备战2022年广东高考数学仿真卷（1）

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备战2022 年广东高考数学仿真卷（1）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）复数在复平面内对应的点在　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】【详解】解：，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：．2．（5分）已知集合，则　　A． B． C．或 D．或【答案】【详解】解：因为集合，由补集的定义可知，或．故选：．3．（5分）小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排．若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为　　A．6 B．12 C．24 D．48【答案】【详解】解：根据题意，要求小明的父母都与他相邻，即小明坐在父母中间，将三人看成一个整体，有2种排法，将这个整体与爷爷和奶奶全排列，有种排法，则有种不同的排法，故选：．4．（5分）设，，为三个不同的平面，若，则“”是“”的　　A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】【详解】解：当时，若，则成立，即充分性成立，反之当时，也有可能相交，即必要性不成立，即“”是“”的充分不必要条件，故选：．5．（5分）已知数列的前项和，则数列的前10项和等于　　A．1023 B．55 C．45 D．35【答案】【详解】解：数列的前项和，可得；当时，，对也成立．，则数列的前10项和等于．故选：．6．（5分）已知，是两个正数，4是与的等比中项，则下列说法正确的是　　A．的最小值是1 B．的最大值是1 C．的最小值是 D．的最大值是【答案】【详解】解：因为，所以，所以，可得，当且仅当时等号成立，所以的最大值为1，故错误，正确．因为，故的最小值为，无最大值，故和都错误．故选：．7．（5分）已知，，，则　　A． B． C． D．【答案】【详解】解：，，，．故选：．8．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且，，成等差数列，则的离心率为　　A． B． C． D．【答案】【详解】解：因为，，成等差数列，设，公差为，，，因为，所以，由勾股定理可得：，解得，由椭圆的定义可得三角形的周长为，由，即，，在直角三角形中，，所以离心率，故选：．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）已知，则　　A．展开式中所有项的二项式系数和为 B．展开式中所有奇次项系数和为 C．展开式中所有偶次项系数和为 D．【答案】【详解】解：所给的等式为，故所有项的二项式系数和为，故正确；在所给的等式中，令，可得①，令，可得②，①②，并除以2，可得展开式中所有偶次项的系数和为，故正确，②①，并除以2，可得展开式中所有奇次项系数和为，故错误，在所给的等式中，令，可得，而，，故正确，故选：．10．（5分）已知曲线，则下列结论正确的是　　A．若曲线为椭圆或双曲线，则其焦点坐标为， B．若曲线是椭圆，则 C．若且，则曲线是双曲线 D．直线与曲线恒有两个交点【答案】【详解】解：若曲线表示椭圆，，，，则，即椭圆焦点在轴，则，得，此时焦点坐标为，，若曲线表示双曲线，由，得，此时双曲线的标准方程为，则，，即焦点在轴，则，得，此时焦点坐标为，，故正确；若曲线表示椭圆，，，，则，故正确；若曲线表示双曲线，由，得，故错误；由得，得，得，，即直线过定点，当曲线为双曲线时，，此时，当时，，此时右顶点为，，在点的右侧，此时直线不一定有两个交点，故错误．故选：．11．（5分）在空间直角坐标系中，棱长为1的正四面体的顶点，分别为轴和轴上的动点（可与坐标原点重合），记正四面体在平面上的正投影图形为，则下列说法正确的有　　A．若平面，则可能为正方形 B．若点与坐标原点重合，则的面积为 C．若，则的面积不可能为 D．点到坐标原点的距离不可能为【答案】【详解】解：对于：若平面，考虑一下特殊情形；①当点与坐标原点重合时，为正方形，②当点与坐标原点重合时，为三角形，故正确；对于：若点原点重合，即在轴上，易知：平面，且为三角形，不难知道，其面积为，故正确；对于：当时，且点在正四面体的外部时，则点恰好为以，，，为棱的正方体的一个顶点，由于，所以，所以为以边长为的正方形，其面积为，故错误；对于：设的中点为，则，且，易知，即，所以点到坐标原点的距离小于，故正确．故选：．12．（5分）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2，；第次得到数列1，，，，，，2；．记，数列的前项和为，则　　A． B． C． D．【答案】【详解】解：由，，，，，，，由有3项，有5项，有9项，有17项，，故有项．故错误；所以，即，故正确；由，可得，故正确；由，故正确．故选：．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设向量，，且，则　  　．【答案】【详解】解：向量，．实数，，，，解得．故答案为：．14．（5分）冈珀茨模型是由冈珀茨提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律．