2022年人教版七年级下册数学--期末典型试卷1

这是一份2022年人教版七年级下册数学--期末典型试卷1，共39页。
2021-2022学年下学期北京初中数学七年级期末典型试卷1
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•驿城区校级期中）计算（﹣0.125）2021×（﹣8）2022的结果是（　　）
A．18 B．-18 C．﹣8 D．8
2．（2020秋•汉阳区期末）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中∠α与∠β相等的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2015•南宁）不等式2x﹣3＜1的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2018秋•本溪期末）下列各组数中，不是方程2x+y＝10的解是（　　）
A．x=2y=6 B．x=3y=4 C．x=6y=-2 D．x=-2y=6
5．（2011•重庆）如图，AB∥CD，∠C＝80°，∠CAD＝60°，则∠BAD的度数等于（　　）

A．60° B．50° C．45° D．40°
6．（2017•苏州一模）小明记录了3月份某一周的最高气温如下表：
日期
12日
13日
14日
15日
16日
17日
18日
最高气温（℃）
15
10
13
14
13
16
13
那么7天每天的最高气温的众数和中位数分别是（　　）
A．13，14 B．13，15 C．13，13 D．10，13
7．（2021春•永嘉县校级期末）如图，正方形ABCD由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的3倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形ABCD的面积是（　　）

A．25 B．36 C．49 D．81
8．（2016春•句容市期中）计算22016+（﹣2）2016的结果是（　　）
A．22017 B．22015 C．0 D．﹣22017
9．（2022•上城区一模）斑马线前“车让人”，反映了城市的文明程度，但行人一般都会在红灯亮起前通过马路．某人行横道全长24米，小明以1.2m/s的速度过该人行横道，行至13处时，9秒倒计时灯亮了．小明要在红灯亮起前通过马路，他的速度至少要提高到原来的（　　）
A．1.1倍 B．1.4倍 C．1.5倍 D．1.6倍
10．（2020•宁波模拟）如图，7张全等的小长方形纸片（既不重叠也无空隙）放置于矩形ABCD中，设小长方形的长为a，宽为b（a＞b），若要求出两块黑色阴影部分的周长和，则只要测出下面哪个数据（　　）

A．a B．b C．a+b D．a﹣b
二．填空题（共8小题）
11．分解因式x2+x＝　 　，x3﹣x＝　 　，x2﹣9＝　 　
12．（2006•盐城）已知x﹣y＝2，则x2﹣2xy+y2＝　 　．
13．（2018春•孝义市期末）“网络红包”春节活动已经逐渐深入到大众生活，“微信红包”“支付等网上红包活动越来越受到人们的广泛关注．据《2018年春节前夕“网络红包”专题调研报告》显示：有76%的受访网民表示会参与“网络红包”春节活动，其中促使他们参与的原因是获得奖励、娱乐消遣、凑节日热闹以及新鲜感等．如图是来自该报告的两幅统计图，根据统计图提供的信息，若本次受访网民有10000人，则促使网民参与红包活动的原因是获得奖励的网民有　 　人．

14．如图，写出两组能使a∥b的条件：　 　或 　 　．

15．（2017秋•南岗区校级月考）不等式组2x-4＜03-3x≤1的整数解是　 　．
16．（2020春•宜春期末）如图，直线EF与CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，若∠AOE＝40°，则∠BOD的度数为　 　．

17．已知a、b是有理数．下列各式．
①|a+b|＜|a﹣b|，
②a2+b2﹣2|a|﹣2|b|+1＜0，
③a2+b2+|a|+|b|+1＜0，
中一定不成立的是　 　（填写序号）．
18．（2016秋•兴隆台区校级月考）观察下列球的排列规律（其中是实心球，是空心球）：

