备战2022年广东高考数学仿真卷（8）

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备战2022年广东高考数学仿真卷（8）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知集合，，则　　A．， B．， C．， D．，【答案】【详解】解：集合，，,则,．故选：．2．（5分）已知为虚数单位，且，则复数的虚部为　　A． B． C． D．【答案】【详解】解：为虚数单位，且，．复数的虚部为．故选：．3．（5分）已知，，那么“”是“”成立的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】【详解】解：若“”推不出“”，如，，不是充分条件，若“”推不出“”，如，，不是必要条件，故选：．4．（5分）已知函数，则函数的图象在处的切线方程为　　A． B． C． D．【答案】【详解】解：由，得，（1）．又（1）．函数的图象在处的切线方程为，即．故选：．5．（5分）设为等比数列，为等差数列，且为数列的前项和．若，且，则　　A．20 B．30 C．44 D．88【答案】【详解】解：设等比数列的公比为，由，，得，得．，即，又为等差数列的前项和，．故选：．6．（5分）的展开式中的系数为　　A．14 B．28 C．70 D．98【答案】【详解】解：，故展开式中的系数为，故选：．7．（5分）设正方体的棱长为1，为底面正方形内的一动点，若三角形的面积，则动点的轨迹是　　A．圆的一部分 B．双曲线的一部分 C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分【答案】【详解】解：，则，即到的距离为，则在空间中的轨迹为一个圆柱面，而由题意 的轨迹是该圆柱被一平面斜截得到的图形，则的轨迹为椭圆的一部分．故选：．8．（5分）已知函数，若，，，则，，的大小关系正确的是　　A． B． C． D．【答案】【详解】解：因为，所以，所以为偶函数，因为，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因为，，，且因为，故，，所以，则．故选：．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）设是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，焦距为，若是直角，则　　A．为原点） B． C．△的内切圆半径 D．【答案】【详解】解：设,,，因为,所以在直角三角形中有①,由椭圆的定义可得②,联立①②解得,所以三角形的面积为,故正确；因为是斜边的中线，所以,故正确；设三角形的内切圆半径为，则,所以,故正确；为椭圆上的一点，当点为椭圆的右顶点时，,但是此时,所以点不可能为椭圆的右顶点，故错误，故选：．10．（5分）若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的是　　A． B． C． D．【答案】【详解】解：因为，，，所以，，，，，所以正确；，所以不正确；，又，所以，所以正确；，但，所以，所以不正确．故选：．11．（5分）如图，已知长方体中，四边形为正方形，，，，分别为，的中点．则　　A． B．点、、、四点共面 C．直线与平面所成角的正切值为 D．三棱锥的体积为【答案】【详解】解：对于，假设，由题意可知，平面，因为平面，所以，又，，平面，所以平面，由长方体的性质可知，与平面不垂直，故假设不等式，故选项错误；对于，连结，，，由于，分别为，的中点，所以，又在长方体中，，所以，则点，，，四点共面，故选项正确；对于，由题意可知，平面，所以即为与平面所成的角，在中，，，则，故选项正确；对于，连结，，因为，则，利用等体积法，故选项正确．故选：．12．（5分）已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是　　A．函数 在上为增函数 B．是函数的极小值点 C．函数必有2 个零点 D．（e） （2）【答案】【详解】解：，，当时，，当时，，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故错误；是的极小值点，故正确；的极小值为，故当时，没有零点，故错误；由在上单调递增可得（2）（e），即，（2）（e），故正确．故选：．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于，两点，若线段的中点的横坐标为2，则等于　  　．【答案】6【详解】解：由抛物线可得．设，，，．线段的中点的横坐标为2，．直线过焦点，．故答案为：6．14．（5分）阿基米德（公元前287年公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为　  　．【答案】 【详解】解：设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，所以圆柱的表面积为：，解得：，所以圆柱的体积为：，根据阿基米德的结论，该圆柱的内切球体积为：，故答案为：．15．（5分）红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险，为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间内的概率为　  　．（附：若随机变量服从正态分布，则，【答案】【详解】解：由红外线自动测温门测量体温误差服从正态分布，，得，．