2022年人教版七年级下册数学--期末复习典型试卷3

这是一份2022年人教版七年级下册数学--期末复习典型试卷3，共41页。
2021-2022学年下学期北京初中数学七年级期末典型试卷3
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021•黄梅县模拟）下列运算不正确的是（　　）
A．a2•a3＝a5 B．（y3）4＝y12
C．（﹣2x）3＝﹣8x3 D．x3+x3＝2x6
2．（2分）（2021春•兴城市期末）下列调查中，适合于采用普查方式的是（　　）
A．调查央视“五一晚会”的收视率
B．了解外地游客对兴城旅游景点的印象
C．了解一批新型节能灯的使用寿命
D．了解某航班上的乘客是否都持有“绿色健康码”
3．（2分）（2021秋•河东区期末）某种微生物半径为0.000637米，0.000637用科学记数法可表示为（　　）
A．63.7×10﹣5 B．0.637×10﹣3 C．6.37×10﹣4 D．6.37×10﹣3
4．（2分）（2019•宁波模拟）如图，点A在直线m上，点B，C在直线n上，m∥n，AB⊥AC，若∠1＝23°，则∠2的度数为（　　）

A．23° B．57° C．67° D．77°
5．（2分）（2020•田林县模拟）下列因式分解正确的是（　　）
A．x2+2x﹣1＝（x+1）2
B．4x2﹣100＝（2x+10）（2x﹣10）
C．y2-y+14=(y-12)2
D．3m2+6m＝3（m2+2m）
6．（2分）（2021春•岳麓区校级期中）已知关于x、y的方程组2x-y=1-a4x+y=3a+5的解满足x+y＝6，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣2 D．11
7．（2分）如表是校女子排球队12名队员的年龄分布：
年龄（岁）
13
14
15
16
人数（人）
1
4
5
2
则关于这12名队员的年龄的说法正确的是（　　）
A．众数是14 B．众数是15
C．中位数是14 D．中位数是14.5
8．（2分）（2020•长春模拟）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：
①∠1＝∠3；
②如果∠2＝30°，则有BC∥AE；
③如果∠1＝∠2＝∠3，则有BC∥AE；
④如果∠2＝45°，必有∠4＝∠E．
其中正确的有（　　）

A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
9．（2分）（2021春•阳江期末）下列说法正确的是（　　）
A．x＝2不是不等式x+2＞2的解
B．x＝2是不等式x+2＞2的解集
C．方程x+y＝3无解
D．不等式x+2＞2有无数个解
10．（2分）（2019秋•梁园区期末）下列计算正确的是（　　）
A．3a+2b＝5ab B．（3﹣a）﹣（2﹣a）＝1﹣2a
C．3a2﹣2a＝a D．3a﹣（﹣2a）＝5a
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022•大兴区一模）分解因式：mx2﹣my2＝　 　．
12．（2分）（2015春•南岗区校级期中）若x=2y=-1是关于x、y的方程3x﹣2y＝m和5x+y＝n的公共解，则m+n＝　 　．
13．（2分）（2020秋•禹城市期末）（6a3b2﹣14a2b2+8a2b）÷（﹣2a2b）＝　 　．
14．（2分）（2022•湘乡市模拟）去年5月1日至7日，某市每日最高气温如图所示，则下列说法正确的是 　 　．（多选）
A．中位数是33℃
B．众数是33℃
C．平均数是1977℃
D.4日至5日最高气温下降幅度较大

15．（2分）（2020秋•禹城市期末）若角α的补角等于它的余角的6倍，则角α等于　 　．
16．（2分）（2019秋•潍坊期末）某单位定期对员工按照专业能力、工作业绩、考勤情况三方面进行考核（每项满分100分），三者权重之比为3：5：2．小明经过考核后三项务数分别为90分，86分、83分，则小明的最后得分为　 　分．
17．（2分）（2021秋•西城区期末）如图1，将一个长为2a，宽为2b的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小长方形，然后将这四个完全相同的小长方形拼成一个正方形（如图2）．设图2中的大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则S1﹣S2的结果是 　 　（用含a，b的式子表示）．