从第1个球起到第2004个球止，共有实心球　 　个．
三．解答题（共11小题）
19．（2021春•龙岗区期末）计算：
（1）（3.14﹣π）0﹣（12）﹣2﹣（﹣1）2021×|﹣3|；
（2）（2x2y）3•（﹣7xy2）÷（14x4y3）．
20．解下列不等式，并将解集用数轴表示出来：
（1）2（5x+3）≤x﹣3（1﹣2x）；（2）x+43-3x-12＜1．
21．（2010春•义乌市期末）因式分解：
（1）a3b﹣3abc；
（2）a2﹣4b2．
22．（2016秋•宝丰县期末）解下列方程组
（1）4x+3y=52x-y=-5（代入消元法）
（2）x-2y=-22x-y=2（加减消元法）
23．（2021春•项城市校级期末）（1）化简求值：[（a+12b）2﹣（a-12b）2]（2a-12b）（12b+2a）（14b2+4a2）（其中a＝﹣1，b＝2）；
（2）已知y＝﹣x2+（a﹣1）x+2a﹣3，当x＝﹣1时，y＝0．
①求a的值；
②当x＝1时，求y的值．
24．（2019秋•达川区期末）小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．

（1）如图①，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是　 　；
如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是　 　；
如图③，M为边AC延长线上一点，则BD、MF的位置关系是　 　；
（2）请就图①、图②、或图③中的一种情况，给出证明．我选图　 　来证明．
25．（2017•长春模拟）某单位有职工200人，其中青年职工（20﹣35岁），中年职工（35﹣50岁），老年职工（50岁及以上）所占比例如扇形统计图所示．
为了解该单位职工的健康情况，小张、小王和小李各自对单位职工进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．
表1：小张抽样调查单位3名职工的健康指数
年龄
26
42
57
健康指数
97
79
72
表2：小王抽样调查单位10名职工的健康指数
年龄
23
25
26
32
33
37
39
42
48
52
健康指数
93
89
90
83
79
75
80
69
68
60
表3：小李抽样调查单位10名职工的健康指数
年龄
22
29
31
36
39
40
43
46
51
55
健康指数
94
90
88
85
82
78
72
76
62
60
根据上述材料回答问题：
小张、小王和小李三人中，谁的抽样调查的数据能够较好地反映出该单位职工健康情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．

26．方程组x-y=53x-2y=0的解也是方程4x﹣3y+k＝0的解，求k的值．
27．（2020秋•吉水县期末）如图，已知CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1＝∠2，求证：FG∥BC．

28．（2009•香坊区二模）兴华造纸厂生产A、B两种型号的白纸，已知生产1吨A型白纸和3吨B型白纸可获利550元；生产3吨A型白纸和2吨B型白纸可获利600元．
（1）求生产1吨A型白纸和生产1吨B型白纸分别获利多少元？
（2）二月份正值中小学书本印刷高峰，该厂每天生产A、B两种型号的白纸共90吨，其中A型白纸是B型白纸的2倍少30吨．从三月份起，由于市场经济萧条，两种类型的白纸每吨获利均减少了20%，因此，该厂采用新的生产技术，结果三月份每天比二月份每天多生产20吨纸，每天利润超过了二月份每天的利润，但仍不超过11080元，求该厂三月份每天生产A型白纸多少吨？（吨数为整数）
29．（2018春•聊城期中）如图，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1＝∠2，试判断BE与CF的位置关系，并说明你的理由．请补全下列说理过程．
解：BE　 　CF
理由是：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）．
∴∠　 　＝∠　 　＝90°（垂直的定义）
∵∠1＝∠2（已知）．
∴∠ABC﹣∠1＝∠　 　﹣∠2．（等式的基本性质）
即∠EBC＝　 　
∴BE　 　CF（　 　）


