数学九年级上册第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数精品当堂达标检测题

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1.抛物线y=x2+1的对称轴是（ ）
A.直线x=﹣1 B.直线x=1 C.直线x=0 D.直线y=1
2.抛物线y=2（x﹣2）2﹣1关于x轴对称的抛物线的解析式为（ ）
A.y=2（x﹣2）2+1 B.y=﹣2（x﹣2）2+1
C.y=﹣2（x﹣2）2﹣1 D.y=﹣（x﹣2）2﹣1
3.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表所示：
当y＜6时，x的取值范围是（ ）
A.x＜1 B.x≤3 C.x＜1或x＞0 D.x＜1或x＞3
4.二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（ ）
A.y=（x﹣1）2+2 B.y=（x﹣2）2+4
C.y=（x﹣2）2+2 D.y=（x﹣1）2+3
5.若关于x的函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A.a≠0 B.a≠2 C.a＜2 D.a＞2
6.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，下列结论中正确的是（ ）
A.ab＞0 B.b=2a C.4a+2b+c＜0 D.a+c＜b
7.（﹣1，y1），（2，y2）与（3，y3）为二次函数y=﹣x2﹣4x+5图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A.y1＜y2＜y3 B.y3＜y2＜y1 C.y3＜y1＜y2 D.y2＜y1＜y3
8.如图，当ab＞0时，函数y=ax2与函数y=bx+a的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（ ）
A.7 B.7.5 C.8 D.9
10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x=h＜2，0＜xA＜1）.下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0； ③若OC=2OA，则2b﹣ac=4； ④3a﹣c＜0.其中正确的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二.填空题
11.在二次函数y=ax2+2ax+4（a＜0）的图象上有两点（﹣2，y1）、（1，y2），则y1﹣y2 0（填“＞”、“＜”或“=”）.
12.已知函数y=ax2﹣（a﹣1）x﹣2a+1，当0＜x＜3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 .
13.已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系：
则a+b+c= .
14.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交子点C，且OB=OC=3OA，直线y=﹣x+1与y轴交于点D.求∠DBC﹣∠CBE= .
15.一个二次函数的图象经过A（0，0）、B（2，4）、C（4，0）三点，该函数的表达式是 .
16.如图，抛物线y=﹣x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为 .
17.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽 m.
18.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①c＞0；②若B（﹣，y1），C（﹣，y2）为图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b=0；④＜0，其中正确的结论是 .

三.解答题
19.在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5的顶点为A.
（1）求点A的坐标；
（2）将线段OA沿x轴向右平移2个单位得到线段OˊAˊ.
①直接写出点Oˊ和Aˊ的坐标；
②若抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5与四边形AOOˊAˊ有且只有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围.
20.如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图2所示，请回答：
（1）线段BC的长为 cm.
（2）当运动时间t=2.5秒时，P、Q之间的距离是 cm.
21.如图，一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，滑雪者在滑坡上滑行的距离y1（单位：m）和滑行时间t1（单位s）满足二次函数关系，并测得相关数据：
滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2（单位：m）和滑行时间t2（单位：s）满足：y2=52t2﹣2t22，滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止，一共用了23s.
（1）求y1和t1满足的二次函数解析式；
（2）求滑坡AB的长度.
22.如图1，已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3，﹣3）.
（1）求顶点A的坐标
（2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点，求△OPB的面积的最大值及比时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.
23.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；
（3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标.
24.如图，一农户要建一矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门.所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面积最大，最大面积是多少？
25.如图，抛物线y=ax2+2x﹣3a经过A（1，0）、B（b，0）、C（0，c）三点.
（1）求b，c的值；
（2）在抛物对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案
1.故选：C.
2.故选：B.
3.故选：D.
4.故选：D.
5.故选：B.
6.故选：D.
7.故选：B.
8.故选：C.
9.故选：C.
10.故选：C.
11.答案为＜.
12.﹣≤a≤1.
13.答案为﹣1.5.
14.答案为45°.[
15.答案为：y=﹣x2+4x.
16.解：如图，
在y=﹣x2+2x+3中，当x=0时，y=3，即点C（0，3），
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为x=1，顶点D（1，4），
则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，3），
作点D关于y轴的对称点D′（﹣1，4），作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3），
连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，
四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′=DE+D′E′
=+=+，
∴四边形EDFG的周长的最小值为： +.
故答案是： +.
17.答案为：4.
18.答案为：①③.
19.解：（1）∵y=mx2﹣4mx+4m+5=m（x2﹣4x+4）+5=m（x﹣2）2+5，∴
∴抛物线的顶点A的坐标为（2，5）.
（2）由（1）知，A（2，5），
∵线段OA沿x轴向右平移2个单位长度得到线段O′A′.
∴A'（4，5），O'（2，0）；
（3）如图，
∵抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5与四边形AOO′A′有且只有两个公共点，[来源:学。∴m＜0.