18．（2分）（2020春•曹县期末）不等式组2(x+1)＜3x-6x＜4m无解，则m的取值范围是　 　．
19．（2分）当a＝1000，b＝780时，代数式[（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2]÷（﹣2b）的值为 　 　．
20．（2分）4个人进行游泳比赛，赛前A，B，C，D等4名选手进行预测，A说：“我肯定得第一名”，B说：“我绝对不会得最后一名”，C说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名”，D说：“那只有我是最后一名！”，比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误，预测错误的人是　 　．
三．解答题（共11小题，满分60分）
21．（5分）（2020秋•上蔡县期中）小华学了有理数的乘方后，知道了21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…．
她问老师：“有没有20和2﹣3，如果有，那结果等于多少？”
老师提示他：“25÷23＝4，25﹣3＝22＝4，于是25÷23＝25﹣3＝4，…”
小华说：“噢，我明白了！”
很快地，小华就算出了20和2﹣3的结果了．
亲爱的同学们，你想出来了吗？
（1）请你根据老师的提示，算一算20和2﹣3的值；
（2）据此比较（﹣3）﹣2和（﹣2）﹣3的大小．（写出计算过程）
22．（5分）（2021春•石景山区期末）解方程组：x+y=-12x-3y=8．
23．（4分）（2020秋•南安市期中）分解因式：
（1）3ax2﹣6axy+3ay2．
（2）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）．
24．（5分）（2018秋•临海市校级月考）解不等式组：3x-1≤x+5x-32＜x-1．
25．（5分）利用乘法公式计算：
（1）（﹣m﹣3）2（m﹣3）2；
（2）（a+12b）2﹣（a-12b）2；
（3）（2x+3）2﹣（3+2x）（2x﹣3）；
（4）（x+3y﹣2z）（x﹣3y+2z）．
26．（5分）（2021秋•南岗区校级月考）为评估九年级学生的学习成绩状况，以应对即将到来的中考做好教学调整，德强中学抽取了部分参加考试的学生的成绩作为样本分析，绘制成了如图两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）求本次抽样的学生人数是多少；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校九年级共有1000人参加了这次考试，请估算该校九年级共有多少名学生的数学成达到优秀？

27．（6分）（2017•海港区二模）定义新运算：对于任意实数a，b（a≠0）都有a*b=ba-a+b，等式右边是通常的加、减、除运算，比如2*1=12-2+1=-12．
（1）求4*5的值：
（2）若2*（x+2）不大于4，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．

28．（5分）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，请判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由．

29．（7分）（2021春•江都区校级期中）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值．
如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组2x+y=7x+2y=8，则x﹣y＝　 　，x+y＝　 　；
（2）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值．
30．（7分）（2020秋•雨花区期中）为了美化校园，我校欲购买甲、乙两种工具．如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元．
（1）甲、乙两种工具每件各多少元？
（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1100元，那么甲种工具最多购买多少件？
31．（6分）（2019秋•方城县期末）（1）问题背景：已知：如图①﹣1，AB∥CD，点P的位置如图所示，连接PA，PC，试探究∠APC与∠PAB、∠PCD之间有什么数量关系，并说明理由．（将下面的解答过程补充完整，括号内写上相应理由或数学式）

解：（1）∠APC与∠PAB、∠PCD之间的数量关系是：∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°（或∠APC＝360°（∠PAB+∠PCD）只要关系式形式正确即可）
理由：如图①﹣2，过点P作PE∥AB．
∵PE∥AB（作图）
∴∠PAB+∠APE＝180°（　 　）
∴AB∥CD（已知）PE∥AB（作图）
∴PE∥　 　（　 　）
∴∠CPE+∠PCD＝　 　（　 　）
∴∠PAB+∠APE+∠CPE+∠PCD＝180+180°＝360°（等量代换）
又∵∠APE+∠CPE＝∠APC（角的和差）
∴∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°（等量代换）
总结反思：本题通过添加适当的辅助线，从而利用平行线的性质，使问题得以解决．
（2）类比探究：如图②，AB∥CD，点P的位置如图所示，连接PA、PC，请同学们类比（1）的解答过程，试探究∠APC与∠PAB、∠PCD之间有什么数量关系，并说明理由．