2021-2022学年下学期北京初中数学七年级期末典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•驿城区校级期中）计算（﹣0.125）2021×（﹣8）2022的结果是（　　）
A．18 B．-18 C．﹣8 D．8
【考点】幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】逆用积的乘方：anbn＝（ab）n计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝（-18）2021×82022
＝（-18）2021×82021×8
＝（-18×8）2021×8
＝（﹣1）2021×8
＝﹣1×8
＝﹣8，
故选：C．
【点评】本题考查了积的乘方，掌握anbn＝（ab）n是解题的关键．
2．（2020秋•汉阳区期末）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中∠α与∠β相等的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】余角和补角．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】根据余角与补角的定义进行求解即可．
【解答】解：A、由图可得∠α+∠β＝90°，故A不符合题意；
B、由图可得∠α＝60°，∠β＝75°，故B不符合题意；
C、由图可得∠α＝∠β，故C符合题意；
D、由图可得：∠α+∠β＝180°，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查余角与补角，解答的关键是对余角与补角的定义的掌握．
3．（2015•南宁）不等式2x﹣3＜1的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．菁优网版权所有
【专题】数形结合．
【分析】先解不等式得到x＜2，用数轴表示时，不等式的解集在2的左边且不含2，于是可判断D选项正确．
【解答】解：2x＜4，
解得x＜2，
用数轴表示为：
．
故选：D．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集：用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
4．（2018秋•本溪期末）下列各组数中，不是方程2x+y＝10的解是（　　）
A．x=2y=6 B．x=3y=4 C．x=6y=-2 D．x=-2y=6
【考点】二元一次方程的解．菁优网版权所有
【分析】把每对数代入方程，看看两边是否相等即可．
【解答】解：A、∵当x＝2，y＝6时，左边＝2×2+6＝10，右边＝10，
左边＝右边，
∴x=2y=6是方程2x+y＝10的解，故本选项错误；
B、∵当x＝3，y＝4时，左边＝2×3+4＝10，右边＝10，
左边＝右边，
∴x=3y=4是方程2x+y＝10的解，故本选项错误；
C、∵当x＝6，y＝﹣2时，左边＝2×6﹣2＝10，右边＝10，
左边＝右边，
∴x=6y=-2是方程2x+y＝10的解，故本选项错误；
D、∵当x＝﹣2，y＝6时，左边＝2×（﹣2）+6＝2，右边＝10，
左边≠右边，
∴x=-2y=6不是方程2x+y＝10的解，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，能理解二次一元方程的解的定义是解此题的关键．
5．（2011•重庆）如图，AB∥CD，∠C＝80°，∠CAD＝60°，则∠BAD的度数等于（　　）

A．60° B．50° C．45° D．40°
【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠BAD的度数．
【解答】解：∵∠C＝80°，∠CAD＝60°，
∴∠D＝180°﹣80°﹣60°＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠D＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和为180°，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．
6．（2017•苏州一模）小明记录了3月份某一周的最高气温如下表：
日期
12日
13日
14日
15日
16日
17日
18日
最高气温（℃）
15
10
13
14
13
16
13
那么7天每天的最高气温的众数和中位数分别是（　　）
A．13，14 B．13，15 C．13，13 D．10，13
【考点】众数；中位数．菁优网版权所有
【专题】推理填空题．
【分析】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此判断即可．
【解答】解：∵这组数据中13出现的次数最多，是3次，
∴每天的最高气温的众数是13；
把3月份某一周的气温由高到低排列是：
16℃、15℃、14℃、13℃、13℃、13℃、10℃，
∴每天的最高气温的中位数是13；
∴每天的最高气温的众数和中位数分别是13、13．
故选：C．
【点评】此题主要考查了众数、中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．
7．（2021春•永嘉县校级期末）如图，正方形ABCD由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的3倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形ABCD的面积是（　　）

