2021学年北京市东城区前门外国语学校七年级（下）期末数学试卷（一）

这是一份2021学年北京市东城区前门外国语学校七年级（下）期末数学试卷（一），共33页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）9的平方根是
A．B．C．3D．
2．（3分）点所在的象限为
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（3分）沙燕风筝是北京传统风筝中最具代表性的，不仅性能良好，还有祈福的寓意．图是一种北京沙燕风筝的示意图，在下面的四个图中，能由图经过平移得到的是
A．B．
C．D．
4．（3分）列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是
A．对重庆辖区内长江流域水质情况的调查
B．对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查
C．对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查
D．对浙江卫视“歌手”栏目收视率的调查
5．（3分）若关于，的方程组的解满足，则的最小整数解为
A．B．C．D．0
6．（3分）如图，天平左盘中物体的质量为，天平右盘中每个砝码的质量都是，则的取值范围在数轴上可表示为
A．
B．
C．
D．
7．（3分）如图，直线，直线与、分别相交于、两点，过点作直线的垂线交直线于点，若，则的度数为
A．B．C．D．
8．（3分）某人只带2元和5元两种货币，要买一件27元的商品，而商店没有零钱找钱，他只能付恰好27元，则他的付款方式共有．
A．1种B．2种C．3种D．4种
9．（3分）关于的不等式组只有3个整数解，求的取值范围
A．B．C．D．
10．（3分）网上一家电子产品店，今年月的电子产品销售总额如图1，其中一款平板电脑的销售额占当月电子产品销售总额的百分比如图2．
根据图中信息，有以下四个结论，推断不合理的是
A．从1月到4月，电子产品销售总额为290万元
B．平板电脑月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与1月份相比都下降了
C．平板电脑4月份的销售额比3月份有所下降
D．今年月中，平板电脑售额最低的是3月
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11．（2分）请写出一个大于3的无理数 ．
12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，直线，分别是关于，的二元一次方程，的图象，则二元一次方程组的解为 ．
13．（2分）如图，射线的端点在直线上，于点，且平分，平分，若，则 ．
14．（2分）“输入一个实数，然后经过如图的运算，到判断是否大于190为止”叫做一次操作，那么恰好经过三次操作停止，则的取值范围是 ．
15．（2分）在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为 粒．
16．（2分）下面是小满的一次作业，老师说小满的解题过程不完全正确，并在作业旁写出了批改．
长跑比赛中，张华跑在前面，在离终点时他以的速度向终点冲刺，在他身后．的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能在张华之前到达终点？
解：设李明以的速度开始冲刺．
依题意，得，
两边同时除以25，得．
答：李明需以大于的速度同时开始冲刺，才能在张华之前到达终点．
请回答：必须添加“根据实际意义可知，”这个条件的理由是 ．
17．（2分）如图所示，、、三点在同一直线上，、、三点在同一直线上，请你添加一个条件，使，你添加的条件是 （不允许添加任何辅助线）．
18．（2分）对于实数，我们定义一种新运算（其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，例如，时，．若，，则 ．
三、解答题（本题共54分，19题4分，20-29题，每小题4分）
19．（4分）计算：．
20．（5分）解方程组：．
21．（5分）解不等式组并写出它的所有整数解．
22．（5分）故宫是世界上现存规模最大，保存最完整的宫殿建筑群．小赵和小钱在学校组织的综合实践活动中来到故宫学习，他们建立了相同的坐标系描述各景点的位置．
小赵：“养心殿在原点的西北方向．”
小钱：“太和门的坐标是．”
实际上，他们说的位置都是正确的．你知道这两位同学是如何建立平面直角坐标系的吗？
（1）依据两位同学的描述，可以知道他们选择景点 为原点，建立了平面直角坐标系；
（2）在图中画出这两位同学建立的平面直角坐标系；
（3）九龙壁的坐标是 ，景仁宫的坐标是 ．
23．（5分）如图，已知，，则，下面是王华同学的推导过程，请你帮他在括号内填上推导依据或内容．
证明：
（已知），
，
．
．
．
（已知）
．
．
24．（5分）阅读材料后解决问题
2016年北京市春季学期初中开放性科学实践活动共上线1009个活动项目，资源单位为学生提供了三种预约方式：自主选课、团体约课、送课到校，其中少年创学院作为首批北京市开放性科学实践平台入选单位，在2015年下半年就已经分别为北京教育学院附属丰台实验学校分校、清华大学附属中学永丰学校、北京市八一中学、中国人民大学附属中学等多所学校提供送课到校服务，并以高质量的创客课堂赢得大家的认可．
全市初一学生可以通过网络平台进行开放性科学实践平台选课，活动项目包括六个领域，：自然与环境，：健康与安全，：结构与机械，：电子与控制，：数据与信息，：能源与材料．
某区为了解学生自主选课情况，随机抽取了初一部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）扇形统计图中值为 ．
（2）这次被调查的学生共有 人．
（3）请将统计图2补充完整．
（4）该区初一共有学生2700人，根据以上信息估计该区初一学生中选择电子与控制的人数．