（3）拓展延伸：如图③，AB∥CD，∠ABP与∠CDP的平分线相交于点P1，若∠P1＝28°，求∠P的度数，请直接写出结果，不说明理由．

2021-2022学年下学期北京初中数学七年级期末典型试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021•黄梅县模拟）下列运算不正确的是（　　）
A．a2•a3＝a5 B．（y3）4＝y12
C．（﹣2x）3＝﹣8x3 D．x3+x3＝2x6
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．菁优网版权所有
【专题】计算题；整式；运算能力．
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及合并同类项的法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a2•a3＝a2+3＝a5，故本选项不合题意；
B．（y3）4＝y3×4＝y12，故本选项不合题意；
C．（﹣2x）3＝（﹣2）3x3＝﹣8x3，故本选项不合题意；
D．x3+x3＝2x3，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
2．（2分）（2021春•兴城市期末）下列调查中，适合于采用普查方式的是（　　）
A．调查央视“五一晚会”的收视率
B．了解外地游客对兴城旅游景点的印象
C．了解一批新型节能灯的使用寿命
D．了解某航班上的乘客是否都持有“绿色健康码”
【考点】全面调查与抽样调查．菁优网版权所有
【专题】数据的收集与整理；应用意识．
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A．调查央视“五一晚会”的收视率，适合抽样调查，故选项不合题意；
B．了解外地游客对兴城旅游景点的印象，适合抽样调查，故选项不合题意；
C．了解一批新型节能灯的使用寿命，适合抽样调查，故选项不合题意；
D．了解某航班上的乘客是否都持有“绿色健康码”，适于全面调查，故选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考察的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3．（2分）（2021秋•河东区期末）某种微生物半径为0.000637米，0.000637用科学记数法可表示为（　　）
A．63.7×10﹣5 B．0.637×10﹣3 C．6.37×10﹣4 D．6.37×10﹣3
【考点】科学记数法—表示较小的数．菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000637＝6.37×10﹣4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（2分）（2019•宁波模拟）如图，点A在直线m上，点B，C在直线n上，m∥n，AB⊥AC，若∠1＝23°，则∠2的度数为（　　）

A．23° B．57° C．67° D．77°
【考点】平行线的性质；垂线．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力；应用意识．
【分析】根据平行线的性质和平角的定义，垂直的性质，可以得到∠2的度数，本题得以解决．
【解答】解：∵m∥n，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝23°，
∴∠3＝23°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠3+∠BAC+∠2＝180°，
∴∠2＝67°，
故选：C．

【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．（2分）（2020•田林县模拟）下列因式分解正确的是（　　）
A．x2+2x﹣1＝（x+1）2
B．4x2﹣100＝（2x+10）（2x﹣10）
C．y2-y+14=(y-12)2
D．3m2+6m＝3（m2+2m）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【专题】计算题；整式；运算能力．
【分析】A、不能分解因式；
B、先提取公因式，再用平方差公式分解因式；
C、用完全平方公式分解因式；
D、提取公因式分解因式．
【解答】解：A、不能分解因式，∴不符合题意；
B、原式＝4（x+5）（x﹣5），∴不符合题意；
C、原式=(y-12)2，∴符合题意；
D、原式＝3m（m+2），∴不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解因式，分解因式要彻底是解题关键．
6．（2分）（2021春•岳麓区校级期中）已知关于x、y的方程组2x-y=1-a4x+y=3a+5的解满足x+y＝6，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣2 D．11
【考点】二元一次方程组的解；二元一次方程的解．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】用加减消元法求出方程组的解x=1+13ay=1+53a，可得2+2a＝6，即可求a的值．
【解答】解：2x-y=1-a①4x+y=3a+5②，
①+②得，6x＝2a+6，
∴x＝1+13a，
将x＝1+13a代入①，得y＝1+53a，
∴x+y＝2+2a，
∵x+y＝6，
∴2+2a＝6，
∴a＝2，
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，一元一次方程的解法是解题的关键．
7．（2分）如表是校女子排球队12名队员的年龄分布：
年龄（岁）
13
14
15
16
人数（人）
1
4
5
2
则关于这12名队员的年龄的说法正确的是（　　）
A．众数是14 B．众数是15
C．中位数是14 D．中位数是14.5
【考点】众数；中位数．菁优网版权所有
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【分析】根据中位数和众数的定义求解．
【解答】解：观察图表可知：人数最多的是5人，年龄是15岁，故众数是15．
共12人，中位数是第6，7个人平均年龄，因而中位数是15．
故选：B．
【点评】本题考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现最多的一个数．
8．（2分）（2020•长春模拟）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：
①∠1＝∠3；
②如果∠2＝30°，则有BC∥AE；
③如果∠1＝∠2＝∠3，则有BC∥AE；
④如果∠2＝45°，必有∠4＝∠E．
其中正确的有（　　）