A．25 B．36 C．49 D．81
【考点】二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
【专题】方程思想；一次方程（组）及应用．
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，则大长方形的长为3x，宽为3y，观察图形可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再利用正方形的面积公式即可求出大正方形ABCD的面积．
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，则大长方形的长为3x，宽为3y，
根据题意得：3x-3y=x+yx-y=1，
解得：x=2y=1，
∴（3x+3y）2＝（3×2+3×1）2＝81．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（2016春•句容市期中）计算22016+（﹣2）2016的结果是（　　）
A．22017 B．22015 C．0 D．﹣22017
【考点】因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【专题】计算题；因式分解．
【分析】原式利用乘方的意义变形，提取公因式后计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝22016+22016＝22016×（1+1）＝22017，
故选：A．
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
9．（2022•上城区一模）斑马线前“车让人”，反映了城市的文明程度，但行人一般都会在红灯亮起前通过马路．某人行横道全长24米，小明以1.2m/s的速度过该人行横道，行至13处时，9秒倒计时灯亮了．小明要在红灯亮起前通过马路，他的速度至少要提高到原来的（　　）
A．1.1倍 B．1.4倍 C．1.5倍 D．1.6倍
【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【分析】根据题意表示出行驶的路程≥24×（1-13），进而得出答案．
【解答】解：设他的速度要提高到原来的x倍，根据题意可得：
9×1.2x≥24×（1-13），
解得：x≥4027，
∵4027≈1.48，
∴他的速度至少要提高到原来的1.5倍．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确得出不等关系是解题关键．
10．（2020•宁波模拟）如图，7张全等的小长方形纸片（既不重叠也无空隙）放置于矩形ABCD中，设小长方形的长为a，宽为b（a＞b），若要求出两块黑色阴影部分的周长和，则只要测出下面哪个数据（　　）

A．a B．b C．a+b D．a﹣b
【考点】整式的加减；列代数式．菁优网版权所有
【专题】几何图形问题；整式；运算能力．
【分析】延长EF，交AB于点N，利用平移思想分析可得两块阴影部分的周长之和即为长方形MANF和正方形GHKC的周长之和，从而结合整式加减的运算法则列式计算，作出判断．
【解答】解：如图，延长EF，交AB于点N，

由题意可得AD＝BC＝a+b，
∴CG＝b，CK＝BC﹣BK＝b，
结合平移思想可得两块阴影部分的周长之和即为长方形MANF和正方形GHKC的周长之和，
∴两块阴影部分的周长和＝2[a+（a+b﹣3b）]+4b
＝2（a+a+b﹣3b）+4b
＝2a+2a+2b﹣6b+4b
＝4a，
∴若要求出两块黑色阴影部分的周长和，则只要测出数据a，
故选：A．
【点评】本题考查整式加减的应用，准确识图，利用平移思想分析得出两块阴影部分的周长之和即为长方形MANF和正方形GHKC的周长之和是解题关键．
二．填空题（共8小题）
11．分解因式x2+x＝　x（x+1）　，x3﹣x＝　x（x+1）（x﹣1）　，x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【专题】因式分解；运算能力．
【分析】原式提取公因式x即可；原式提取公因式x，再利用平方差公式分解即可；原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：x2+x＝x（x+1），x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．
故答案为：x（x+1）；x（x+1）（x﹣1）；（x+3）（x﹣3）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（2006•盐城）已知x﹣y＝2，则x2﹣2xy+y2＝　4　．
【考点】完全平方公式．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】根据完全平方公式直接求解．
【解答】解：∵x﹣y＝2，
∴x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝22＝4．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题的关键，整体代入思想的利用也比较关键．
13．（2018春•孝义市期末）“网络红包”春节活动已经逐渐深入到大众生活，“微信红包”“支付等网上红包活动越来越受到人们的广泛关注．据《2018年春节前夕“网络红包”专题调研报告》显示：有76%的受访网民表示会参与“网络红包”春节活动，其中促使他们参与的原因是获得奖励、娱乐消遣、凑节日热闹以及新鲜感等．如图是来自该报告的两幅统计图，根据统计图提供的信息，若本次受访网民有10000人，则促使网民参与红包活动的原因是获得奖励的网民有　4788　人．

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有
【专题】常规题型；统计的应用．
【分析】先求出会参与网络红包的人数，再根据参与红包活动的原因是获得奖励的百分比为63%可得．
【解答】解：∵在本次受访的10000名网民中，会参与网络红包的人数为10000×76%＝7600人，
∴促使网民参与红包活动的原因是获得奖励的网民有7600×63%＝4788人，
故答案为：4788．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
14．如图，写出两组能使a∥b的条件：　∠1＝∠2　或 　∠4＝∠5或∠3+∠5＝180°　．

