江苏省南京市江宁高级中学2022届高三下学期适应性考试数学试题

这是一份江苏省南京市江宁高级中学2022届高三下学期适应性考试数学试题，共24页。试卷主要包含了设集合，则，若，，，则的值为，已知，，，则等内容，欢迎下载使用。
江苏省南京市江宁高级中学2022届高三下学期适应性考试数学试题第I卷（选择题）评卷人得分  一、单选题1．设集合，则（       ）A．(-2，4] B．(-2，4) C．(0，2) D．[0，2)2．已知复数z满足，则在复平面内复数z对应的点在（       ）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则的展开式的各项系数之和为（       ）A． B． C． D．4．我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为62个.已知1个超导量子比特共有“，”2种叠加态，2个超导量子比特共有“，，，”4种叠加态，3个超导量子比特共有“，，，，，，，”8种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长.设62个超导量子比特共有种叠加态，则是一个（       ）位的数.(参考数据：)A．18 B．19 C．62 D．635．若，，，则的值为（       ）A． B． C． D．6．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，将角的终边绕点顺时针旋转后，经过点，则（       ）A． B． C． D．7．已知椭圆与圆，过椭圆的顶点作圆的两条切线，若两切线互相垂直，则椭圆的离心率是（        ）A． B． C． D．8．已知，，，则（        ）A． B．C． D．评卷人得分  二、多选题9．有一组样本甲的数据，由这组数据得到新样本乙的数据，其中为不全相等的正实数．下列说法正确的是（       ）A．样本甲的极差一定小于样本乙的极差B．样本甲的方差一定大于样本乙的方差C．若为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为D．若为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为10．已知函数关于对称，则下列结论正确的是（       ）A． B．在上单调递增C．函数是偶函数 D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称11．已知两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列说法正确的是（　　） A．若为等差数列，则 B．若为等差数列，则C．若为等差数列，则 D．若，则也为等差数列，且公差为12．在棱长为1的正方体中，M为底面ABCD的中心，，，N为线段AQ的中点，则下列命题中正确的是（        ）A．CN与QM共面B．三棱锥的体积跟的取值有关C．当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为D．时，第II卷（非选择题）评卷人得分  三、填空题13．已知实数满足，则的最小值是_______．14．某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有_______种．15．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_______．评卷人得分  四、双空题16．祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果裁得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．现已知直线与双曲线及其渐近线围成的平面图形G如图所示，若将图形G被直线所截得的两条线段绕y轴旋转一周，则形成的旋转面的面积_________；若将图形G绕y轴旋转一周，则形成的旋转体的体积___________．评卷人得分  五、解答题17．已知数列满足，，．(1)求的值并求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．18．从①为锐角且sinB－cosC＝；②b＝2asin(C＋)这两个条件中任选一个，填入横线上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，       ．(1)求角A；(2)若b＝c且BC边上的高AD为2，求CD的长．19．如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面，且.（1）证明：平面；（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值.20．过抛物线的焦点的直线交抛物线于A和B两点，过A和B两点分别作抛物线的切线，两切线交于点E．(1)求证：．(2)若，求的面积的取值范围．21．2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知．①试证明为等比数列；②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．22．设函数．(1)当时，恒成立，求b的范围；(2)若在处的切线为，且，求整数m的最大值．
