24. 如图，交于点，点在的延长线上，点在线段上，若点在的延长线上，且，，与相交于点，．
    求证：；
    求证：是的平分线．
     

25. 某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图是一块边长为的等边三角形学具，点、点分别是边、所在直线上的动点，点、点以的速度同时出发．
    如图，点从出发向方向运动，点从出发向方向运动，连接、，、所在直线相交于点，
    当点、分别在、边上运动时，与满足的数量关系为：______；______；
    当点、分别在、的延长线上运动时，求的度数．
    如图，若点由点开始向延长线方向运动，连接与线段相交于点，过点作，垂足为，在点，点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由．

27. 知识生成通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
    例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
    观察图，请你写出、、之间的等量关系是______；
    根据中的等量关系解决如下问题：若，，求的值；知识迁移类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
    根据图，写出一个代数恒等式：______；
    已知，，利用上面的规律求的值．

28. 如图，在等腰中，，，平分在线段上有一动点，连接，为直线上异于的一点，连接、．
    如图，当点在射线上时，若，直接写出：______；
    如图，当点在射线的反向延长线上时，
    若中的结论仍成立，则、、应满足怎样的数量关系，请证明；
    若，且，，求的值．

29. 如图，在中，，，点在线段上不与点、点重合运动，以为腰在上方作等腰直角，于点，且与交于点．
    求证：≌；
    如图，交于点，连接，证明：；
    当时，猜想与的数量关系并证明．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查幂的乘方、同底数幂的乘除法、单项式乘以单项式的计算方法，理解各个概念的意义，掌握各自的计算方法是正确计算的前提．
根据幂的乘方、同底数幂的乘除法、单项式乘以单项式的计算法则进行计算即可．
【解答】
解： ，因此选项 A 正确；
，因此选项 B 不正确；
，因此选项 C 不正确；
，因此选项 D 不正确；
故选： ．   

2.【答案】

【解析】解：将大的新冠病毒这个数用科学记数法表示为．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】

【解析】解：、打开电视机，正在播放新闻，是随机事件，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
C、买一张电影票，座位号是奇数号，是随机事件，不符合题意；
D、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

4.【答案】

【解析】解：、原式，故原式不能用平方差公式进行计算，此选项不符合题意；
B、原式，故原式不能用平方差公式进行计算，此选项不符合题意；
C、原式，故原式不能用平方差公式进行计算，此选项不符合题意；
D、原式，原式能用平方差公式进行计算，此选项符合题意；
故选：．
根据完全平方公式和平方差公式进行分析判断．
本题考查平方差公式，掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】解：由，不能判定，故A不符合题意；
由，不能判定，故B不符合题意；
由，根据“同位角相等，两直线平行”可判定，故C不符合题意；
由，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判定，故D符合题意；
故选：．
根据平行线的判定定理求解判断即可得解．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：设第三边的长度为，由题意得：
，
即，
故可能，
故选：．
已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围，再选出答案即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
 

7.【答案】

【解析】解：在和中，
≌，
，
故选：．
由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定≌．
此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
 

8.【答案】

【解析】解：两条平行直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，故A错误；
同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故B错误；
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故C错误；
平行于同一条直线的两条直线互相平行，故D正确．
故选：．
根据平行线的判定与性质、平行公理及推论进行逐一判断即可．
本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质、平行公理及推论．
 

9.【答案】

【解析】分析
由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．
详解
解：当的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数；
当的角为等腰三角形的底角时，其底角为，
故它的底角的度数是或．
故选D．
 

10.【答案】

【解析】解：方法一：
正方形的边长为，正方形的边长为，
，，，，，
，，
，
，
，
方法二：
如图，连接，
四边形和四边形是正方形，
，
，
，
故选：．
先用含有，的式子表示，的长，然后求得，正方形，正方形，，的面积，然后用切割法求得的面积．
本题考查了正方形的面积，直角三角形的面积，整式的运算，解题的关键是会用含有和的式子表示三角形和正方形的面积．
 

11.【答案】

【解析】解：当，时，



．
故答案为：．
利用同底数幂的除法的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是对同底数幂的除法的法则的掌握．
 

12.【答案】或

【解析】解：是一个完全平方式，
，
，即；
，
，
即．
故答案为：或．
这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和积的倍．
本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．
 

13.【答案】

【解析】解：等腰三角形的两边长分别为和，
当腰长是时，则三角形的三边是，，，不满足三角形的三边关系；
当腰长是时，三角形的三边是，，，，满足三角形的三边关系，三角形的周长是．
故答案为：．
根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为或是腰长为两种情况．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：如图，

由题意得：，，
，
，
，
，
是的外角，
，
．
故答案为：．
由题意得，，从而求得，由平行线的性质得，利用三角形的外角性质求得，从而可求的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
15.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
即，
．
故答案为：．
逆向运用同底数幂的乘除法法则求解即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：原式
，
令，
，
故答案为：．
将原式进行展开，然后将含的二次项的系数之和为零即可求出答案．
本题考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式法则，本题属于基础题型．
 