【考点】平行线的判定．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】由∠4＝∠5，利用同位角相等两直线平行即可得到a与b平行；由∠1＝∠2，利用内错角相等两直线平行即可得到a与b平行；由∠3+∠5＝180°，利用同旁内角互补两直线平行，即可得到a与b平行．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴a∥b；
∵∠4＝∠5，
∴a∥b；
∵∠3+∠5＝180°，
∴a∥b．
故答案为：∠1＝∠2，∠4＝∠5或∠3+∠5＝180°．
【点评】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．
15．（2017秋•南岗区校级月考）不等式组2x-4＜03-3x≤1的整数解是　1　．
【考点】一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x﹣4＜0得x＜2，
解不等式3﹣3x≤1得：x≥23，
则不等式组的解集为23≤x＜2，
∴不等式组的整数解为1，
故答案为：1
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键
16．（2020春•宜春期末）如图，直线EF与CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，若∠AOE＝40°，则∠BOD的度数为　20°　．

【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】根据OA⊥OB可知∠AOB＝90°，根据∠AOE＝40°，OC平分∠AOF，∠AOF+∠AOE＝180°，求出∠BOD的大小．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
又∵∠AOE＝40°，
∴∠AOF＝180°﹣40°＝140°，
又∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC=12×140°＝70°，
∴∠BOD＝180°﹣90°﹣70°＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了角的计算，垂线、角平分线、邻补角．解题的关键的掌握角的计算方法，涉及垂线、角平分线、邻补角等概念，是一道关于角的综合题．
17．已知a、b是有理数．下列各式．
①|a+b|＜|a﹣b|，
②a2+b2﹣2|a|﹣2|b|+1＜0，
③a2+b2+|a|+|b|+1＜0，
中一定不成立的是　③　（填写序号）．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．菁优网版权所有
【专题】推理填空题；推理能力．
【分析】当a＝1，b＝﹣1时，即可判断①；当a＝b＝1时，即可判断②；由所有项都是非负的，并且有一项为1，即可判断③；即可得出答案．
【解答】解：①式有可能成立，例如当a＝1，b＝﹣1时成立，不符合题意；
②式有可能成立，例如当a＝b＝1时成立，不符合题意；
③式一定不成立，因为不等号左边的所有项都是非负的，并且有一项为1，符合题意；
故答案为：③．
【点评】本题考查了非负数的性质，当a＝1，b＝1或﹣1时是检验本题的关键．
18．（2016秋•兴隆台区校级月考）观察下列球的排列规律（其中是实心球，是空心球）：

从第1个球起到第2004个球止，共有实心球　602　个．
【考点】规律型：图形的变化类．菁优网版权所有
【专题】规律型；实数；数感．
【分析】根据题意分析可得：●〇〇●●〇〇〇〇〇共10个是一组，且依次循环．
【解答】解：从第1个球起到第2004个球止，即200组再加4个；共有实心球的个数为200×3+2＝602（个）．
故答案为：602．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
三．解答题（共11小题）
19．（2021春•龙岗区期末）计算：
（1）（3.14﹣π）0﹣（12）﹣2﹣（﹣1）2021×|﹣3|；
（2）（2x2y）3•（﹣7xy2）÷（14x4y3）．
【考点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；实数；整式；运算能力．
【分析】（1）实数的混合运算，先分别化简零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值，然后再计算；
（2）整式的混合运算，先算乘方，然后算乘除．
【解答】解：（1）原式＝1﹣4+1×3
＝1﹣4+3
＝0；
（2）原式＝8x6y3•（﹣7xy2）÷（14x4y3）
＝﹣56x7y5÷（14x4y3）
＝﹣4x3y2．
【点评】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则是解题关键．
20．解下列不等式，并将解集用数轴表示出来：
（1）2（5x+3）≤x﹣3（1﹣2x）；（2）x+43-3x-12＜1．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
【分析】根据解不等式的一般步骤解答即可．解不等式的一般步骤为：去分母，去括号，移项及合并同类项，系数化为1．
【解答】解：（1）去括号得，10x+6≤x﹣3+6x，
移项及合并得，3x≤﹣9，
系数化为1，得x≤﹣3，
在数轴上表示得：