A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
【考点】平行线的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【分析】根据三角板的性质以及平行线的判定一一判断即可．
【解答】解：∵∠EAD＝∠CAB＝90°，
∴∠1＝∠3，故①正确，
当∠2＝30°时，∠3＝60°，∠4＝45°，
∴∠3≠∠4，
故AE与BC不平行，故②错误，
当∠1＝∠2＝∠3时，可得∠3＝∠4＝45°，
∴BC∥AE，故③正确，
∵∠E＝60°，∠4＝45°，
∴∠E≠∠4，故④错误，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角板的性质，属于中考常考题型．
9．（2分）（2021春•阳江期末）下列说法正确的是（　　）
A．x＝2不是不等式x+2＞2的解
B．x＝2是不等式x+2＞2的解集
C．方程x+y＝3无解
D．不等式x+2＞2有无数个解
【考点】解一元一次不等式；二元一次方程的解．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】正确求出不等式的解集，进而判断即可．
【解答】解：A、x+2＞2的解集为：x＞0，所以x＝2是不等式x+2＞2的解，说法错误，不符合题意；
B、x+2＞2的解集为：x＞0，所以x＝2是不等式x+2＞2的解，说法错误，不符合题意；
C、方程x+y＝3有无数个解，说法错误，不符合题意；
D、x+2＞2的解集为：x＞0，所以不等式x+2＞2有无数个解，说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了解不等式，关键是正确求出不等式的解集．
10．（2分）（2019秋•梁园区期末）下列计算正确的是（　　）
A．3a+2b＝5ab B．（3﹣a）﹣（2﹣a）＝1﹣2a
C．3a2﹣2a＝a D．3a﹣（﹣2a）＝5a
【考点】整式的加减．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】各项化简得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝3﹣a﹣2+a＝1，不符合题意；
C、原式不能合并，不符合题意；
D、原式＝3a+2a＝5a，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022•大兴区一模）分解因式：mx2﹣my2＝　m（x+y）（x﹣y）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【专题】整式；符号意识．
【分析】直接提取公因式m，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：mx2﹣my2＝m（x2﹣y2）
＝m（x+y）（x﹣y）．
故答案为：m（x+y）（x﹣y）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
12．（2分）（2015春•南岗区校级期中）若x=2y=-1是关于x、y的方程3x﹣2y＝m和5x+y＝n的公共解，则m+n＝　17　．
【考点】二元一次方程的解．菁优网版权所有
【专题】常规题型．
【分析】根据方程的解的定义，把这对数值代入方程，那么得到一个含有未知数m的一元一次方程，从而求出m的值．
【解答】解：把x=2y=-1代入方程3x﹣2y＝m和5x+y＝n，得6+2＝m，10﹣1＝n，
∴m＝8，n＝9，
∴m+n＝17，
故答案为17．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组解的定义，理解定义是关键．
13．（2分）（2020秋•禹城市期末）（6a3b2﹣14a2b2+8a2b）÷（﹣2a2b）＝　﹣3ab+7b﹣4　．
【考点】整式的除法．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（6a3b2﹣14a2b2+8a2b）÷（﹣2a2b）
＝6a3b2÷（﹣2a2b）﹣14a2b2÷（﹣2a2b）+8a2b÷（﹣2a2b）
＝﹣3ab+7b﹣4．
故答案为：﹣3ab+7b﹣4．
【点评】此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
14．（2分）（2022•湘乡市模拟）去年5月1日至7日，某市每日最高气温如图所示，则下列说法正确的是 　BCD　．（多选）
A．中位数是33℃
B．众数是33℃
C．平均数是1977℃
D.4日至5日最高气温下降幅度较大