17.【答案】或

【解析】解：当时，，；
当时，．
故答案为：或．
分种情况进行讨论：当时，当时，根据平行线的性质和角的和差关系分别求得角度即可．
本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，解题时注意分类讨论思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏．
 

18.【答案】

【解析】解：连接、、，根据等底等高的三角形面积相等，

、C、C、、、、的面积都相等，
所以，，
同理，
依此类推，的面积为，
的面积为，
的面积．
故答案为：．
根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后的面积是的面积的倍，依此规律可得结论．
本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的倍是解题的关键．
 

19.【答案】

【解析】解：取线段的中点，连接，如图所示．
为等边三角形，，且为的对称轴，
，，
，
．
≌，
．
当时，最小，
点为的中点，
此时．
故答案为：．
取线段的中点，连接，根据等边三角形的性质可得出以及，由旋转的性质可得出，由此即可利用全等三角形的判定定理证出≌，进而即可得出，再根据点为的中点，即可得出的最小值，此题得解．
本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出．
 

20.【答案】解：原式

；
原式

．

【解析】根据有理数的乘方的运算法则、零指数幂的意义、绝对值的性质和负整数指数幂的意义即可求解；
根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则，先去括号，再合并同类项即可．
本题考查了实数的混合运算和整式的混合运算，解题关键是掌握零指数幂和负整数指数幂的意义及完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则．
 

21.【答案】解：原式


，
，
，
当时，原式．

【解析】先算乘方，再算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可．
本题考查整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

22.【答案】  随机

【解析】解：观察表格发现：，
用等式写出，所满足的数量关系为，
故答案为：；

“盒中没有混入铅笔”是随机事件，
故答案为：随机；
“盒中混入支铅笔”的概率为，
，
，．
根据表格确定，满足的数量关系即可；
根据事件的性质进行解答即可；
利用概率公式列式计算即可．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

23.【答案】解：是的中线，，
，
是的高，的面积为，
，
．
在中，为它的一个外角，且，，
，
是的角平分线，
，
是的高，
．
．

【解析】利用面积法求解即可．
求出，再根据求解即可．
本题考查三角形内角和定理、三角形面积、角平分线的定义，熟练掌握基础知识是解答本题的关键．
 

24.【答案】证明：，，
，
；
，
，
，
，
，
，
，，
，
平分．

【解析】根据已知条件和邻补角的定义得到，根据平行线的判定定理即可得到结论；
根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
点、点以的速度同时出发，
，
≌，
，，
，
故答案为：，；
如图，

是等边三角形，
，，
，
点、点以的速度同时出发，
，
，
≌，
，
；
如图，过作，交于，

则，，
是等边三角形，
，
、同时出发，速度相同，即，
，
在和中，
，
≌，
，
是等边三角形，，
，
为定值，即线段的长度不变．
由“”可证≌，可得，，由外角的性质可求；
由“”可证≌，可得，由外角的性质可求；
由“”可证≌，可得，由线段的和差关系可求，可得结论．
本题是三角形综合题，考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：用两种方法表示出个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积，可得：，
由题可知：，
．
利用两种方式求解长方体得体积，即可得出关系式：．
由可知，
把，代入得：
．
．
观察图大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积；
灵活利用上题得出的结论，灵活计算求解．
利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式．
利用上题得出得关系式，进行变换，最终求出答案．
考查了完全平方式，以及对完全平方式进行了知识扩展，考查了学生灵活应变得能力．
 

27.【答案】

【解析】解：在上取一点，使得，连接，如图所示：
，
，
平分，
，
，
≌，
，，
，，
，
，
≌，
，
，，
，
故答案为：；
若中的结论仍成立，则、、应满足怎样的数量关系为：，理由如下：
在的延长线上取一点，使得，连接，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，，
≌，
，
；
由可知：，，
，
，
，
，，
设，则，，
，
，
，
．
在上取一点，使得，连接，证≌，得，再证≌，得，进而得出结论；
在的延长线上取一点，使得，连接，先证≌，得，，再证明≌，得，即可得出结论；
由可知，，，则，设，则，得，，则，再由三角形面积关系即可得出结论．
本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积、等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

28.【答案】证明：是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌；
证明：过点作交于点，

，
，
，
，
和都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
又，
≌，
，
；
解：．
证明：延长交的延长线于点，

由可知，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
和都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
连接，则和都是等腰直角三角形，
，
，，
≌，
，
，
．

【解析】由直角三角形的性质证出，根据可证明≌；
过点作交于点，证明≌，由全等三角形的性质证出，则可得出结论；
延长交的延长线于点，证明和都是等腰直角三角形，连接，则和都是等腰直角三角形，得出，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得了结论．
本题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．