（2）去分母得，2（x+4）﹣3（3x﹣1）＜6，
去括号得，2x+8﹣9x+3＜6，
移项及合并得，﹣7x＜﹣5，
系数化为1，得x＞57．
在数轴上表示得：

【点评】本题考查解不等式的一般步骤，在做题过程中需注意符号问题；解集注意空心圆圈和实心圆点的区别；在不等式的两边同时除以同一个负数不等号的方向改变．
21．（2010春•义乌市期末）因式分解：
（1）a3b﹣3abc；
（2）a2﹣4b2．
【考点】因式分解﹣运用公式法；因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】（1）提出公因式ab即可；
（2）根据平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）a3b﹣3abc＝ab（a2﹣3c）．

（2）a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．
【点评】本题主要考查对分解因式的方法的理解和掌握，能熟练地运用适当的方法分解因式是解此题的关键．
22．（2016秋•宝丰县期末）解下列方程组
（1）4x+3y=52x-y=-5（代入消元法）
（2）x-2y=-22x-y=2（加减消元法）
【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）4x+3y=5①2x-y=-5②，
由②得：y＝2x+5③，
把③代入①得：4x+6x+15＝5，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入③得：y＝3，
则方程组的解为x=-1y=3；
（2）x-2y=-2①2x-y=2②，
②﹣①×2得：3x＝6，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝2，
则方程组的解为x=2y=2．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
23．（2021春•项城市校级期末）（1）化简求值：[（a+12b）2﹣（a-12b）2]（2a-12b）（12b+2a）（14b2+4a2）（其中a＝﹣1，b＝2）；
（2）已知y＝﹣x2+（a﹣1）x+2a﹣3，当x＝﹣1时，y＝0．
①求a的值；
②当x＝1时，求y的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
【专题】计算题；整式；运算能力．
【分析】（1）首先化简，然后把a＝﹣1，b＝2代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．
（2）①根据点的坐标满足函数解析式，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案；
②根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【解答】解：（1）[（a+12b）2﹣（a-12b）2]（2a-12b）（12b+2a）（14b2+4a2）
＝（a+12b+a-12b）（a+12b﹣a+12b）（4a2-14b2）（14b2+4a2）
＝2ab（16a4-116b4）
∵当a＝﹣1，b＝2时，
∴原式＝2×（﹣1）×2×[16×（﹣1）4-116×24]＝﹣4×（16﹣1）＝﹣60；
（2）①y＝﹣x2+（a﹣1）x+2a﹣3，
当x＝﹣1时，y＝0，得﹣1﹣（a﹣1）+2a﹣3＝0，
解得a＝3；
②函数解析式为y＝﹣x2+2x+3，
当x＝1时，y＝﹣1+2+3＝4．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值问题，要熟练掌握．同时考查了函数值，利用待定系数法是解函数解析式的关键，又利用了自变量与函数值的对应关系．
24．（2019秋•达川区期末）小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．