【考点】众数；算术平均数；中位数．菁优网版权所有
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【分析】分别确定7个数据的中位数、众数及平均数后即可确定正确的选项．
【解答】解：A．7个数排序后为23，25，26，27，30，33，33，位于中间位置的数为27，所以中位数为27℃，故A说法错误；
B．7个数据中出现次数最多的为33，所以众数为33℃，故B说法正确；
C．平均数为17（23+25+26+27+30+33+33）=1977（℃），故C说法正确
D．观察统计图知：4日至5日最高气温下降幅度较大，故D说法正确，
所以列说法正确的是BCD．
故答案为：BCD．
【点评】本题考查了统计的知识，解题的关键是了解如何确定一组数据的中位数、众数及平均数，掌握相关定义是解答本题的关键．
15．（2分）（2020秋•禹城市期末）若角α的补角等于它的余角的6倍，则角α等于　72°　．
【考点】余角和补角．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】利用题中的关系“一个角的补角等于这个角的余角的6倍”作为相等关系列方程求解即可．
【解答】解：α的补角为（180°﹣α），余角为（90°﹣α），由题意得：
180°﹣α＝6（90°﹣α），
解得α＝72°．
故答案为：72°
【点评】主要考查了利用余角和补角的定义和一元一次方程的应用．解此题的关键是能准确的从题中找出各个量之间的数量关系，找出等量关系列方程，从而计算出结果．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180度．
16．（2分）（2019秋•潍坊期末）某单位定期对员工按照专业能力、工作业绩、考勤情况三方面进行考核（每项满分100分），三者权重之比为3：5：2．小明经过考核后三项务数分别为90分，86分、83分，则小明的最后得分为　86.6　分．
【考点】加权平均数．菁优网版权所有
【专题】统计的应用；运算能力．
【分析】将三个方面考核后所得的分数分别乘上它们的权重，再相加，即可得到最后得分．
【解答】解：小明的最后得分：
90×310+86×510+83×210=27+43+16.6＝86.6（分），
故答案为：86.6．
【点评】本题主要考查了加权平均数，数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
17．（2分）（2021秋•西城区期末）如图1，将一个长为2a，宽为2b的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小长方形，然后将这四个完全相同的小长方形拼成一个正方形（如图2）．设图2中的大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则S1﹣S2的结果是 　4ab　（用含a，b的式子表示）．

【考点】完全平方公式的几何背景．菁优网版权所有
【专题】数形结合；整式；几何直观．
【分析】由题意可得S1﹣S2的结果就是图1长方形的面积．
【解答】解：由题意可得S1﹣S2的结果就是图2中4个长方形的面积，
即图1长方形的面积2a×2b＝4ab，
故答案为：4ab．
【点评】此题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列式．
18．（2分）（2020春•曹县期末）不等式组2(x+1)＜3x-6x＜4m无解，则m的取值范围是　m≤2　．
【考点】不等式的解集．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】根据不等式组无解的条件确定出m的范围即可．
【解答】解：不等式组整理得：x＞8x＜4m，
由不等式组无解，得到4m≤8，
解得：m≤2，
则m的取值范围是m≤2．
故答案为：m≤2．
【点评】此题考查了不等式的解集，弄清不等式组无解的条件是解本题的关键．
19．（2分）当a＝1000，b＝780时，代数式[（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2]÷（﹣2b）的值为 　﹣220　．
【考点】整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】利用平方差公式，完全平方公式，合并同类项法则，多项式乘以单项式的法则进行化简后，代入计算即可得出结果．
【解答】解：[（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2]÷（﹣2b）
＝[a2﹣b2﹣（a2﹣2ab+b2）]÷（﹣2b）
＝（a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b2）÷（﹣2b）
＝（2ab﹣2b2）÷（﹣2b）
＝﹣a+b，
当a＝1000，b＝780时，
原式＝﹣1000+780
＝﹣220，
故答案为：﹣220．
【点评】本题考查了整式的混合运算—化简求值，掌握平方差公式，完全平方公式，合并同类项法则，多项式乘以单项式的法则是解决问题的关键．
20．（2分）4个人进行游泳比赛，赛前A，B，C，D等4名选手进行预测，A说：“我肯定得第一名”，B说：“我绝对不会得最后一名”，C说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名”，D说：“那只有我是最后一名！”，比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误，预测错误的人是　A　．
【考点】推理与论证．菁优网版权所有
【专题】推理填空题；推理能力．
【分析】分别假设每个人的预测错误，进而分别分析得出答案．
【解答】解：如果A错，则B为第一，C为第二，D为最后一名，所以A是错的．
如果B错，则B最后，D也错，出现矛盾；
如果C错，则C是第一或最后一名，与A第一、D最后，矛盾；
如果D错，其他都对的话，则没有最后一名；
故答案为：A．
【点评】此题主要考查了推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键．
三．解答题（共11小题，满分60分）
21．（5分）（2020秋•上蔡县期中）小华学了有理数的乘方后，知道了21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…．
她问老师：“有没有20和2﹣3，如果有，那结果等于多少？”
老师提示他：“25÷23＝4，25﹣3＝22＝4，于是25÷23＝25﹣3＝4，…”
小华说：“噢，我明白了！”
很快地，小华就算出了20和2﹣3的结果了．
亲爱的同学们，你想出来了吗？
（1）请你根据老师的提示，算一算20和2﹣3的值；
（2）据此比较（﹣3）﹣2和（﹣2）﹣3的大小．（写出计算过程）
【考点】负整数指数幂；有理数的乘法；有理数的除法；有理数的乘方；零指数幂．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案；
（2）利用（1）中计算方法，进而化简得出答案．
【解答】解：（1）20＝23÷23＝1，
2﹣3＝22÷25＝4÷32=18；