25．（5分）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将点向左平移两个单位，再向上平移4个单位得到点．
（1）写出点的坐标；
（2）求三角形的面积．
26．（5分）如图，直线，被直线，所截，，，垂足为，平分
，，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
27．（5分）抗击新冠肺炎疫情期间，全国上下万众一心为武汉捐赠物资．某物流公司运送捐赠物资，已知用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨．
（1）求1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）该物流公司现有80吨货物需要运送，计划同时租用型车辆，型车辆（每种车辆至少1辆且型车数量少于型车），一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若型车每辆需租金100元次，型车每辆需租金120元次，请你设计出所有租车方案并选出最省钱的租车方案，求出此时最少租车费．
28．（5分）是三角形内一点，射线，射线．
（1）当点，分别在，上时，
①补全图1；
②猜想与的数量关系，并证明；
（2）当点，都在线段上时，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
29．（5分）如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过作轴于．
（1）求的面积．
（2）若过作交轴于，且，分别平分，，如图2，求的度数．
（3）在轴上存在点使得和的面积相等，请直接写出点坐标．
2020-2021学年北京市东城区前门外国语学校七年级（下）期末数学试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（3分）9的平方根是
A．B．C．3D．
【分析】根据平方根的定义即可得到答案．
【解答】解：9的平方根为．
故选：．
【点评】本题考查了平方根的定义：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，记作．
2．（3分）点所在的象限为
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】点横坐标为负，纵坐标为正，根据象限内点的符号，确定象限．
【解答】解：，，
点在第二象限，
故选：．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
3．（3分）沙燕风筝是北京传统风筝中最具代表性的，不仅性能良好，还有祈福的寓意．图是一种北京沙燕风筝的示意图，在下面的四个图中，能由图经过平移得到的是
A．B．
C．D．
【分析】平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移．
【解答】解：根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形如下：
故选：．
【点评】本题考查了生活中平移的现象，解决本题的关键是熟记平移的定义．
4．（3分）列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是
A．对重庆辖区内长江流域水质情况的调查
B．对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查
C．对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查
D．对浙江卫视“歌手”栏目收视率的调查
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：．对重庆辖区内长江流域水质情况的调查，适合进行抽样调查，故本选项不合题意；
．对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查，适合进行普查，故本选项符合题意；
．对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查，适合进行抽样调查，故本选项不合题意；
．对浙江卫视“歌手”栏目收视率的调查，适合进行抽样调查，故本选项不合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5．（3分）若关于，的方程组的解满足，则的最小整数解为
A．B．C．D．0
【分析】方程组中的两个方程相减得出，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：，
①②得：，
关于，的方程组的解满足，
，
解得：，
的最小整数解为，
故选：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于的不等式是解此题的关键．
6．（3分）如图，天平左盘中物体的质量为，天平右盘中每个砝码的质量都是，则的取值范围在数轴上可表示为
A．
B．
C．
D．
【分析】根据天平列出不等式组，确定出解集即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
故选：．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“ ”要用实心圆点表示；“”，“ ”要用空心圆点表示．
7．（3分）如图，直线，直线与、分别相交于、两点，过点作直线的垂线交直线于点，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据平行线的性质得出，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：直线，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了对平行线的性质，熟记两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