（1）如图①，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是　平行　；
如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是　垂直　；
如图③，M为边AC延长线上一点，则BD、MF的位置关系是　垂直　；
（2）请就图①、图②、或图③中的一种情况，给出证明．我选图　①　来证明．
【考点】平行线的判定；垂线．菁优网版权所有
【分析】（1）①根据∠A＝90°，ME⊥BC，得∠CME＝∠ABC，则∠ABC+∠AME＝180°，再由BD平分∠ABC，MF平分∠AME，可得∠AMF+∠ABD＝90°，∠AFM＝∠ABD，则BD∥FM；
②根据三角形全等可证明；
③根据三角形的内角和定理可得出垂直；
（2）根据①，利用同位角相等证明即可．
【解答】解：（1）①BD∥FM；
②BD⊥FM；
③BD⊥FM；
（2）选择①证明：
∵∠A＝90°，ME⊥BC，
∴∠A＝∠CEM，
∴∠CME＝∠ABC，
∴∠ABC+∠AME＝180°（三角形的内角和等于180°），
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠AMF+∠ABD＝90°，
∴∠AFM＝∠ABD，
∴BD∥FM（同位角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查了平行线的判定以及垂线的判定，是基础知识要熟练掌握．
25．（2017•长春模拟）某单位有职工200人，其中青年职工（20﹣35岁），中年职工（35﹣50岁），老年职工（50岁及以上）所占比例如扇形统计图所示．
为了解该单位职工的健康情况，小张、小王和小李各自对单位职工进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．
表1：小张抽样调查单位3名职工的健康指数
年龄
26
42
57
健康指数
97
79
72
表2：小王抽样调查单位10名职工的健康指数
年龄
23
25
26
32
33
37
39
42
48
52
健康指数
93
89
90
83
79
75
80
69
68
60
表3：小李抽样调查单位10名职工的健康指数
年龄
22
29
31
36
39
40
43
46
51
55
健康指数
94
90
88
85
82
78
72
76
62
60
根据上述材料回答问题：
小张、小王和小李三人中，谁的抽样调查的数据能够较好地反映出该单位职工健康情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．

【考点】扇形统计图；抽样调查的可靠性；统计表．菁优网版权所有
【分析】根据各个样本的抽取中是否有代表性、随机性和广泛性确定答案即可．
【解答】解：①小李抽样调查的数据能够较好地反映出该单位职工健康情况；
②小张抽样调查所抽取的单位职工数量过少；
③小王抽样调查所抽取的10位单位职工的青年中年老年比例明显和该单位整体情况不符．
【点评】此题主要考查了抽样调查的可靠性以及加权平均数，正确理解抽样调查的随机性是解题关键．
26．方程组x-y=53x-2y=0的解也是方程4x﹣3y+k＝0的解，求k的值．
【考点】解三元一次方程组．菁优网版权所有
【分析】先解出方程组x-y=53x-2y=0的解再代入方程4x﹣3y+k＝0，可求出k的值．
【解答】解：解方程组x-y=53x-2y=0，
得x=-10y=-15，
代入4x﹣3y+k＝0，
得﹣40+45+k＝0，
解得：k＝﹣5．
【点评】本题先通过解二元一次方程组，求得后再代入关于k的方程而求解的．
27．（2020秋•吉水县期末）如图，已知CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1＝∠2，求证：FG∥BC．

【考点】平行线的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】证明题．
【分析】根据在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行可知DE∥FC，故∠1＝∠ECF＝∠2．根据内错角相等两直线平行可知，FG∥BC．
【解答】证明：∵CF⊥AB，ED⊥AB，
∴DE∥FC（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠1＝∠BCF（两直线平行，同位角相等）；
又∵∠2＝∠1（已知），
∴∠BCF＝∠2（等量代换），
∴FG∥BC（内错角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，比较简单．
28．（2009•香坊区二模）兴华造纸厂生产A、B两种型号的白纸，已知生产1吨A型白纸和3吨B型白纸可获利550元；生产3吨A型白纸和2吨B型白纸可获利600元．
（1）求生产1吨A型白纸和生产1吨B型白纸分别获利多少元？
（2）二月份正值中小学书本印刷高峰，该厂每天生产A、B两种型号的白纸共90吨，其中A型白纸是B型白纸的2倍少30吨．从三月份起，由于市场经济萧条，两种类型的白纸每吨获利均减少了20%，因此，该厂采用新的生产技术，结果三月份每天比二月份每天多生产20吨纸，每天利润超过了二月份每天的利润，但仍不超过11080元，求该厂三月份每天生产A型白纸多少吨？（吨数为整数）
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）设生产1吨A型白纸可获利x元．生产1吨B型白纸可获利y元．根据题意建立方程组求出其解就可以了．
（2）由条件求出二月份的利润，设三月份每天生产A型白纸m吨，根据题意建立不等式组求出其解就可以了．
【解答】解：（1）设生产1吨A型白纸可获利x元．生产1吨B型白纸可获利y元，由题意，得
x+3y=5503x+2y=600，
解得：x=100y=150．
答：生产1吨A型白纸可获利100元．生产1吨B型白纸可获利150元；