参考答案：1．A【解析】【分析】先求出集合B，再根据并集定义即可求出.【详解】因为集合，所以.故选：A.2．A【解析】【分析】设出复数z的代数形式，再利用复数相等求出复数z即可作答.【详解】设，，则，由得：，即，于是得，解得，则有对应的点为，所以在复平面内复数z对应的点在第一象限.故选：A3．C【解析】【分析】由已知条件解出n，令x＝1即可得到答案﹒【详解】由题知，由组合数性质解得n＝6，∴＝，令x＝1，得展开式各项系数之和为，故选：C.4．B【解析】【分析】根据题意个超导量子比特共有种叠加态，进而两边取以为底的对数化简整理即可得答案.【详解】根据题意，设个超导量子比特共有种叠加态，所以当有62个超导量子比特共有种叠加态。两边取以为底的对数得，所以，由于，故是一个19位的数.故选：B【点睛】本题考查数学文化，对数运算，考查知识的迁移与应，是中档题.本题解题的关键在于根据材料得个超导量子比特共有种叠加态，进而根据对数运算求解.5．A【解析】【分析】根据题意得到，，结合，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量，，可得，，因为，可得，解得.故选：A.6．B【解析】【分析】根据角的概念以及三角函数的定义，可得和，再根据以及两角和的正弦公式计算可得答案.【详解】∵角的终边按顺时针方向旋转后得到的角为，∴由三角函数的定义，可得：，，∴，故选：B.7．B【解析】【分析】根据椭圆和圆的方程，结合图形，可判断出相切时，切线与坐标轴的夹角的大小，进而求解.【详解】由题意可知，若两切线垂直，则过椭圆的左右顶点作圆的切线.两切线垂直，只需要,所以 故选：B8．D【解析】【分析】构造函数以及函数，分别利用导数研究其单调性，进而根据单调性比较函数值的大小.【详解】令，，当时，，，，单调递增，，即，，即，令，，令， 令，，当时，，单调递增，在上单调递减，，，在上单调递减，，即， 综上：.故选：D.9．ACD【解析】【分析】根据甲的极差、平均数、方差、中位数确定乙的相关数据特征，结合各选项的描述判断正误.【详解】为不全相等的正实数，若甲的极差为，平均数为，方差为，则，中位数为，则乙的极差为，平均数为，方差为，中位数为，A：由，故正确.B：由题意可知，，故不正确.C：由上分析知：若为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为，正确；D：由上分析知：若为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为，正确；故选：ACD10．AC【解析】【分析】根据题意，可知是对称轴，可解得，然后根据三角函数的性质，即可求出单调性，对称中心.【详解】因为 ,函数关于对称，可知，所以解得：，故A 对. ,当时，，故B不对. ，所以是偶函数，故C对.的图象向左平移个单位长度，得到,当 时，，所以D错.故选：AC11．ABD【解析】【分析】对于A，利用化简可得答案；对于B，利用化简可得答案；对于C，利用化简可得答案；对于D，根据可得答案.【详解】对于A，因为为等差数列，所以，即，所以，化简得，所以，故A正确；对于B，因为为等差数列，所以，所以，所以，故B正确；对于C，因为为等差数列，所以，所以，化简得，所以或，故C不正确；对于D，因为，且，所以，所以，所以，所以也为等差数列，且公差为，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键.12．AC【解析】【分析】由是 中点，可得即可判断A,由到平面的距离为定值，的面积为定值，故体积为定值，可判断B，时，过A，Q，M三点的正方体的截面是等腰梯形，即可判断C，根据判断是否是等腰三角形，即可判断D.【详解】连接 ,在中，,所以CN与QM共面，故A对. , 三棱锥的体积跟的取值无关，故B错.当时，过A，Q，M三点的正方体的截面是等腰梯形， 所以截面的周长为 ,故C对.当时， 是中点，所以不垂直，故D错误.故选：AC13．16【解析】【分析】根据对数定义和运算可得，利用基本不等式代入整理计算．【详解】∵，则可得∴∵当且仅当时等号成立∴故答案为：16．14．20【解析】【分析】根据题意，设5个节目中除甲、乙、丙之外的2个节目为，，分2步进行分析：先将甲乙丙三个节目按给定顺序排好，再将、依次插入到空位之中，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，设5个节目中除甲、乙、丙之外的2个节目为，；分2步进行分析：①，将甲乙丙三个节目按给定顺序排好，②，排好后有4个空位，将安排到空位中，有4种情况，排好后有5个空位，将安排到空位中，有5种情况，则不同的排法有种；故答案为：2015．【解析】【分析】分析可知直线与函数在上的图象只有一个交点，利用导数分析函数在上的单调性与极值，数形结合可求得的值，再利用导数可求得函数在上的最大值和最小值，即可得解.【详解】当时，由可得，令，其中，则，由，可得，列表如下：增极大值减 如下图所示：因为在内有且只有一个零点，则，所以，，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，则当时，，又因为，，所以，，因此，在上的最大值与最小值的和为.