8．（3分）某人只带2元和5元两种货币，要买一件27元的商品，而商店没有零钱找钱，他只能付恰好27元，则他的付款方式共有．
A．1种B．2种C．3种D．4种
【分析】根据题意假设出未知数，得出结合2元钱的总和元钱的总和，进而得出二元一次方程，求出符合题意的答案．
【解答】解：设带2元的货币个，带5元的货币个，根据题意可得：
，
，
当时，，
当时，，（不合题意舍去），
当时，，
当时，（不合题意舍去），
当时，，
他的付款方式3种，
故选：．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，正确表示出两种货币的总钱数是解题关键．
9．（3分）关于的不等式组只有3个整数解，求的取值范围
A．B．C．D．
【分析】根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意列出关于的不等式组，解不等式组得到答案．
【解答】解：，
解①得，，
解②得，，
不等式组的解集为：，
不等式组只有3个整数解，
，
解得，，
故选：．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解法和整数解的确定，正确解出不等式组、根据题意列出不等式组是解题的关键．
10．（3分）网上一家电子产品店，今年月的电子产品销售总额如图1，其中一款平板电脑的销售额占当月电子产品销售总额的百分比如图2．
根据图中信息，有以下四个结论，推断不合理的是
A．从1月到4月，电子产品销售总额为290万元
B．平板电脑月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与1月份相比都下降了
C．平板电脑4月份的销售额比3月份有所下降
D．今年月中，平板电脑售额最低的是3月
【分析】根据统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否合理，从而可以解答本题．
【解答】解：由图1可得，
从1月到4月，电子产品销售总额为（万元），故选项中的说法合理；
由图2可得，平板电脑月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与1月份相比都下降了，故选项中的说法合理；
由图1可知，平板电脑4月份的销售额为（万元），3月份的销售额为（万元），故平板电脑4月份的销售额比3月份有所上升，故选项中的说法不合理；
平板电脑1月份销售额为（万元），2月份销售额为（万元），3月份的销售额为（万元），4月份的销售额为（万元），故今年月中，平板电脑售额最低的是3月，故选项中的说法合理；
故选：．
【点评】本题考查条形统计图、折线统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11．（2分）请写出一个大于3的无理数 ．
【分析】根据这个数即要比3大又是无理数，解答出即可．
【解答】解：由题意可得，
，并且是无理数．
故答案为：．
【点评】本题考查了实数大小的比较及无理数的定义，任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，直线，分别是关于，的二元一次方程，的图象，则二元一次方程组的解为 ．
【分析】本题可以通过直线与方程的关系得到方程组的解．
【解答】解：因为直线，分别是关于，的二元一次方程，的图象，其交点为，
所以二元一次方程组的解为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是直线与方程的关系，还可以用解方程组的方法加以解决．
13．（2分）如图，射线的端点在直线上，于点，且平分，平分，若，则 ．
【分析】根据垂直定义可得，从而求出的度数，进而可求出的度数，然后利用角平分线的定义求出和的度数，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
，
平分，
，
平分，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线的定义，垂线，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
14．（2分）“输入一个实数，然后经过如图的运算，到判断是否大于190为止”叫做一次操作，那么恰好经过三次操作停止，则的取值范围是 ．
【分析】表示出第一次、第二次、第三次的输出结果，再由第三次输出结果可得出不等式，解出即可．
【解答】解：第一次的结果为：，没有输出，则，
解得：；
第二次的结果为：，没有输出，则，
解得：；
第三次的结果为：，输出，则，
解得：；
综上可得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元一次不等式和方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据结果是否可以输出，得出不等式．
15．（2分）在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为 1250 粒．
【分析】设瓶子中有豆子粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可．
【解答】解：设瓶子中有豆子粒豆子，根据题意得：
，
解得：，
答：估计瓶子中豆子的数量约为1250粒．
故答案为：1250．
【点评】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．
16．（2分）下面是小满的一次作业，老师说小满的解题过程不完全正确，并在作业旁写出了批改．
