2021-2022学年江苏省盐城初级中学中校区九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省盐城初级中学中校区九年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

3. 以下历届冬奥会会标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.
C.  D.

4. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为

A.  B.  C.  D.

5. 估计的值在

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

6. 数据，，，，的中位数是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，，，若点，，分别是边，，的中点，则

A.
B.
C.
D.

8. 已知，则代数式的值是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9. 若式子有意义，则实数的取值范围是______ ．
10. 分解因式：______．
11. 圆锥的母线长为，底面圆的半径长为，则该圆锥的侧面积为______．
12. 盐城市的“瓢城绿廊”是瓢形连续道路，是瓢城绿链，文化长廊，传承城墙记忆，再现瓢城古韵，长廊总长度米，其中数据用科学记数法表示为______米．
13. 将抛物线向上平移个单位得到的抛物线是______ ．
14. 如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中的度数是______

15. 甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的，两处同时出发，都以不变的速度相向而行，甲、乙两人之间的距离单位：与甲行走时间单位：的函数关系如图所示，则______．

16. 如图，把四边形纸片分别沿和折叠，恰好使得点和点、点和点重合，在折叠成的新四边形中，，，，则的面积是______．

三、计算题（本大题共1小题，共14.0分）

17. 【问题情境】
    如图，木匠陈师傅现有一块五边形木板，它是由矩形木板用去后的余料，，，，点是边上一点．陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在上，并使得所截矩形材料的面积最大．
    【初步探究】
    若时，爱动脑筋的小明尝试对特殊位置矩形面积进行计算．
    特殊位置：若截取的矩形有一边是，则截取的矩形面积是______；
    特殊位置：若截取的矩形有一边是，则截取的矩形面积是______．
    【问题解决】
    计算：当时，小明发现可以截取出比特殊位置或特殊位置时面积更大的矩形，请你计算出该矩形面积的最大值．
    应用：如图，陈师傅还有另一块余料，，，，，，且和之间的距离为，曲线是反比例函数图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在上，则所截矩形材料面积的最大值是______．
    【深度思考】
    经探究，小明发现，当满足某个条件时，符合陈师傅要求的矩形恰好另一条边是，请问：需满足什么条件，请说明理由．

四、解答题（本大题共10小题，共88.0分）

18. 计算：．
19. 解不等式组：．
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，点、分别是矩形的边、上的一点，且求证：．
    
     

22. 某校九年级数学社团随机抽取部分学生，对“错题整理习惯”进行问卷调查．他们设计的问题：对自己做错的题目进行整理纠错，答案选项为：：很少，：有时，：常常，：总是．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图：
    请根据图中信息，解答下列问题：
    请你补全条形统计图；
    “很少”所占的百分比______，“常常”对应扇形的圆心角度数为______；
    若该校有名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理纠错的学生共有多少名？

23. 鹿鸣路初级中学为了开展学生阅读活动，计划从书店购进若干本、两类图书每本类图书的价格相同，每本类图书的价格也相同，且每本类图书的价格比每本类图书的价格多元，用元购进的类图书与用元购进的类图书册数相同，求每本类图书和每本类图书的价格各为多少元？
24. 现有甲、乙、丙三人组成的篮球训练小组，他们三人之间进行互相传球练习，篮球从一个人手中随机传到另外一个人手中计作传球一次，共连续传球三次．
    若开始时篮球在甲手中，则经过第一次传球后，篮球落在丙的手中的概率是______；
    若开始时篮球在甲手中，求经过连续三次传球后，篮球传到乙的手中的概率．请用画树状图或列表等方法求解
25. 如图，在中，，，点在上，以为圆心，为半径的交于点，交于点，是的切线，与交于点．
    求证：；
    若，，求弧的长．
     

