2022届四川省泸县第五中学高三下学期高考适应性考试数学（理）试题（含答案）

四川省泸县五中高2022届高考适应性考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，只将答题卡交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若复数是纯虚数，则复数在复平面内对应的点在(   )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.已知集合，集合，则(   )

A． B． C． D．

3.等差数列中则（   ）

A.5 B.9 C.11 D.13

4.5G时代悄然来临,为了研究中国手机市场现状,中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况,得到如下统计图:

根据该统计图,下列说法错误的是

A.2019年全年手机市场出货量中,5月份出货量最多

B.2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小

C.2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量

D.2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量

5.正方体中,为棱的中点(如图)用过点的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为

A． B．   C．    D．

6.著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为℃，空气温度为℃，则t分钟后物体的温度（单位：℃）满足：.若常数，空气温度为30℃，某物体的温度从90℃下降到50℃，大约需要的时间为（参考数据：）

A.16分钟 B.18分钟 C.20分钟 D.22分钟

7.函数的图象大致为

A. B.C. D.

8.已知，则

A． B． C． D．

9.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018 年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图.若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线>0)上支的一部分,且上焦点到上顶点的距离为2,到渐近线距离为则此双曲线的离心率为

A.2 B. C.3 D.

10.若函数的图象上两点关于直线的对称点在的图象上,则的取值范围是

A.   B.      C.      D.

11.如图，四棱锥中，平面，，，，，，M是中点，N是线段上的点，设与平面所成角为，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

12.已知函数的一个零点是，当时函数取最大值，则当取最小值时，函数在上的最大值为

A． B． C． D．0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知实数满足约束条件,则的最大值为          。

14.某群体中的每位成员使用微信支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,,,则____________.

15.椭圆C：的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上，平面四边形ABCD满足，且，则该椭圆的短轴长为_________.

16.某市民广场有一批球形路障球（如图1所示）.现公园管理处响应市民要求，决定将每个路障球改造成方便市民歇脚的立方八面体石凳（如图2所示）.其中立方八面体有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体经过测量，这批球形路障球每个直径为60cm，若每个路障球为改造后所得的立方八面体的外接球，则每个改造后的立方八面体表面积为__________.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17.（12分）州电视台为了解州卫视一档中华诗词类节目的收视情况，抽查东西区各5个县，统计观看该节目的人数的数据得到如下的茎叶图（单位：百人）.其中一个数字被污损.

（1）求西部各县观看该节目的观众的平均人数超过东部各县观看该节目的平均人数的概率；

（2）该节目的播出极大地激发了观众对中华诗词学习的热情，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众学习诗词的周平均时间y（单位：小时）与年龄x（单位：岁）的关系，如下表所示：

根据表中的数据，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众学习诗词的时间.

（参考公式）

18.（12分）如图，在平面四边形中，，.的平分线与交于点E，且.

（1）求及；

（2）若，求四边形周长的最大值.

19.（12分）如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，分别为，的中点．

（1）求证：直线，，交于一点；

（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

20.（12分）已知函数，其中.

(1)当时,求函数的极值;

(2)试讨论函数在上的零点个数.

21.（12分）已知椭圆的长轴长为4，且经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线的斜率为，且与椭圆相交于两点（异于点），过作的角平分线交椭圆于另一点．

（ⅰ）证明：直线与坐标轴平行；

（ⅱ）当时，求四边形的面积．

（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为

(1)求直线l及圆C的直角坐标方程；

(2)若直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点，求面积的最大值.

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23.已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若恒成立，求实数m的取值范围.

四川省泸县五中高2022届高考适应性考试

理科数学参考答案

1-5:BCCDD                                    6-10:DACCD                             11-12:AD

13.7             14.0.6                  15.6                          16.

17.（1）设被污损的数字为x，，

则，，

由题意得：，即，即，

所以西部各县观看该节目的观众的平均数超过东部各县观看该节目的观众的平均数的概率为.

（2）由已知得：，，

，

，

，，

回归直线方程为，当时，，

即年龄为60岁的观众学习诗词的时间为5.25小时.

18.（1）在中，由正弦定理，，所以.

又，则，所以.   

所以，. 所以.

在中，根据余弦定理得，所以.   

（2）由（1）知，，令，，

在中，根据余弦定理得，

即有，即，

所以，当且仅当时，等号成立.

所以，四边形周长的最大值为.

19.证明：（1）连接，，因为分别为，的中点，

所以，且，

因为是直四棱柱，且底面是正方形，

所以，且，

即四边形是平行四边形，

所以，且，

所以，且，即四边形为梯形，

所以与交于一点，记为，

因为平面，平面，

所以（平面平面），

又因为平面平面，所以直线，

（2）过作于点，过作交于，连接，

因为是直四棱柱，且底面是正方形，

所以平面，所以，又面，

所以，又因为平面，

所以即为二面角的平面角，

设为点到的距离，所以，

所以，又，，在中，

，所以，即二面角的余弦值为．

20.（1）当时，，

得，

所以函数在和上单调递增，在上单调递减，

所以当时，函数取得极大值，

当时，函数取得极小值.

（2），

当时，得在上递减，，

故在上没有零点；

当时，得在上递增，，

故在上没有零点；

当，即时，得在上递减，

要使在上有零点，则，解得，

当，即时，得在上递减，在上递增，

由于，

令，

令，则，在上递减，

故，即，在上递增，故，即，在上没有零点.

综上所述，当时，在上有唯一零点；

当或时，在上没有零点.s

21.解：（1）由题意可得，解得，      所以椭圆的方程为：；               

（2）设直线的方程为：，设，

联立直线与椭圆的方程，整理可得：，

则，即，且．   

（ⅰ）因为

，

所以的角平分线平行于y轴．即可证得直线与坐标轴平行；         

（ⅱ）如图所示，当时，则，

所以直线的方程为，即，  

代入椭圆的方程可得，即，

可得，所以可得A到直线的距离；                      

直线的方程为：，

代入椭圆的方程，即，可得，所以B到直线的距离，          而由上可得，

所以，

所以四边形的面积为．   

22.：(1)
，
，圆C的方程为：，直线l的方程为；

(2)圆C的圆心坐标为，半径为，圆心到直线l的距离为，

点P到直线AB距离的最大值为，.

23.（1）依题意，，当时，原式化为，解得，故；当时，原式化为，解得，故无解；当时，原式化为，解得，故；综上所述，不等式的解集为；

（2）因为，当且仅当时，等号成立.

故恒成立等价于；即，解得，  m的取值范围为.