长跑比赛中，张华跑在前面，在离终点时他以的速度向终点冲刺，在他身后．的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能在张华之前到达终点？
解：设李明以的速度开始冲刺．
依题意，得，
两边同时除以25，得．
答：李明需以大于的速度同时开始冲刺，才能在张华之前到达终点．
请回答：必须添加“根据实际意义可知，”这个条件的理由是 不等式两边乘以，根据不等式的性质，的正负决定不等号的方向是否改变，所以先判断的正负 ．
【分析】利用分式有意义的条件和时间的实际意义求解．
【解答】解：必须添加“根据实际意义可知，”这个条件的理由是不等式两边乘以，根据不等式的性质，的正负决定不等号的方向是否改变，所以先判断的正负．
故答案为不等式两边乘以，根据不等式的性质，的正负决定不等号的方向是否改变，所以先判断的正负．
【点评】本题考查了不等式的性质．在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
17．（2分）如图所示，、、三点在同一直线上，、、三点在同一直线上，请你添加一个条件，使，你添加的条件是 或或或 （不允许添加任何辅助线）．
【分析】依据平行线的判定方法，即可得出结论．
【解答】解：当或或或时，，
故答案为：或或或．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
18．（2分）对于实数，我们定义一种新运算（其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，例如，时，．若，，则 11 ．
【分析】已知两等式利用题中的新定义化简，计算求出与的值，代入，再把，代入计算即可求出值．
【解答】解：，，
根据题中的新定义化简得：，
解得：，即，
则．
故答案为：11．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
三、解答题（本题共54分，19题4分，20-29题，每小题4分）
19．（4分）计算：．
【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案．
【解答】解：原式
．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20．（5分）解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
则原方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
21．（5分）解不等式组并写出它的所有整数解．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定整数解即可．
【解答】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得；
原不等式组的解集为；
原不等式组的所有整数解为，0，1，2．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
22．（5分）故宫是世界上现存规模最大，保存最完整的宫殿建筑群．小赵和小钱在学校组织的综合实践活动中来到故宫学习，他们建立了相同的坐标系描述各景点的位置．
小赵：“养心殿在原点的西北方向．”
小钱：“太和门的坐标是．”
实际上，他们说的位置都是正确的．你知道这两位同学是如何建立平面直角坐标系的吗？
（1）依据两位同学的描述，可以知道他们选择景点 保和殿 为原点，建立了平面直角坐标系；
（2）在图中画出这两位同学建立的平面直角坐标系；
（3）九龙壁的坐标是 ，景仁宫的坐标是 ．
【分析】（1）根据题意，可知图中每个两个小格子为一个单位长度，从而可以确定出原点的位置，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以画出相应的平面直角坐标系；
（3）根据（2）中的坐标系可以直接写出九龙壁和景仁宫的坐标．
【解答】解：（1）由题意可得，
依据两位同学的描述，可以知道他们选择景点保和殿为原点，建立了平面直角坐标系，
故答案为：保和殿；
（2）平面直角坐标系如图所示；
（3）由（2）中的坐标系，可知
九龙壁的坐标是，景仁宫的坐标是，
故答案为：，．
【点评】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，利用平面直角坐标系的相关知识解答．
23．（5分）如图，已知，，则，下面是王华同学的推导过程，请你帮他在括号内填上推导依据或内容．
证明：
（已知），
对顶角相等 ，
．
．
．
（已知）
．
．
【分析】先根据题意得出，故可得出，进而可得出，再由可得出，据此可得出结论．
【解答】证明：（已知），（对顶角相等），
．
同旁内角互补，两直线平行）．
（两直线平行，同位角相等）．
（已知）
等量代换）．
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
24．（5分）阅读材料后解决问题
2016年北京市春季学期初中开放性科学实践活动共上线1009个活动项目，资源单位为学生提供了三种预约方式：自主选课、团体约课、送课到校，其中少年创学院作为首批北京市开放性科学实践平台入选单位，在2015年下半年就已经分别为北京教育学院附属丰台实验学校分校、清华大学附属中学永丰学校、北京市八一中学、中国人民大学附属中学等多所学校提供送课到校服务，并以高质量的创客课堂赢得大家的认可．
全市初一学生可以通过网络平台进行开放性科学实践平台选课，活动项目包括六个领域，：自然与环境，：健康与安全，：结构与机械，：电子与控制，：数据与信息，：能源与材料．
某区为了解学生自主选课情况，随机抽取了初一部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）扇形统计图中值为 30 ．
（2）这次被调查的学生共有 人．
（3）请将统计图2补充完整．