26. 如图，抛物线与轴交于点和点，直线：与抛物线交于点和点，且与轴交于点．
    求直线的函数表达式；
    若为抛物线上一点，当时，求点的坐标．

27. 苏科版数学七下教材中有这样一段阅读材料：
    著名的反例：公元年，著名数学家费马发现：
    ，，，，
    而、、、、都是质数，于是费马猜想：对于一切自然数口，都是质数．可是，到了年，数学家欧拉发现：．
    这说明了是个合数，从而否定了费马的猜想．
    这个故事告诉我们，举反例是说明一个数学命题不成立的常用方法．
    Ⅰ代数中的反例：
    用举反例说明“”是个假命题时，的取值范围是______．
    请你举反例说明“反比例函数，随的增大而减小”是个假命题．
    Ⅱ几何中的反例：
    学习全等三角形判定时，我们知道“两边相等和一相等边所对的角也相等的两个三角形不一定全等”，即“”不全等．请借助已给的，用三种方法在图形基础上构造一个三角形，使得构造出的三角形满足以下三个条件：
    有两边分别与和相等；
    与相等边所对的角等于；
    构造出的三角形与不全等．
    要求：用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，并写出必要的文字说明；
    不可借助已构造出符合条件的三角形利用全等变换作图．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义即可得出答案．
本题考查了相反数，解题的关键是掌握只有符号不同的两个数互为相反数．
 

2.【答案】

【解析】解：．
故选：．
根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算．
本题主要考查同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，本题需注意：单独的一个字母的指数是．
 

3.【答案】

【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
 

4.【答案】

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故选：．
直接利用关于轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确掌握关于轴对称点的性质是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】解：，
，
故选：．
用“夹逼法”找到在哪两个可化为整数的算术平方根之间即可．
 

6.【答案】

【解析】解：将这个数据从小到大排列为：、、、、，
所以中位数为，
故选：．
将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
本题考查了中位数，注意求中位数的时候首先要排序．
 

7.【答案】

【解析】解：，，，
，
点，，分别是边，，的中点，
，是的中位线，
，，
即，，
四边形是平行四边形，
，
故选：．
先根据三角形内角和定理求出，再根据三角形中位线定理证得，，得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求得．
本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质和判定，三角形内角和定理，根据三角形中位线定理证得，，进而得到四边形是平行四边形是解决问题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：，
．
原式．
故选：．
由已知可得：，将代数式适当变形，利用整体代入的思想进行运算即可得出结论．
本题主要考查了求代数式的值．利用整体代入的方法可使运算简便．
 

9.【答案】

【解析】解：要使式子有意义，必须，
解得：，
故答案为：．
根据分式有意义的条件得出，再求出即可．
本题考查了分式有意义的条件，注意：分式中，分母．
 

10.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
主要考查平方差公式分解因式，熟记平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
 

11.【答案】

【解析】解：圆锥的侧面积为：，
故答案为：．
直接用圆锥的侧面积公式计算即可．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化．
 

12.【答案】

【解析】解：，
故答案是：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．对于较大数为原整数位减．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

13.【答案】

【解析】解：将抛物线向上平移个单位得到的抛物线是．
故答案是：．
根据“左加右减，上加下减”的规律解答．
主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
 

14.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，

，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的邻角互补解答．
 

15.【答案】

【解析】解：由图象可得，
甲走路的速度为：，
则乙走路的速度为：，
，
故答案为：．
根据函数图象中的数据可以先求出甲走路的速度，然后再求出乙走路的速度，然后即可计算出的值．
本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：由折叠得到，由折叠得到，
，，，，
，，，
，，，
，
，
，
，
如图，过点作交的延长线于点，

，，
，
在和中，
，
≌，
，


，
故答案为：．
先由勾股定理求出，的长，再过点作交的延长线于点，再证≌，得到，再由即可得出答案．
本题考查折叠的性质，勾股定理，全等三角形等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，构建全等三角形．
 

17.【答案】   

【解析】解：【初步探究】特殊位置
如图，

以，为边的矩形面积为，
故答案为：；
特殊位置
如图，

以，为边的矩形面积为，
故答案为：；
【问题解决】
计算：如图，

当在上，矩形为时，延长交于，设，
由矩形的性质可得，则∽，
，
，
，
，
，
当时，，
该矩形的面积最大值为，
应用：如图，在上取点，满足，，建立平面直角坐标系，曲线是的一部分，

与之间的距离为，
，，，，，
当矩形为时，
设为，
，
，
：，
设，
把代入得：，
，
，
，
当时，有最大值，
此时，
所截矩形材料面积的最大值是，
故答案为：；
【深度思考】
如图

设，，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，
又矩形的一边为，即，
，
，
，
经检验，符合题意，
的长为．
【初步探究】若想截取的矩形的面积最大，则以或为边即可；
【问题解决】计算：当在上，矩形为时，延长交于，设，由矩形的性质可得，则∽，表示出矩形的面积，利用二次函数的性质可得答案；
应用：在上取点，满足，，建立平面直角坐标系，利用待定系数法可得直线的解析式，设，同理可得，从而解决问题；
【深度思考】设，，运用相似同理可得，则，利用二次函数的性质，从而解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式等知识，表示出矩形的面积，利用二次函数的性质求最值是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