（2）设二月份每天生产A型白纸a吨，B型白纸b吨，由题意，得
a+b=90a=2b-30，
解得：a=50b=40，
二月份的利润为：100×50+150×40＝11000元
三月份A、B型白纸的利润分别为：100（1﹣20%）＝80元，150（1﹣20）＝120元．而三月份每天生产白纸的数量为：90+20＝110吨．设三月份每天生产A型白纸m吨，则生产B型白纸（110﹣m）吨，由题意，得
11000＜80m+120（110﹣m）≤11080，
解得：53≤m＜55，
∵m为整数，
∴m＝53或54．
答：三月份每天生产A型白纸53吨或54吨．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题及二元一次方程组的解法的运用，一元一次不等式组的解法的运用，在解答的过程要注意题干中隐含条件的运用．
29．（2018春•聊城期中）如图，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1＝∠2，试判断BE与CF的位置关系，并说明你的理由．请补全下列说理过程．
解：BE　∥　CF
理由是：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）．
∴∠　ABC　＝∠　BCD　＝90°（垂直的定义）
∵∠1＝∠2（已知）．
∴∠ABC﹣∠1＝∠　BCD　﹣∠2．（等式的基本性质）
即∠EBC＝　∠FCB　
∴BE　∥　CF（　内错角相等，两直线平行　）

【考点】平行线的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【分析】根据垂直定义得出∠ABC＝∠BCD＝90°，求出∠EBC＝∠FCB，根据平行线的判定得出即可．
【解答】解：BE∥CF，
理由是：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）．
∴∠ABC＝∠BCD＝90°（垂直的定义）
∵∠1＝∠2（已知）．
∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2．（等式的基本性质）
即∠EBC＝∠FCB，
∴BE∥CF，
故答案为：∥，ABC，BCD，BCD，∠FCB，∥，内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定，能熟记定理的内容是解此题的关键，注意：平行线的判定有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，反之亦然．

考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
3．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
4．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
5．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
6．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
7．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
8．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
9．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
10．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
　　（1）找出公因式；
　　（2）提公因式并确定另一个因式：
　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
11．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
　　平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
　　完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
　2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
12．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
13．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
14．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
15．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
16．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
17．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用x=ay=b的形式表示．
18．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
19．解三元一次方程组
（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
（2）解三元一次方程组的一般步骤：
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．
20．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
21．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
　　某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
22．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
23．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
24．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
25．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
26．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．

（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
27．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
28．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
29．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
30．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
31．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
32．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
33．抽样调查的可靠性
（1）抽样调查是实际中经常采用的调查方式．
（2）如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况．
（3）抽样调查除了具有花费少，省时的特点外，还适用一些不宜使用全面调查的情况（如具有破坏性的调查）．
（4）分层抽样获取的样本与直接进行简单的随机抽样相比一般能更好地反映总体．其特点是：通过划类分层，增大了各类型中单位间的共同性，容易抽出具有代表性的调查样本，该方法适用于总体情况复杂，各单位之间差异较大，单位较多的情况．
34．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
35．统计表
统计表可以将大量数据的分类结果清晰，一目了然地表达出来．
统计调查所得的原始资料，经过整理，得到说明社会现象及其发展过程的数据，把这些数据按一定的顺序排列在表格中，就形成“统计表”．统计表是表现数字资料整理结果的最常用的一种表格． 统计表是由纵横交叉线条所绘制的表格来表现统计资料的一种形式．
36．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．　　②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
37．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
38．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
39．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．