（4）该区初一共有学生2700人，根据以上信息估计该区初一学生中选择电子与控制的人数．
【分析】（1）根据各组的百分比的和是1即可求得的值；
（2）根据喜欢其它类型的有20人，所占的百分比是，据此即可求得总人数；
（3）根据百分比的意义求得领域的人数，补全直方图；
（4）利用总人数乘以对应的百分比即可求解．
【解答】（1）．
（2）本次调查的人数是（人；
（3）领域的人数是：（人．
；
（4）息估计该区初一学生中选择电子与控制的人数是（人．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
25．（5分）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将点向左平移两个单位，再向上平移4个单位得到点．
（1）写出点的坐标；
（2）求三角形的面积．
【分析】（1）利用点平移的坐标规律写出点坐标；
（2）根据三角形面积公式，用正方形的面积分别减去三个直角三角形的面积可计算出的面积．
【解答】解：（1）；
（2）如图，过点作轴于，过点分别作轴，轴的垂线，与轴交于点，与交于点．
点，的坐标分别为，，
点，，的坐标分别为，，，
，，
正方形的面积为16，
的面积为4，的面积为2，的面积为4．
的面积为．
【点评】本题考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了三角形的面积．
26．（5分）如图，直线，被直线，所截，，，垂足为，平分
，，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，然后根据平行线的判定即可得到结论；
（2）由（1）得，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：，，
，
平分，
，
，
，
；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
27．（5分）抗击新冠肺炎疫情期间，全国上下万众一心为武汉捐赠物资．某物流公司运送捐赠物资，已知用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨．
（1）求1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）该物流公司现有80吨货物需要运送，计划同时租用型车辆，型车辆（每种车辆至少1辆且型车数量少于型车），一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若型车每辆需租金100元次，型车每辆需租金120元次，请你设计出所有租车方案并选出最省钱的租车方案，求出此时最少租车费．
【分析】（1）设1辆型车装满货物一次可运货吨，1辆型车装满货物一次可运货吨，根据“用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据一次运货80吨，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数且，即可得出各租车方案，利用总租车费用每辆车的租车费用租车数量，可分别求出各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆型车装满货物一次可运货吨，1辆型车装满货物一次可运货吨，
依题意得：，
解得：．
答：1辆型车装满货物一次可运货3吨，1辆型车装满货物一次可运货4吨．
（2）依题意得：，
，
，均为正整数，
解得：，或，或，或，或，或，
，
共有2种租车方案，
方案1：租用4辆型车，17辆型车；
方案2：租用8辆型车，14辆型车；
方案1所需租金为（元；
方案2所需租金为（元；
，
最省钱的租车方案是：租型车4辆，型车17辆，
答：租型车4辆，型车17辆，最少租车费是2440元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
28．（5分）是三角形内一点，射线，射线．
（1）当点，分别在，上时，
①补全图1；
②猜想与的数量关系，并证明；
（2）当点，都在线段上时，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质，即可得到，，即可得到与的数量关系．
（2）先反向延长射线交于点，可知，由（1）结论可知，进而得出．
【解答】解：（1）①补全图形，如图1所示．
②．
证明：，
．
，
，
．
（2）不成立，此时．
理由如下：如图2，反向延长射线交于点，可知．
由（1）结论可知．
．
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
29．（5分）如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过作轴于．
（1）求的面积．
（2）若过作交轴于，且，分别平分，，如图2，求的度数．
（3）在轴上存在点使得和的面积相等，请直接写出点坐标．
【分析】（1）利用非负数的性质求出，的值即可解决问题．
（2）如图甲，过作．利用平行线的性质以及角平分线的定义解决问题即可．
（3）分两种情形：①当在轴正半轴上时，如图中．②当在轴负半轴上时，如图，分别求解即可．
【解答】解：（1），
，，
，，
，．
，，
，，则．
（2）如图2中，过作．
轴，
轴，，
．
又，
，
．
，
，
，．
，分别平分，，
，，
．
（3）①当在轴正半轴上时，如图中．
设点，分别过点，，作轴，轴，轴，交于点，，则，，，．
，
，
，解得，即点的坐标为．
②当在轴负半轴上时，如图，同①作辅助线．
设点，则，，．
，
，
解得，
点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了非负数的性质、三角形的面积公式，平行线的性质，依据三角形的面积公式、梯形的面积公式依据图形中相关图形之间的面积关系列出关于和的方程是解题的关键．