2022年中考数学三轮冲刺过关回归教材重难点06 反比例函数中K的几何意义-【查漏补缺】

回归教材重难点06 反比例函数中K的几何意义

反比例函数中K的几何意义是初中《反比例函数》章节的重点内容，考查的范围比较广。在中考数学中，基础题与压轴题均有出现，选填题中常见的考查K的几何意义。通过熟练的掌握反比例系数K的应用，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。

本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度中等偏下，甚至有些地方将其作为选填题的压轴题。

反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．

1．（2021·辽宁丹东·中考真题）如图，点A在曲线到上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是6，则k的值（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据轴可以得到，转换成反比例函数面积问题即可解题．

【详解】连接OA、OB，设AB与y轴交点为M，

∵轴，∴AB⊥y轴，

∴，

∵，∴，解得

∵点B在双曲线上，且B在第二象限，∴，∴

故选C

【点睛】本题考查反比例函数问题，熟记反比例函数面积与k的关系是解题的关键．

2．（2021·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴的正半轴重合，，轴，对角线交于点．已知的面积为4.若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为（       ）

A． B． C． D．12

【答案】B

【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，则有ME∥BD，，进而可得、，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可进行求解．

【详解】解：过点M作ME⊥x轴于点E，如图所示：

∵轴，∴ME∥BD，

∵，∴，

∵，∴，

∵的面积为4，∴，

∵，∴，

由题可知△OMB、△OBD的高是相同的，则有，∴，

∵ME∥BD，∴，∴，∴，

由反比例函数k的几何意义可得：，

∵，∴；

故选B．

【点睛】本题主要考查反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定是解题的关键．

3．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数y＝（x＞0）的图象交BC于点D．若CD＝2BD，▱OABC的面积为15，则k的值为______．

【答案】18

【分析】过点D作DN⊥y轴于N，过点B作BM⊥y轴于M，可得，设OC＝a，CN＝2b，则MN＝b，根据▱OABC的面积为15表示出BM的长度，根据CD＝2BD求出ND的长，进而表示出A，D两点的坐标，根据反比例函数系数k的几何意义即可求出．

【详解】解：过点D作DN⊥y轴于N，过点B作BM⊥y轴于M，

∴ ，∴ ，

∵CD＝2BD，∴，即 ，

设OC＝a，CN＝2b，则MN＝b，

∵▱OABC的面积为15，∴BM＝，

∵，∴ ，∴ ，

∵CD＝2BD，∴ ，∴ND＝BM＝，

∴A，D点坐标分别为（，3b），（，a＋2b），∴•3b＝（a＋2b），∴b＝a，

∴k＝•3b＝•3×a＝18，

故答案为：18．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和反比例函数的几何意义，相似三角形的性质和判定，利用数形结合思想是解题的关键．

4．（2021·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点与（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝_______．（结果用a，b表示）

【答案】a

【分析】设B（m，），A（，n），则P（m，n），阴影部分的面积S△AOB＝矩形的面积﹣三个直角三角形的面积可得结论．

【详解】解：设B（m，），A（，n），则P（m，n），∵点P为曲线C1上的任意一点，

∴mn＝a，∴阴影部分的面积S△AOB＝mnbb（m）（n）

＝mn﹣b（mn﹣b﹣b）＝mn﹣bmn+ba．

故答案为：a．

【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，矩形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征等知识，本题利用参数表示三角形和矩形的面积并结合mn＝a可解决问题．

5．（2021·湖北黄石·中考真题）如图，、两点在反比例函数（）的图象上，的延长线交轴于点，且，则的面积是______．

【答案】

【分析】过A、B两点作x轴的垂线，交x轴分别于E、F两点，得到△CBF∽△CAE，设，进而得到，即可求出△AOC的面积．

【详解】解：过A、B两点作x轴的垂线，交x轴分别于E、F两点，如下图所示：

∵，∴，

∵EF∥BF，∴△CBF∽△CAE，

∴，

设，则，∴ ，∴，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数的图形及性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握各图形的性质及判定方法是解决本题的关键．

6．（2020·湖北荆门·中考真题）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，，将绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到，交于点G，若反比例函数的图象经过点G，则k的值为______．

【答案】

【分析】根据题意证明△AOB≌△EOD，△COG∽△EOD，根据相似三角形的性质求出CG的长度，即可求解．

【详解】解： 由B（-2，1）可得，AB=OC=1，OA=2，OB=

由旋转可得：△AOB≌△EOD，∠E=∠OAB=90°，∴OE=OA=2，DE=AB=1，

∵∠COG=∠EOD，∠GCO=∠E=90°，∴△COG∽△EOD，

∴，即，

解得：CG=，

∴点G（，1），代入可得：k=，

故答案为：．

【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质和反比例函数，解题的关键是利用相似三角形的性质求出OG的长度．

7．（2021·河北唐山·一模）如图，点A在反比例函数y1＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，交反比例函数y2＝（x＞0）的图象于点C．P为y轴上一点，连接PA，PC．则△APC的面积为（　　）

A．5 B．6 C．11 D．12

【答案】B

【分析】连接OA和OC，利用三角形面积可得△APC的面积等于△AOC的面积，再结合反比例函数中系数k的几何意义，利用S△AOC＝S△OAB﹣S△OBC，可得结果．