由图象可知，抛物线是始终和四边形AOO'A'的边O'A'相交，
∴抛物线已经和四边形AOO′A′有两个公共点，
∴将（0，0）代入y=mx2﹣4mx+4m+5中，得m=﹣.
∴﹣＜m＜0.
20.解：（1）根据图2可得，当点P到达点E时，点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/s，
∴BC=BE=5cm.
故答案是：5；
（2）如图1，过点P作PF⊥BC于点F，
根据面积不变时△BPQ的面积为10，可得AB=4，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB==，
∴PF=PB•sin∠PBF=2.5×=2，
∴在直角△PBF中，由勾股定理得到：BF===1.5，
∴FQ=2.5﹣1.5=1.
∴在直角△PFQ中，由勾股定理得到：PQ===.
故答案是：.
21.解：（1）设y1=at+bt1，
把（1，4.5）和（2，14）代入函数解析式得，
，解得：，
∴二次函数解析式为：y1=2.5t12+2t1；
（2）将y=52t﹣2t2与y=2.5t2+2t联立，
解得：t=，即：B点位置时用的时间，
把t=代入函数：y1=2.5t12+2t1，
则AB=y1≈330.86≈331m，
答：滑坡AB的长度331m.
22.解：（1）把B（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m2得：﹣3=﹣32+3m+m2，
解得m=2，∴y=﹣x2+2x=﹣（x+1）2+1，
∴顶点A的坐标是（﹣1，1）；
（2）∵直线OB的解析式为y=﹣x，
故设P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n），
∴PQ=﹣n2+2n﹣（﹣n）=﹣n2+3n，
∴S△OPB=（﹣n2+3n）=﹣（n﹣）+，
当n=时，S△OPB的最大值为.
此时y=﹣n2+2n=，
∴P（，）；
（3）∵直线OA的解析式为y=x，
∴可设新的抛物线解析式为y=﹣（x﹣a）2+a，
联立，∴﹣（x﹣a）2+a=x，
∴x1=a，x2=a﹣1，即C、D两点间的横坐标的差为1，
∴CD=.
23.解：（1）将B、C两点的坐标代入得
，解得：；
所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3；
（2）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，
设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为：y=kx+d，
则，解得：，
∴直线BC的解析式为y=x﹣3，则Q点的坐标为（x，x﹣3）；
由0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，
∴AO=1，AB=4，
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
=AB•OC+QP•BF+QP•OF
=×4×3+（﹣x2+3x）×3
=﹣（x﹣）2+.[
当x=时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积的最大值为；
（3）设点Q的坐标为（m，m﹣3），
∵O（0，0），C（0，﹣3），
∴OC=3，QC==|m|，QO=.
△QOC为等腰三角形分三种情况：
①当OC=QC时，3=|m|，解得：m=±，
此时点Q的坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣﹣3）；
②当OC=QO时，3=，
解得：m=3或m=0（舍去），
此时点Q的坐标为（3，0）；
③当QC=QO时，有|m|=，解得：m=，
此时点Q的坐标为（，﹣）.
综上可知：Q点坐标为（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、
（3，0）或（，﹣）.
24.解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，
由题意得y=x（25﹣2x+1）=﹣2，
∵2x＞14，7≤x≤13，
所以当x=7米时，即矩形猪舍的长、宽分别为12米、7米，猪舍的面积最大，最大面积是84平方米.
25.解：（1）把A（1，0）代入抛物线y=ax2+2x﹣3a，
可得：a+2﹣3a=0解得a=1.
∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3；
把B（b，0），C（0，c）代入y=x2+2x﹣3，
可得：b=1或b=﹣3，c=﹣3，
∵A（1，0），
∴b=﹣3；
（2）∵抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3，
∴其对称轴为直线x=﹣=﹣1，
连接BC，如图1所示，
∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y=﹣x﹣3，
当x=﹣1时，y=1﹣3=﹣2，∴P（﹣1，﹣2）；
（2）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形.
如图2所示，
①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，C（0，﹣3），
∴N1（﹣2，﹣3）；
②当点N在x轴上方时，
如图2，过点N'作N'D⊥x轴于点D，
在△AN'D与△M'CO中，
∴△AN'D≌△M'CO（AAS），
∴N'D=OC=3，即N'点的纵坐标为 3.
∴3=x2+2x﹣3，
解得x=﹣1+或x=﹣1﹣，
∴N'（﹣1+，3），N“（﹣1﹣，3）.
综上所述，符合条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3），（﹣1+，3）
或（﹣1﹣，3）.x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣2
3
6
7
6
…
x
…
3
5
7
…
y
…
2.5
2.5
﹣1.5
…
滑行时间t1/s
0
1
2
3
4
滑行距离y1/s
0
4.5
14
28.5
48