（2）∵（﹣3）﹣2=19，（﹣2）﹣3=-18，
∴（﹣3）﹣2＞（﹣2）﹣3．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算、以及负整数指数幂的性质，正确掌握计算法则是解题关键．
22．（5分）（2021春•石景山区期末）解方程组：x+y=-12x-3y=8．
【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有
【专题】转化思想；运算能力．
【分析】观察方程组各个含有未知数的项的系数，可加减消元法解二元一次方程组．
【解答】解：将x+y＝﹣1记作①式，2x﹣3y＝8记作②式．
①×2，得2x+2y＝﹣2...③．
②﹣③，得﹣5y＝10．
∴y＝﹣2．
将y＝﹣2代入①，得x＝1．
∴该方程组的解为x=1，y=-2．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法或加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
23．（4分）（2020秋•南安市期中）分解因式：
（1）3ax2﹣6axy+3ay2．
（2）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【专题】整式；符号意识．
【分析】（1）直接提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝3a（x2﹣2xy+y2）
＝3a（x﹣y）2；

（2）原式＝（x+y）2﹣4（x+y）+4
＝（x+y﹣2）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
24．（5分）（2018秋•临海市校级月考）解不等式组：3x-1≤x+5x-32＜x-1．
【考点】解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．
【解答】解：3x-1≤x+5①x-32＜x-1②，
解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＞﹣1，
故不等式组的解集为﹣1＜x≤3．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
25．（5分）利用乘法公式计算：
（1）（﹣m﹣3）2（m﹣3）2；
（2）（a+12b）2﹣（a-12b）2；
（3）（2x+3）2﹣（3+2x）（2x﹣3）；
（4）（x+3y﹣2z）（x﹣3y+2z）．
【考点】平方差公式；完全平方公式．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）根据积的乘方的逆运算变形，再运用平方差公式以及完全平方公式．
（2）运用平方差公式解决此题．
（3）先提公因式，再化简．
（4）先变形，再运用平方差公式，最后运用完全平方公式并化简．
【解答】解：（1）（﹣m﹣3）2（m﹣3）2
＝（m+3）2（m﹣3）2
＝[（m+3）（m﹣3）]2
＝（m2﹣9）2
＝m4+81﹣18m2．
（2）（a+12b）2﹣（a-12b）2
=(a+12b+a-12b)(a+12b-a+12b)
＝2ab．
（3）（2x+3）2﹣（3+2x）（2x﹣3）
＝（2x+3）（2x+3﹣2x+3）
＝6（2x+3）
＝12x+18．
（4）（x+3y﹣2z）（x﹣3y+2z）
＝[x﹣（2z﹣3y）][x+（2z﹣3y）]
＝x2﹣（2z﹣3y）2
＝x2﹣（4z2+9y2﹣12yz）
＝x2﹣4z2﹣9y2+12yz．
【点评】本题主要考查平方差公式、完全平方公式，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解决本题的关键．
26．（5分）（2021秋•南岗区校级月考）为评估九年级学生的学习成绩状况，以应对即将到来的中考做好教学调整，德强中学抽取了部分参加考试的学生的成绩作为样本分析，绘制成了如图两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）求本次抽样的学生人数是多少；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校九年级共有1000人参加了这次考试，请估算该校九年级共有多少名学生的数学成达到优秀？