【详解】解：连接OA和OC，

∵AB⊥x轴，∴ ABy轴，又点P在y轴上，∴ ，

∵A在y1＝上，C在y2＝上，∴S△AOC＝S△OAB﹣S△OBC＝6，∴△APC的面积为6．故选：B．

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键．

8．（2021·重庆市永川区教育科学研究所一模）如图，反比例函数（＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为18，则k的值为（       ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得，，过点M作轴于点G，作轴于点N，则四边形ONMG的面积为：，根据M为矩形ABCO对角线的交点得，根据得，根据函数的图象与性质得，即可得．

【详解】解：由题意得，E、M、D位于反比例函数图象上，则，，

过点M作轴于点G，作轴于点N，

则四边形ONMG的面积为：，

∵M为矩形ABCO对角线的交点，∴，

∵，∴，

∵函数的图象在第一象限，∴，∴，

故选C．

【点睛】本题考查了反比例函数与几何，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义．

9．（2022·吉林·长春市第八十七中学一模）如图，点A在x轴正半轴上，B（5，4）．四边形AOCB为平行四边形，反比例函数y=的图象经过点C和AB边的中点D，则点D的坐标为（　　 ）

A．（2，4） B．（4，2） C．（，3） D．（3，）

【答案】B

【分析】作CE⊥OA于E，依据反比例函数系数k的几何意义求得OE，即可求得C的坐标，从而求得点A坐标，再根据中点坐标公式即可求得D的坐标．

【详解】解：作CE⊥OA于E，如图，

∵B（5，4），四边形AOCB为平行四边形，∴CE=4，

∵反比例函数y=的图象经过点C，∴S△COE=OE•CE=×8，

∵CE=4∴OE=2，∴C（2，4），OA=BC=5-2=3，∴A（3，0），

∵点D是AB的中点，∴点D的坐标为（），即D（4，2），

故选：B．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义等，求得点C和点A的坐标是解题的关键．

10．（2021·山东青岛·三模）如图，矩形OABC的对角线OB与反比例函数（x＞0）相交于点D，且BD:OD=2:3，则矩形OABC的面积为 ______．

【答案】

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△ODE=3，利用相似三角形的性质，可得S△ADE:S△OBA=9:25，进而求出，由矩形的性质得到答案．

【详解】解：过点作于点，则，

∵BD:OD=2:3，∴OD:OB=3:5，

又∵，∴，∴，∴，

∴矩形OABC的面积为，

故答案为：．

【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形以及矩形的性质，理解反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的性质是解决问题的关键．

11．（2021·湖北荆门·模拟预测）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则tan∠BAO的值为______．

【答案】

【分析】通过面积比是长度比的平方求得tan∠BAO的大小．

【详解】解：过作轴，过作轴于，则，

顶点，分别在反比例函数与的图象上，，，

，，

，，，，，

故答案为：．

【点睛】本题考查反比例函数性质和相似比与面积比的关系，掌握这些是解题关键．

12．（2021·福建·邵武市教师进修学校模拟预测）如图，四边形ABCD为矩形，E为对角线AC的中点，A、B在x轴上．若函数y = (x)的图像过D、E两点，则矩形ABCD的面积为_______________

【答案】8

【分析】过作于，由三角形中位线定理可得，设点的横坐标为，点坐标为，得出，即可得出，根据图象上的坐标特征得出的横坐标为，继而得出，然后根据矩形的面积公式计算即可．

【详解】解：过作于，

点是矩形对角线的交点，，是的中位线，，

设点的横坐标为，且点在反比例函数上，点坐标为，

，，，，，矩形的面积，

故答案为：8．

【点睛】主要考查了反比例函数中的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即．

13．（2022·江苏·靖江外国语学校模拟预测）如图，平行四边形ABCD的对角线AC在y轴上，原点O为AC的中点，点D在第一象限内，ADx轴，当双曲线经过点D时，则平行四边形ABCD面积为___．

【答案】6

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOD＝，再根据平行四边形的性质可得S▱ABCD＝4S△AOD＝6，进而得出答案．

【详解】连接OD，∵点D在反比例函数的图象上，∴S△AOD＝，

∵O是AC的中点，∴S△AOD＝S△COD，

∵▱ABCD的对角线AC在y轴上，∴S△ABC＝S△ACD＝S▱ABCD，∴S▱ABCD＝4S△AOD＝6，

故答案为：6．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数比例系数k的几何意义等知识，关键是反比例函数比例系数k的几何意义．

14．（2021·江苏·连云港市新海实验中学三模）如图，在反比例函数的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动，tan∠CAB=2，则k的值为_____

【答案】﹣12

【分析】连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，通过角的计算找出∠AOE=∠COF，结合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出比例式，再由tan∠CAB=2，可得出CF•OF的值，进而得到k的值．

【详解】如图，连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F．

∵由直线AB与反比例函数的对称性可知A、B点关于O点对称，∴AO=BO．

又∵AC=BC，∴CO⊥AB．

∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°，∴∠AOE=∠COF．

又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，

∴△AOE∽△COF，∴，

∵tan∠CAB2，∴CF=2AE，OF=2OE．

又∵AE•OE=，CF•OF=|k|，∴|k|=CF•OF=2AE×2OE=4AE×OE=12，∴k=±12．

∵点C在第二象限，∴k=-12．

故答案为：-12．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，解答本题的关键是求出CF•OF=6．解答该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论．