故答案为：.16．          【解析】【分析】由直线，其中，分步联立方程组和，求得的坐标，进而求得圆环的面积，再结合题意得到该几何体的体积与底面面积为，高为4的圆柱的体积相同，利用圆柱的体积公式，即可求解.【详解】如图所示，双曲线，其中一条渐近线方程为，由直线，其中，联立方程组，解得，联立方程组，解得，所以截面圆环的面积为，即旋转面的面积为，根据“幂势既同，则积不容异”，可得该几何体的体积与底面面积为，高为4的圆柱的体积相同，所以该几何体的体积为.故答案为：；.17．(1)，;(2).【解析】【分析】（1）根据已知条件及数列的递推公式，取项数可得出数列的各项，再利用等比数列的通项公式即可求解；（2）根据对数的运算性质，再利用裂项相消法即可求解.(1)因为，又 ，所以，，．                       当时，，所以，从而，所以数列是以首项为，公比为的等比数列，于是有，又因为，不满足上式，所以数列的通项公式为.(2)由（1）知，，＝，故＝＝．所以所以数列的前项和为．18．(1)条件选择见解析，(2)【解析】【分析】（1）在三角形中，运用正余弦定理，实现边角互化即可求解.（2）根据三角形的面积公式可得的关系，在中运用余弦定理可求出的值，然后根据边的长度用余弦定理求角，即可求解.(1)选①因为，所以，由余弦定理得，，所以，即由正弦定理得在中，有，故由A为锐角，得选②因为b＝2asin(C＋)，由正弦定理得即       化简得在中，有，由A为锐角得，所以，得(2)由题意得，，所以，又b＝c，所以由余弦定理，解得所以，，所以是钝角三角形所以，所以在直角中，19．（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）要证线面垂直，只要证垂直于平面内的两条相交直线，根据所给数据和垂直关系，即可得证；（2）要求二面角，本题可用空间直角坐标系，连结，由（1）可知，平面，所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，求出各个面的法向量利用向量的夹角公式，即可得解.【详解】（1）如图，在梯形中，因为，作于，则，所以，所以，连结，由余弦定理可求得，因为，所以，因为平面平面且交于，所以平面，因为平面，所以，因为，，所以平面；（2）连结，由（1）可知，平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为平面，所以在平面内的射影为，所以与平面所成的角为，即，在中，因为，所以，则，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则有，即，令，则，，故，设平面的法向量为，则有，即，令，则，，故，所以，由图可知，二面角锐二面角，故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的证明，考查了利用空间直角坐标系求法向量求二面角，要求逻辑思维能力和较高的计算能力，属于较难题.本题的关键点有：（1）利用数据构造直角三角形得到垂直关系；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用方程求二面角的法向量是求二面角的关键.20．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）设出直线方程，与抛物线联立，表示出和方程，求得点，则可证明；（2）由题得出，则可得，再表示出面积即可求出.(1)由题意知当直线斜率不存在时不符合题意，设，联立，可得，则，，， 则直线方程为，直线的方程为，联立两直线可得，即， 当时，轴，轴，成立，当时，，也成立，综上，；(2)由可得，则，由得，则，所以.21．(1)分布列见解析，(2)①证明见解析；②【解析】【分析】（1）先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；（2）递推求解，记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，满足.(1)解析1：分布列与期望依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，，，，，X的分布列为：X0123P 期望．（1）解析2：二项分布依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，易知，，．X的分布列为：X0123P 期望．(2)解析：递推求解①第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则，从而，又，∴是以为首项．公比为的等比数列．②由①可知，，，故．22．(1);(2)2【解析】【分析】（1）求出当时，只需要；（2）先根据切线的条件求出参数，在类似（1）中用恒成立的方式来处理.(1)由，当时，得．当时，，所以，即在上单调递增，所以，由恒成立，得，所以，即b的范围是．(2)由得，且．由题意得，所以，又在切线上．所以，所以，即．因为，所以有．令，则等价于，即，从而．设，则．易知在上单调递增，且．所以，由函数零点存在性定理知，存在唯一的使得，即，则．当时，在上单调递减；当时，在上单调递增．从而．而在上是减函数，所以．因此的最小值．从而整数m的最大值是2．