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有
【专题】统计的应用；运算能力．
【分析】（1）根据差的学生人数及其所占百分比可得答案；
（2）根据各成绩类别的人数之和等于总人数求解可得中的人数，从而补全统计图；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）8÷16%＝50（名），
答：本次调查数抽取了50名学生．

（2）50﹣10﹣22﹣8＝10（名），补全图形如下：


（3）1000×1050=200（名），
答：估算该校九年级共有200名学生的数学成达到优秀．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
27．（6分）（2017•海港区二模）定义新运算：对于任意实数a，b（a≠0）都有a*b=ba-a+b，等式右边是通常的加、减、除运算，比如2*1=12-2+1=-12．
（1）求4*5的值：
（2）若2*（x+2）不大于4，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．

【考点】解一元一次不等式；有理数的混合运算；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
【专题】新定义．
【分析】（1）根据题中定义求出所求式子的值即可；
（2）根据题中的新定义所求的不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）根据题意得：4*5=54-4+5=94；
（2）根据题意得：x+22-2+（x+2）≤4，
解得：x≤2，
在数轴上表示为：
．
【点评】此题考查了有理数的运算和解一元一次不等式．
28．（5分）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，请判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由．

【考点】平行线的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【分析】根据同位角相等两直线平行判定AB∥EF，EF∥CD，然后得出直线AB和CD的关系即可．
【解答】解：AB∥CD，理由如下：
∵∠1＝∠2，
∴AB∥EF，
∵∠3＝∠4，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD．
【点评】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握同位角相等两直线平行是解题的关键．
29．（7分）（2021春•江都区校级期中）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值．
如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组2x+y=7x+2y=8，则x﹣y＝　﹣1　，x+y＝　5　；
（2）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；实数的运算；代数式求值；二元一次方程的解．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）将两方程相加可求x+y的值，将两方程相减可求x﹣y的值；
（2）由题意列出方程组，即可求解．
【解答】解：（1）2x+y=7①x+2y=8②，
①+②可得：3x+3y＝15，
∴x+y＝5，
①﹣②可得：x﹣y＝﹣1，
故答案为：﹣1，5；
（2）由题意可得：3a+5b+c=15①4a+7b+c=28②，
①×3﹣②×2可得：a+b+c＝﹣11，
∴1*1＝a+b+c＝﹣11．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键．
30．（7分）（2020秋•雨花区期中）为了美化校园，我校欲购买甲、乙两种工具．如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元．
（1）甲、乙两种工具每件各多少元？
（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1100元，那么甲种工具最多购买多少件？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）设甲种工具每件x元，乙种工具每件y元，根据“如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种工具m件，则购进乙种工具（100﹣m）件，根据总价＝单价×数量结合总价不超过1100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可求出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种工具每件x元，乙种工具每件y元，
依题意得：3x+2y=56x+4y=32，
解得：x=16y=4．
答：甲种工具每件16元，乙种工具每件4元．
（2）设购进甲种工具m件，则购进乙种工具（100﹣m）件，
依题意得：16m+4（100﹣m）≤1100，
解得：m≤5813，
又∵m为非负整数，
∴m的最大值为58．
答：最多可以购买甲种工具58件．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
31．（6分）（2019秋•方城县期末）（1）问题背景：已知：如图①﹣1，AB∥CD，点P的位置如图所示，连接PA，PC，试探究∠APC与∠PAB、∠PCD之间有什么数量关系，并说明理由．（将下面的解答过程补充完整，括号内写上相应理由或数学式）