．

【解析】根据零指数幂的意义、绝对值的性质以及二次根式的性质即可求出答案．
本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用零指数幂的意义、绝对值的性质以及二次根式的性质，本题属于基础题型．
 

19.【答案】解：解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集为．

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：原式

，
当时，原式．

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
在和中，

≌，
．

【解析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
由证明≌，即可得出．
 

22.【答案】 

【解析】解：名，
该调查的样本容量为，
名，
如图，

，
“常常”对应扇形的圆心角为：．
故答案为：，；
名，
“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有名．
首先用“有时”对错题进行整理、分析、改正的学生的人数除以，求出该调查的样本容量为多少，求出常常“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数，补全条形统计图即可；
用很少“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数除以样本容量，求出的值；最后根据“常常”对应的人数的百分比是，求出“常常”对应扇形的圆心角为多少即可；
用该校学生的人数乘“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生占的百分率即可．
此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

23.【答案】解：设每本类图书的价格为元，则每本类图书的价格为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：每本类图书的价格为元，每本类图书的价格为元．

【解析】设每本类图书的价格为元，则每本类图书的价格为元，利用数量总价单价，结合用元购进的类图书与用元购进的类图书册数相同，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

24.【答案】解：；
画树状图如图所示：
由树形图可知三次传球有种等可能结果，三次传球后，篮球传到乙的手中的结果有种，
篮球传到乙的手中的概率为．

【解析】解：经过第一次传球后，篮球落在丙的手中的概率为；
故答案为：；
见答案．
由概率公式即可得出答案；
根据题意先画出树状图得出所有等情况数，由树形图可知三次传球有种等可能结果，三次传球后，篮球传到乙的手中的结果有种，由概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
 

25.【答案】证明：连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
，，
，
为等边三角形，
；
解：连接，如图，
为等边三角形，
，
在中，，，
，
，
为直径，
，
在中，，
，
，
为等边三角形，
，
弧的长为：

【解析】连接，如图，根据切线的性质得，再计算出，则为等边三角形，所以；
连接，如图，利用为等边三角形得到，再在中利用得到，所以，接着根据圆周角定理得到，所以，然后证明为等边三角形得到，最后利用弧长公式计算弧的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和含度的直角三角形三边的关系．
 

26.【答案】解：把点代入得：
，
点，
直线：，点．
，解得，
直线：；

过点作轴于，过点作轴于，

，
直线：与抛物线交于点，
，解得或，
点，
，
，
点．
，
设，
，
或，
或舍去或或舍去，
点的坐标为或．

【解析】把点代入求出，利用待定系数法即可得直线的函数表达式；
过点作轴于，过点作轴于，求出点的坐标，设，由，即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，锐角三角函数等，解题关键是运用数形结合思想和方程思想解决问题．
 

27.【答案】

【解析】解：Ⅰ当时，，
当时，，
当时，，
是假命题，的取值范围是，
故答案为：；
当时，，
当时，，
当由变为时，由变为，
此时增大了也增大了，
反比例函数，随的增大而减小”是个假命题；
Ⅱ方法一：以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，连接，得，如图所示，

则为所构造的与不全等的三角形，
此时与满足，，边于边所对的角等于，即，但与不全等，
即为所求；
方法二：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，
以点为圆心，长为半径画弧，与前弧在的另侧交于点，
作射线，
以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，
以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，
连接，得，如图所示，

则为所构造的与不全等的三角形，
此时与满足，，边于边所对的角都等于，即，但与不全等，
即为所求；
方法三：以点为圆心，长为半径画弧，交的反方向延长线于点，
以点为圆心，长为半径画弧，交的反向延长线于点，点在外侧，
连接，得，如图，

则为所构造的与不全等的三角形，
此时与满足，，边于边所对的角都等于，即，但与不全等，
即为所求．
Ⅰ根据或或，分别计算可得答案；
取不同象限内的两点，即符合题意；
Ⅱ方法一、以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，连接，得和不全等；方法二、在的下方构造满足，，边于边所对的角都等于，即，但与不全等；方法三、以点为圆心，长为半径画弧，交的反方向延长线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交的反向延长线于点，点在外侧，得符合题意．
本题主要考查了反比例函数图象的性质，全等三角形的判定方法，举反例说明一个数学命题不成立等知识，熟练掌握尺规作图的基本方法是解题的关键．