已知某珍稀物种年后的种群数量近似满足冈珀茨模型：（当时，表示2020年初的种群数量），若年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则的最小值为　  　．【答案】6【详解】解：因为，所以当时，，当时，，因为年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，所以，即，两边同取对数得，，即，两边取对数得，，即，而，所以的最小值为6．故答案为：6．15．（5分）若某商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：245682040607080根据如表，利用最小二乘法求得关于的回归直线方程为，据此预测，当投入10万元时，销售额的估计值为 　  　万元．【答案】106.5【详解】解：，，样本中心为，将其代入回归直线方程中，有，解得，回归直线方程为，当时，，当投入10万元时，销售额的估计值为106.5万元．故答案为：106.5．16．（5分）在四面体中，，二面角为，则四面体的外接球的表面积为　  　．【答案】【详解】解：如图，由已知可得，，为等边三角形，取的中点，连接，，则，，为二面角的平面角，大小为，设的外心为，的外心为，分别过，作所在面的垂线，相交于，则为四面体的外接球的球心，由已知求得，在中，求得，则，可得四面体的外接球的半径．四面体的外接球的表面积为．故答案为：．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，．（1）求；（2）求的周长．【答案】（1）（2）【详解】解：（1）因为，所以，解得，或（舍，由为三角形内角得，（2）因为，由正弦定理得，，因为，故，所以，故，所以的周长．18．（12分）设数列的前项和，满足，且．（1）证明：数列为等差数列；（2）求的通项公式．【答案】（1）见解析（2）【详解】（1）证明：，且，，即，数列为首项为1，公差为2的等差数列；（2）解：由（1）可得：，即，当时，，又当时，，．19．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．（1）证明：平面；（2）线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）线段上存在点满足题意，且【详解】（1）证明：平面平面，平面平面，，平面，平面，，在直角梯形中，，，，，，即，又，、平面，平面．（2）解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，0，，，0，，，1，，，4，，，0，，，1，，，4，，设，，，则，0，，1，，设平面的法向量为，，，则，即，令，则，，，1，，与平面所成角的正弦值为，，，化简得，解得，故线段上存在点满足题意，且．20．（12分）某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天安排一项活动，活动安排表如下：时间周一周二周三周四周五活动项目篮球国画排球声乐书法要求每位学生选择其中的三项，学生甲决定选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况，任选三项．（1）求甲选排球且乙未选排球的概率；（2）用表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）见解析【详解】解：（1）甲选排球的概率，乙未选排球的概率，甲选排球且乙未选排球的概率．（2）用表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，则，1，2，3．乙，丙选排球的概率都为， 选排球不选排球甲乙丙，，，，的分布列为：0123数学期望．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点并垂直于轴的直线交椭圆于，（点位于轴上方）两点，且为坐标原点）的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线交椭圆于，，异于点两点，且直线与的斜率之积为，求点到直线距离的最大值．【答案】（1）（2）【详解】解：（1）由题意可得，所以由题意可得且，解得，，所以椭圆的方程为：；（2）由（1）可得，设，，，，设直线的方程为：，联立可得且整理可得：，△，且，，，整理可得：，整理可得，整理可得，即，或，若，则直线方程为：，直线恒过，与点重合，若，则直线方程为：，所以直线恒过定点，所以到直线的距离的最大值为的值为所以点到直线距离的最大值．22．（12分）已知函数，．（1）若恒成立，求的取值集合；（2）若，且方程有两个不同的根，，证明：．【答案】（1）（2）见解析【详解】（1）解：令，，当时，恒成立，所以在上单调递增，因为，所以当时，，与题意不符；当时，令，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，令，，当时，，单调递增，当，，单调递减，所以（1），即，所以，所以，解得，所以的取值集合为．（2）证明：不妨设，由题意可得，．所以，，所以，要证，即证，即证，两边同除以，即证，即证，即证，令．即证不等式恒成立．设，，设，，所以，单调递减，，即，所以，所以，所以在上是减函数．所以在处取得极小值．所以．则．