解：（1）∠APC与∠PAB、∠PCD之间的数量关系是：∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°（或∠APC＝360°（∠PAB+∠PCD）只要关系式形式正确即可）
理由：如图①﹣2，过点P作PE∥AB．
∵PE∥AB（作图）
∴∠PAB+∠APE＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　）
∴AB∥CD（已知）PE∥AB（作图）
∴PE∥　CD　（　如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行　）
∴∠CPE+∠PCD＝　180°　（　两直线平行，同旁内角互补　）
∴∠PAB+∠APE+∠CPE+∠PCD＝180+180°＝360°（等量代换）
又∵∠APE+∠CPE＝∠APC（角的和差）
∴∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°（等量代换）
总结反思：本题通过添加适当的辅助线，从而利用平行线的性质，使问题得以解决．
（2）类比探究：如图②，AB∥CD，点P的位置如图所示，连接PA、PC，请同学们类比（1）的解答过程，试探究∠APC与∠PAB、∠PCD之间有什么数量关系，并说明理由．

（3）拓展延伸：如图③，AB∥CD，∠ABP与∠CDP的平分线相交于点P1，若∠P1＝28°，求∠P的度数，请直接写出结果，不说明理由．
【考点】作图—复杂作图；平行线的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质进行填空；
（2）过点P作PE∥AB．如图②，利用平行线的性质得到PE∥CD，则∠PCD＝∠CPE，所以∠APE+∠CPE＝∠APC，从而得到∠APC＝∠PAB+∠PCD；
（3）如图③，利用（2）的结论得∠P1＝∠ABP1+∠CDP1＝28°，∠P＝∠ABP+∠CDP，加上∠ABP＝2∠ABP1，∠CDP＝2∠CDP1，所以∠P＝2∠P1．
【解答】解：（1）∠APC与∠PAB、∠PCD之间的关系是：∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°；
理由：如图①﹣2，过点P作PE∥AB．
∵PE∥AB（作图）
∴∠PAB+∠APE＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∵AB∥CD（已知）PE∥AB（作图）
∴PE∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴∠CPE+∠PCD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠PAB+∠APE+∠CPE+∠PCD＝180°+180°＝360°（等量代换）
又∵∠APE+∠CPE＝∠APC（角的和差）
∴∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°（等量代换）；
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；CD，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；180°，两直线平行，同旁内角互补；
（2）∠APC与∠PAB、∠PCD之间的关系是：∠APC＝∠PAB+∠PCD；
理由：过点P作PE∥AB．如图②，
∴∠PAB＝∠APE（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD（已知）
PE∥AB（作图）
∴PE∥CD （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴∠PCD＝∠CPE（两直线平行，内错角相等）
∵∠APE+∠CPE＝∠APC（角的和差）
∴∠APC＝∠PAB+∠PCD （等量代换）；
（3）如图③，由（2）的结论得∠P1＝∠ABP1+∠CDP1＝28°，∠P＝∠ABP+∠CDP，
∵∠ABP与∠CDP的平分线相交于点P1，
∴∠ABP＝2∠ABP1，∠CDP＝2∠CDP1，
∴∠P＝2∠P1＝2×28°＝56°．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与性质．

考点卡片
1．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
2．有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a•1b （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
3．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．

4．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
5．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围
表示方法
a的取值
n的取值
|x|≥10
a×10n
1≤|a|
＜10
整数的位数﹣1
|x|＜1
a×10﹣n
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
6．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
7．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
8．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
9．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
10．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
11．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
12．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
13．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形

（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
14．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
15．整式的除法
整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
16．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
17．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
18．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
19．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
20．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
21．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
22．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用x=ay=b的形式表示．
23．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
24．不等式的解集
（1）不等式的解的定义：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
（3）解不等式的定义：
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
（4）不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
25．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
　　某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
26．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
27．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
28．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
29．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
30．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
31．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
32．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
33．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
34．推理与论证
（1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程．
①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊．
②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．
（2）论证：用论据证明论题的真实性．
证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”．
简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式．
35．全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．
36．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
37．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．　　②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
38．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
39．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则x=1n（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
40．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
41．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
42．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．