测量体温误差在区间内的概率为：．故答案为：．16．（5分）某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心工艺品（如图所示）．该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为8的正方体的6个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）．若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径为　  　；现给出定义：球面被平面所截得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．如果球面的半径是，球冠的高是，那么球冠的表面积计算公式是．由此可知，该实心工艺品的表面积是　  　．【答案】5；【详解】解：设球心半径为，圆的半径为，正方体棱长为，（如图）圆的周长为，由题意，圆心和球心以及正方体的边的一半可以构造直角三角形，即，球冠的高是，球的表面积减去球冠的表面积，在加上6个圆的面积，可得工艺品的表面积．即工艺品的表面积为：．故答案为：5，．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在中，角，，的对边分别为，，，且，又，，成等差数列．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【详解】解：（Ⅰ）中，，，成等差数列，，由正弦定理得，又，可得，，，，；（Ⅱ）中，由，得，，，解得．18．（12分）已知数列的前项和为，，，．（1）求数列的通项公式；（2）若，，成等比数列，，求的值．【答案】（1）（2）【详解】解：（1）数列的前项和为，，，①，当时，，②，①②得：，所以（首项符合通项），故．（2）由于，所以，故，由于，，成等比数列，所以，解得或（负值舍去），，所以．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，．（1）若为中点，求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【详解】（1）证明：设交于，因为为正方形，所以为中点，连接，因为为中点，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）解：因为平面，平面，所以，又底面为正方形，所以，又因为，所以平面，又平面，所以平面平面，过作于，连接，又因为平面平面，所以平面，所以，所以为直线与平面所成的角，其正弦值为．直线与平面所成角的正弦值为．20．（12分）某电子产品加工厂购买配件并进行甲、乙两道工序处理，若这两道工序均处理成功，则该配件加工成型，可以直接进入市场销售；若这两道工序均处理不成功，则该配件报废；若这两道工序只有一道工序处理成功，则该配件需要拿到丙部门检修，若检修合格，则该配件可以进入市场销售，若检修不合格，则该配件报废．根据以往经验，对于任一配件，甲、乙两道工序处理的结果相互独立，且处理成功的概率分别为，，丙部门检修合格的概率为．（1）求该工厂购买的任一配件可以进入市场销售的概率；（2）已知配件的购买价格为80元个，甲、乙两道工序的处理成本均为8元个，丙部门的检修成本为16元个，若配件加工成型进入市场销售，售价可达200元个；若配件报废，则亏损购买成本以及加工成本．若市场大量需求配件的成型产品，试估计该工厂加工5000个配件的利润．（利润售价购买价格加工成本）【答案】（1）（2）195000【详解】解：（1）记任一配件加工成型可进入市场销售为事件，甲、乙两道工序分别处理成功为事件，，丙部门检修合格为事件，（A）；（2）设加工5000个配件的利润为，加工一个配件的利润为，则，由题意可知的取值为104，8，，，，，，，所以的分布列为：10488，．估计该工厂加工5000个配件的利润为195000元．21．（12分）已知椭圆的离心率为，的长轴是圆的直径．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点作两条相互垂直的直线，，其中交椭圆于，两点，交圆于，两点，求四边形面积的最小值．【答案】（1）（2）2【详解】解：（1）由，得，由，得，所以，所以椭圆的方程为．（2）由（1）可得，①当过点的直线的斜率不存在时，，，所以，②当过点的直线的斜率为0时，，，这是，③当过点的直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，，，，，由，得，所以，，，所以，直线的方程为，坐标原点到直线的距离，则，所以，由，得，即，，综上所述，四边形的面积的最小值为2．22．（12分）已知函数．（1）求的导函数在上的零点个数；（2）求证：当，时，有且仅有2个不同的零点．【答案】（1）在上有且只有一个零点（2）见解析【详解】解：（1）,所以,设,当时，,所以在上单调递减，又因,,即当时，存在,且的图像连续，所以在上有且只有一个零点．（2）证明：由已知,，定义域为,且由知，存在,,使得,①由（1）知，当时，,在上单调递增，当,时，,在,上单调递减，所以在上存在唯一的极大值点,所以,所以,因为,因为,所以在上恰有一个零点，②当,时，,,,令得,因为与在,上单调递减，所以在,上有唯一的根，且记,，使得,综合①可知在,上单调递减，在,上单调递增，则,因为，所以在,上恰有1个点，③当,时，,设,,所以在,上单调递减，则,所以当,时，,恒成立，所以在,上没有零点，综上，当,时，有且仅有2个零点．